• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的推廣

    2017-03-27 21:36范志勇李中杰
    關(guān)鍵詞:特征值矩陣

    范志勇+李中杰

    【摘要】受第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽一道預(yù)賽試題的啟發(fā),研究形如AX=XB的矩陣方程只有零解的充分條件,將競(jìng)賽試題推廣到更為一般的形式.

    【關(guān)鍵詞】大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽;矩陣;矩陣方程;特征值

    【中圖分類號(hào)】O151.2【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】C

    【基金項(xiàng)目】河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2014GGJS-193)

    一、引言

    2015年第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(數(shù)學(xué)類)預(yù)賽試題第三大題:

    設(shè)A為n階實(shí)方陣,其n個(gè)特征值皆為偶數(shù).試證明關(guān)于X的矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.

    證明如下.

    設(shè)C=I+A,B=A2,A的n個(gè)特征值為λ1,λ2,…,λn,則B的n個(gè)特征值為λ21,λ22,…,λ2n;

    C的n個(gè)特征值為μ1=λ1+1,μ2=λ2+1,…,μn=λn+1;C的特征多項(xiàng)式為pC(λ)=(λ-μ1)(λ-μ2)…(λ-μn).

    若X為X+AX-XA2=0的解,則有CX=XB;進(jìn)而C2X=XB2,…,CkX=XBk,…,結(jié)果0=pC(C)X=XpC(B)=X(B-μ1I)…(B-μnI).注意到B的n個(gè)特征值皆為偶數(shù),而C的n個(gè)特征值皆為奇數(shù),故(B-μ1I),…,(B-μnI)皆為可逆矩陣,結(jié)果由0=X(B-μ1I)…(B-μnI)立得X=0.

    受此啟發(fā),考慮一般的問(wèn)題:方陣A與B滿足什么條件時(shí),關(guān)于X的矩陣方程AX=XB只有零解.

    二、主要結(jié)論

    定義1設(shè)A∈Pn×n,λ∈P,如果存在X∈Pn且X≠0,使AX=λX,則稱λ是矩陣A的一個(gè)特征值,稱X是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.

    定義2設(shè)A∈Pn×n,λ∈P.矩陣λE-A的行列式

    |λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n

    λ-a21λ-a22…λ-a2n

    λ-an1λ-an2…λ-ann

    稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式,記為fA(λ).

    注fA(λ)是一個(gè)關(guān)于λ的n次多項(xiàng)式,其在P中的根即為矩陣A的全部特征值.

    引理1[哈密頓-凱萊(Hamilton-Caylay)定理]設(shè)A∈Pn×n,fA(λ)=|λE-A|是矩陣A的特征多項(xiàng)式,則

    fA(A)=An-(a11+a22+…+ann)An-1+…+(-1)n|A|E=0.

    注這表明矩陣A的特征多項(xiàng)式是矩陣A的零化多項(xiàng)式.

    引理2設(shè)A∈Cn×n,B∈Cm×m,則fA(B)(fB(A))是m階(n階)可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無(wú)公共特征值.

    證設(shè)A的n個(gè)特征值為λ1,λ2,…,λn,B的m個(gè)特征值為μ1,μ2,…,μm,則

    fA(λ)=|λE-A|n=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn),

    fB(λ)=|λE-B|m=(λ-μ1)(λ-μ2)…(λ-μm),

    于是,fA(B)=(B-λ1E)(B-λ2E)…(B-λnE).

    注意到對(duì)任意1≤k≤n,有

    |B-λkE|m=(-1)m|λkE-B|m=(-1)mfB(λk)=(-1)m(λk-μ1)…(λk-μm)=(-1)m∏mj=1(λk-μj),

    故|fA(B)|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=(-1)mn∏ni=1∏mj=1(λi-μj).

    因此,若fA(B)可逆,則

    |fA(B)|m=(-1)mn∏ni=1∏mj=1(λi-μj)≠0,

    于是λi≠μj(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),從而矩陣A與B無(wú)公共特征值;反之亦真.

