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    一道全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的推廣

    2017-03-27 21:36范志勇李中杰
    關(guān)鍵詞:特征值矩陣

    范志勇+李中杰

    【摘要】受第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽一道預(yù)賽試題的啟發(fā),研究形如AX=XB的矩陣方程只有零解的充分條件,將競(jìng)賽試題推廣到更為一般的形式.

    【關(guān)鍵詞】大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽;矩陣;矩陣方程;特征值

    【中圖分類號(hào)】O151.2【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】C

    【基金項(xiàng)目】河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2014GGJS-193)

    一、引言

    2015年第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(數(shù)學(xué)類)預(yù)賽試題第三大題:

    設(shè)A為n階實(shí)方陣,其n個(gè)特征值皆為偶數(shù).試證明關(guān)于X的矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.

    證明如下.

    設(shè)C=I+A,B=A2,A的n個(gè)特征值為λ1,λ2,…,λn,則B的n個(gè)特征值為λ21,λ22,…,λ2n;

    C的n個(gè)特征值為μ1=λ1+1,μ2=λ2+1,…,μn=λn+1;C的特征多項(xiàng)式為pC(λ)=(λ-μ1)(λ-μ2)…(λ-μn).

    若X為X+AX-XA2=0的解,則有CX=XB;進(jìn)而C2X=XB2,…,CkX=XBk,…,結(jié)果0=pC(C)X=XpC(B)=X(B-μ1I)…(B-μnI).注意到B的n個(gè)特征值皆為偶數(shù),而C的n個(gè)特征值皆為奇數(shù),故(B-μ1I),…,(B-μnI)皆為可逆矩陣,結(jié)果由0=X(B-μ1I)…(B-μnI)立得X=0.

    受此啟發(fā),考慮一般的問(wèn)題:方陣A與B滿足什么條件時(shí),關(guān)于X的矩陣方程AX=XB只有零解.

    二、主要結(jié)論

    定義1設(shè)A∈Pn×n,λ∈P,如果存在X∈Pn且X≠0,使AX=λX,則稱λ是矩陣A的一個(gè)特征值,稱X是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.

    定義2設(shè)A∈Pn×n,λ∈P.矩陣λE-A的行列式

    |λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n

    λ-a21λ-a22…λ-a2n

    λ-an1λ-an2…λ-ann

    稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式,記為fA(λ).

    注fA(λ)是一個(gè)關(guān)于λ的n次多項(xiàng)式,其在P中的根即為矩陣A的全部特征值.

    引理1[哈密頓-凱萊(Hamilton-Caylay)定理]設(shè)A∈Pn×n,fA(λ)=|λE-A|是矩陣A的特征多項(xiàng)式,則

    fA(A)=An-(a11+a22+…+ann)An-1+…+(-1)n|A|E=0.

    注這表明矩陣A的特征多項(xiàng)式是矩陣A的零化多項(xiàng)式.

    引理2設(shè)A∈Cn×n,B∈Cm×m,則fA(B)(fB(A))是m階(n階)可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無(wú)公共特征值.

    證設(shè)A的n個(gè)特征值為λ1,λ2,…,λn,B的m個(gè)特征值為μ1,μ2,…,μm,則

    fA(λ)=|λE-A|n=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn),

    fB(λ)=|λE-B|m=(λ-μ1)(λ-μ2)…(λ-μm),

    于是,fA(B)=(B-λ1E)(B-λ2E)…(B-λnE).

    注意到對(duì)任意1≤k≤n,有

    |B-λkE|m=(-1)m|λkE-B|m=(-1)mfB(λk)=(-1)m(λk-μ1)…(λk-μm)=(-1)m∏mj=1(λk-μj),

    故|fA(B)|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=(-1)mn∏ni=1∏mj=1(λi-μj).

    因此,若fA(B)可逆,則

    |fA(B)|m=(-1)mn∏ni=1∏mj=1(λi-μj)≠0,

    于是λi≠μj(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),從而矩陣A與B無(wú)公共特征值;反之亦真.

    同理可證fB(A)是n階可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無(wú)公共特征值.(證完)

    定理1設(shè)A∈Cn×n,B∈Cm×m,A與B無(wú)公共特征值,則矩陣方程AX=XB只有零解,其中X是n×m矩陣.

    首先,X=0是AX=XB的一個(gè)解.其次,設(shè)X=X0是AX=XB的任一解,則AX0=X0B,于是A2X0=A(AX0)=A(X0B)=(X0B)B=X0B2,進(jìn)而A3X0=X0B3,…,AkX0=X0Bk,…,(k∈N).注意到A的特征多項(xiàng)式fA(λ)=λn+∑nk=1(-1)kbkλn-k,其中bk(k=1,2,…,n)是A的所有k階主子式之和,于是有fA(A)X0=X0fA(B).

    由引理1知fA(A)=0,則X0fA(B)=0,又A與B無(wú)公共特征值,則由引理2知fA(B)是m階可逆矩陣,于是X0=0.因此,矩陣方程AX=XB只有零解.(證完)