    同理可證fB(A)是n階可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無(wú)公共特征值.(證完)

    定理1設(shè)A∈Cn×n,B∈Cm×m,A與B無(wú)公共特征值,則矩陣方程AX=XB只有零解,其中X是n×m矩陣.

    首先,X=0是AX=XB的一個(gè)解.其次,設(shè)X=X0是AX=XB的任一解,則AX0=X0B,于是A2X0=A(AX0)=A(X0B)=(X0B)B=X0B2,進(jìn)而A3X0=X0B3,…,AkX0=X0Bk,…,(k∈N).注意到A的特征多項(xiàng)式fA(λ)=λn+∑nk=1(-1)kbkλn-k,其中bk(k=1,2,…,n)是A的所有k階主子式之和,于是有fA(A)X0=X0fA(B).

    由引理1知fA(A)=0,則X0fA(B)=0,又A與B無(wú)公共特征值,則由引理2知fA(B)是m階可逆矩陣,于是X0=0.因此,矩陣方程AX=XB只有零解.(證完)

    三、應(yīng)用

    解決第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(數(shù)學(xué)類)預(yù)賽試題第三大題.

    矩陣方程X+AX-XA2=0可變形為(E+A)X=XA2,下面只要證E+A與A2無(wú)公共特征值即可.

    注意到A的n個(gè)特征值皆為偶數(shù),則A2的n個(gè)特征值皆為偶數(shù),E+A的n個(gè)特征值皆為奇數(shù),故E+A與A2無(wú)公共特征值.由定理1立得矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.

    猜你喜歡
    特征值矩陣
    一類帶強(qiáng)制位勢(shì)的p-Laplace特征值問(wèn)題
    單圈圖關(guān)聯(lián)矩陣的特征值
    H型群上一類散度形算子的特征值估計(jì)
    關(guān)于矩陣奇異值分解的注記
    初等行變換與初等列變換并用求逆矩陣
    基于商奇異值分解的一類二次特征值反問(wèn)題
    幾個(gè)關(guān)聯(lián)圖的特征多項(xiàng)式和特征值
    矩陣
    矩陣
    矩陣
    最近最新中文字幕大全电影3 | 一边摸一边抽搐一进一小说 | 国产深夜福利视频在线观看| 国产免费男女视频| 日韩精品免费视频一区二区三区| 国产深夜福利视频在线观看| 国产xxxxx性猛交| 他把我摸到了高潮在线观看| 涩涩av久久男人的天堂| tube8黄色片| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 99久久99久久久精品蜜桃| aaaaa片日本免费| 在线观看免费视频网站a站| 欧美乱码精品一区二区三区| 亚洲欧美一区二区三区久久| 欧美性长视频在线观看| 成年版毛片免费区| 一边摸一边做爽爽视频免费| 欧美丝袜亚洲另类 | 婷婷精品国产亚洲av在线 | 啪啪无遮挡十八禁网站| a在线观看视频网站| 国产色视频综合| 成年人黄色毛片网站| 狂野欧美激情性xxxx| 亚洲精品av麻豆狂野| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 999精品在线视频| 成人av一区二区三区在线看| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 欧美激情 高清一区二区三区| 91精品三级在线观看| 国产精品九九99| 久久国产精品大桥未久av| 免费观看人在逋| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 久久中文字幕一级| 午夜福利,免费看| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 波多野结衣av一区二区av| 韩国精品一区二区三区| 国产在线一区二区三区精| 咕卡用的链子| 欧美日韩亚洲高清精品| 久热这里只有精品99| 亚洲九九香蕉| 欧美成狂野欧美在线观看| 亚洲精品自拍成人| 99热国产这里只有精品6| 国产精品偷伦视频观看了| 亚洲欧美色中文字幕在线| 嫩草影视91久久| 欧美 日韩 精品 国产| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 亚洲熟女精品中文字幕| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 丁香欧美五月| tube8黄色片| 九色亚洲精品在线播放| 亚洲av成人一区二区三| 国产精品免费大片| 黄色毛片三级朝国网站| 成人永久免费在线观看视频| 美女扒开内裤让男人捅视频| 国产高清videossex| 亚洲国产欧美网| 曰老女人黄片| av天堂久久9| 国产激情欧美一区二区| 亚洲精品国产区一区二| 日本黄色日本黄色录像| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 我的亚洲天堂| 999久久久精品免费观看国产| 国产又色又爽无遮挡免费看| 久久亚洲真实| 精品久久久久久久久久免费视频 | 中文亚洲av片在线观看爽 | 免费一级毛片在线播放高清视频 | av天堂久久9| 亚洲欧美激情在线| 国产一区二区三区综合在线观看| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 国产精品永久免费网站| 老司机午夜福利在线观看视频| 18在线观看网站| 黄色成人免费大全| 在线观看www视频免费| 精品第一国产精品| 久久精品国产亚洲av高清一级| 黄色视频不卡| 亚洲人成电影观看| bbb黄色大片| 十分钟在线观看高清视频www| 国产成人免费观看mmmm| 色尼玛亚洲综合影院| av国产精品久久久久影院| 欧美亚洲日本最大视频资源| 国产欧美亚洲国产| 日本vs欧美在线观看视频| 精品久久久精品久久久| 国产主播在线观看一区二区| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 国产片内射在线| 久久久久久免费高清国产稀缺| 久久精品国产清高在天天线| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 久久热在线av| 国产在线一区二区三区精| 中文字幕人妻丝袜制服| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 日本黄色视频三级网站网址 | 久久精品91无色码中文字幕| av天堂久久9| 老汉色∧v一级毛片| 成人亚洲精品一区在线观看| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 99精品欧美一区二区三区四区| 久久性视频一级片| 中文字幕av电影在线播放| 久久国产精品影院| 久久久水蜜桃国产精品网| 人人妻人人澡人人看| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 精品人妻1区二区| 高清黄色对白视频在线免费看| 国产亚洲欧美精品永久| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 男女午夜视频在线观看| 电影成人av| 狂野欧美激情性xxxx| 国产精品一区二区精品视频观看| 亚洲av美国av| 最新在线观看一区二区三区| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| a级片在线免费高清观看视频| 日韩人妻精品一区2区三区| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 老司机在亚洲福利影院| 日韩三级视频一区二区三区| 国产精品免费大片| 久久人人97超碰香蕉20202| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 最近最新中文字幕大全电影3 | 丝袜人妻中文字幕| 亚洲国产欧美网| 99re在线观看精品视频| 久久午夜亚洲精品久久| 激情在线观看视频在线高清 | 窝窝影院91人妻| 免费黄频网站在线观看国产| 超色免费av| 亚洲精品av麻豆狂野| 久久久国产欧美日韩av| 午夜福利免费观看在线| 久久久国产一区二区| 久热爱精品视频在线9| 在线天堂中文资源库| 两人在一起打扑克的视频| 岛国在线观看网站| 国产午夜精品久久久久久| 操美女的视频在线观看| 下体分泌物呈黄色| 国产精品国产av在线观看| 99国产精品一区二区蜜桃av | 91成年电影在线观看| 国产av精品麻豆| 久久久久视频综合| 日日夜夜操网爽| 老汉色∧v一级毛片| 国产欧美日韩一区二区三| 最近最新中文字幕大全电影3 | 亚洲五月色婷婷综合| 十八禁高潮呻吟视频| 在线天堂中文资源库| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 亚洲avbb在线观看| 我的亚洲天堂| 成年版毛片免费区| 麻豆成人av在线观看| 国产av一区二区精品久久| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 国产深夜福利视频在线观看| 俄罗斯特黄特色一大片| 亚洲成国产人片在线观看| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 国产xxxxx性猛交| 狠狠狠狠99中文字幕| 99精品久久久久人妻精品| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 欧美人与性动交α欧美软件| 丝袜在线中文字幕| 亚洲精品粉嫩美女一区| 精品一区二区三区四区五区乱码| 91精品国产国语对白视频| 国产精品一区二区精品视频观看| 亚洲视频免费观看视频| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 精品一区二区三区四区五区乱码| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 亚洲色图av天堂| 国产区一区二久久| 日本wwww免费看| 制服人妻中文乱码| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 一级a爱片免费观看的视频| 亚洲av成人一区二区三| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 国产一区在线观看成人免费| 高清视频免费观看一区二区| 狠狠狠狠99中文字幕| 久久久国产成人精品二区 | 一进一出抽搐动态| 亚洲av成人一区二区三| 久久精品国产a三级三级三级| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 国产成人精品久久二区二区91| 性少妇av在线| 又紧又爽又黄一区二区| 在线观看一区二区三区激情| 久久久国产精品麻豆| 美女 人体艺术 gogo| 国产精品欧美亚洲77777| 国产亚洲av高清不卡| 亚洲熟妇熟女久久| 国产黄色免费在线视频| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 中文字幕高清在线视频| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 欧美午夜高清在线| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 午夜精品久久久久久毛片777| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 国产成人欧美| 成年人免费黄色播放视频| 亚洲熟女精品中文字幕| 中文字幕av电影在线播放| 婷婷成人精品国产| 亚洲欧美激情在线| 欧美成人午夜精品| 国产深夜福利视频在线观看| 久久久水蜜桃国产精品网| av福利片在线| 咕卡用的链子| 国产精品影院久久| 老汉色av国产亚洲站长工具| 男人的好看免费观看在线视频 | 飞空精品影院首页| 国产一卡二卡三卡精品| 1024视频免费在线观看| 黄片播放在线免费| 美女视频免费永久观看网站| 成年人免费黄色播放视频| 99热网站在线观看| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 精品久久久久久,| 麻豆国产av国片精品| www日本在线高清视频| 亚洲精品美女久久av网站| 多毛熟女@视频| 男女午夜视频在线观看| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 无限看片的www在线观看| 欧美黑人欧美精品刺激| √禁漫天堂资源中文www| 日韩欧美国产一区二区入口| 日韩有码中文字幕| 日韩中文字幕欧美一区二区| 中国美女看黄片| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 女人久久www免费人成看片| 国产片内射在线| 国产在线观看jvid| 成人国语在线视频| 黄色 视频免费看| 老鸭窝网址在线观看| av电影中文网址| 欧美激情极品国产一区二区三区| 国产片内射在线| 亚洲国产精品sss在线观看 | 极品人妻少妇av视频| 亚洲欧美激情在线| 丝袜人妻中文字幕| 亚洲精品成人av观看孕妇| 欧美日韩乱码在线| 日韩免费高清中文字幕av| 老汉色av国产亚洲站长工具| 制服诱惑二区| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 精品一区二区三区视频在线观看免费 | 精品国产美女av久久久久小说| 高清黄色对白视频在线免费看| 久久香蕉激情| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 国产精品一区二区在线不卡| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 亚洲精品中文字幕在线视频| 啦啦啦免费观看视频1| videosex国产| 人成视频在线观看免费观看| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 国产精品久久久久久精品古装| 亚洲全国av大片| av在线播放免费不卡| 男女床上黄色一级片免费看| 午夜精品久久久久久毛片777| svipshipincom国产片| 亚洲在线自拍视频| 又黄又粗又硬又大视频| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 久久精品人人爽人人爽视色| 国产伦人伦偷精品视频| 波多野结衣一区麻豆| 精品国产乱子伦一区二区三区| 真人做人爱边吃奶动态| 欧美亚洲日本最大视频资源| 18禁美女被吸乳视频| 国产精品久久电影中文字幕 | 国产免费av片在线观看野外av| 99国产综合亚洲精品| 欧美黄色淫秽网站| 亚洲午夜理论影院| 日韩成人在线观看一区二区三区| 99精国产麻豆久久婷婷| 十分钟在线观看高清视频www| 热re99久久国产66热| 婷婷精品国产亚洲av在线 | 欧美性长视频在线观看| 欧美黑人精品巨大| 久久午夜亚洲精品久久| 校园春色视频在线观看| 亚洲色图综合在线观看| 无限看片的www在线观看| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 国产国语露脸激情在线看| 女人被狂操c到高潮| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 久久亚洲精品不卡| tocl精华| 久久国产亚洲av麻豆专区| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 久久亚洲精品不卡| 午夜精品在线福利| 国产成+人综合+亚洲专区| 少妇被粗大的猛进出69影院| 久久午夜亚洲精品久久| 在线观看舔阴道视频| xxxhd国产人妻xxx| 日韩免费av在线播放| av网站免费在线观看视频| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 男男h啪啪无遮挡| 另类亚洲欧美激情| 国产国语露脸激情在线看| 亚洲一区中文字幕在线| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 国产精品久久久人人做人人爽| 超色免费av| 精品久久久精品久久久| 国产精品免费一区二区三区在线 | 日日夜夜操网爽| 99re在线观看精品视频| 午夜精品久久久久久毛片777| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 国产成人系列免费观看| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 欧美国产精品va在线观看不卡| 日韩欧美一区视频在线观看| 美女 人体艺术 gogo| 国产亚洲一区二区精品| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 欧美黑人精品巨大| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 日本黄色视频三级网站网址 | 亚洲欧美一区二区三区久久| 深夜精品福利| 大片电影免费在线观看免费| 三上悠亚av全集在线观看| 久久性视频一级片| 老司机亚洲免费影院| 亚洲国产精品sss在线观看 | 丝袜美腿诱惑在线| 精品国内亚洲2022精品成人 | 男女下面插进去视频免费观看| 黄色丝袜av网址大全| 久久久久久久国产电影| 这个男人来自地球电影免费观看| 亚洲午夜理论影院| 黄色视频不卡| 国产精品一区二区在线不卡| 新久久久久国产一级毛片| 黄频高清免费视频| 午夜久久久在线观看| 日韩欧美国产一区二区入口| 中文字幕人妻丝袜制服| bbb黄色大片| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 精品亚洲成国产av| 中国美女看黄片| 欧美国产精品va在线观看不卡| 老汉色av国产亚洲站长工具| 高清在线国产一区| 亚洲第一av免费看| 欧美日韩一级在线毛片| 国产精品免费视频内射| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 91精品国产国语对白视频| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 成年女人毛片免费观看观看9 | 视频区欧美日本亚洲| 精品久久久久久久久久免费视频 | 水蜜桃什么品种好| 91成年电影在线观看| 精品国内亚洲2022精品成人 | 亚洲五月天丁香| 91在线观看av| 十八禁网站免费在线| 女人被狂操c到高潮| 好男人电影高清在线观看| 男人的好看免费观看在线视频 | 亚洲色图综合在线观看| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 一二三四在线观看免费中文在| 亚洲 国产 在线| 99精国产麻豆久久婷婷| 国产高清国产精品国产三级| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 电影成人av| 91九色精品人成在线观看| 宅男免费午夜| 欧美成人免费av一区二区三区 | 午夜福利乱码中文字幕| 精品熟女少妇八av免费久了| 一级黄色大片毛片| 老鸭窝网址在线观看| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 亚洲精品粉嫩美女一区| 亚洲精品国产色婷婷电影| avwww免费| 久久人妻av系列| 美女高潮到喷水免费观看| 亚洲一区二区三区不卡视频| 天天操日日干夜夜撸| av电影中文网址| 亚洲av欧美aⅴ国产| 丰满饥渴人妻一区二区三| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 国产片内射在线| 一二三四社区在线视频社区8| 黑人欧美特级aaaaaa片| 精品久久久久久久毛片微露脸| 搡老熟女国产l中国老女人| 男女免费视频国产| 一区二区三区激情视频| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 亚洲国产精品sss在线观看 | 国产精品一区二区在线不卡| 久久香蕉国产精品| 99国产精品一区二区三区| 久久亚洲真实| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 国产成人欧美在线观看 | 国产成人av激情在线播放| 国产成人精品在线电影| 女性被躁到高潮视频| 亚洲精品自拍成人| 午夜视频精品福利| 欧美一级毛片孕妇| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 精品一区二区三区av网在线观看| 啦啦啦免费观看视频1| 免费在线观看亚洲国产| 激情视频va一区二区三区| 免费观看人在逋| 9色porny在线观看| 纯流量卡能插随身wifi吗| 叶爱在线成人免费视频播放| 午夜久久久在线观看| 老熟妇仑乱视频hdxx| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 国产成人av教育| 亚洲中文日韩欧美视频| 一级a爱片免费观看的视频| 午夜精品在线福利| 国产精品乱码一区二三区的特点 | av不卡在线播放| 黄色 视频免费看| 精品亚洲成国产av| 可以免费在线观看a视频的电影网站| 少妇 在线观看| 久久精品国产亚洲av高清一级| 久久国产亚洲av麻豆专区| 亚洲精品粉嫩美女一区| 中文字幕av电影在线播放| 99精品欧美一区二区三区四区| 欧美国产精品一级二级三级| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 欧美另类亚洲清纯唯美| 人妻丰满熟妇av一区二区三区 | 在线永久观看黄色视频| 亚洲视频免费观看视频| 色尼玛亚洲综合影院| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 欧美黄色淫秽网站| 精品国产亚洲在线| 最近最新中文字幕大全免费视频| 国产精品 欧美亚洲| 久久 成人 亚洲| 久久亚洲精品不卡| 欧美大码av| 亚洲成人国产一区在线观看| 国产精品欧美亚洲77777| 亚洲成人国产一区在线观看| 欧美大码av| 亚洲久久久国产精品| 一级毛片女人18水好多| 国产xxxxx性猛交| 人妻久久中文字幕网| 午夜福利乱码中文字幕| 国产精品免费大片| 丁香六月欧美| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 亚洲人成电影免费在线| 日韩中文字幕欧美一区二区| 麻豆av在线久日| 少妇 在线观看| 亚洲五月婷婷丁香| 999精品在线视频| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 麻豆成人av在线观看| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 男女之事视频高清在线观看| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 在线观看免费高清a一片| 久久精品人人爽人人爽视色| 老司机深夜福利视频在线观看| 国产精品av久久久久免费| 无限看片的www在线观看| 亚洲av欧美aⅴ国产| 亚洲精品成人av观看孕妇| 嫁个100分男人电影在线观看| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 视频在线观看一区二区三区| 亚洲熟女毛片儿| 一区在线观看完整版| 久久精品国产a三级三级三级| 操美女的视频在线观看| 免费少妇av软件| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 日韩精品免费视频一区二区三区| 午夜成年电影在线免费观看| 亚洲av美国av| 99国产精品99久久久久| 亚洲九九香蕉| 国产精品99久久99久久久不卡| 日韩人妻精品一区2区三区| 搡老熟女国产l中国老女人| 国产成人精品久久二区二区91| 757午夜福利合集在线观看| 久久精品成人免费网站| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 69av精品久久久久久| 亚洲专区国产一区二区| 成年人黄色毛片网站| 99久久人妻综合| av片东京热男人的天堂| 国产成人系列免费观看| svipshipincom国产片| 午夜福利一区二区在线看| 国产97色在线日韩免费| 嫩草影视91久久| 亚洲成国产人片在线观看| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 精品无人区乱码1区二区| 男人舔女人的私密视频| 国产麻豆69| 国产xxxxx性猛交| 搡老乐熟女国产| 水蜜桃什么品种好| 国产免费现黄频在线看| 欧美色视频一区免费| 91字幕亚洲| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| www.自偷自拍.com| 成人国语在线视频| 人妻 亚洲 视频| 午夜免费鲁丝| 99精国产麻豆久久婷婷| 老司机在亚洲福利影院| 一级作爱视频免费观看| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 人人妻人人澡人人看| 午夜免费成人在线视频| 老司机午夜福利在线观看视频| 亚洲美女黄片视频| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 美女福利国产在线| videosex国产| 美国免费a级毛片| 老鸭窝网址在线观看| 在线观看免费视频日本深夜| 国产色视频综合| 婷婷精品国产亚洲av在线 | 午夜福利视频在线观看免费| 大片电影免费在线观看免费| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 国产成人免费无遮挡视频|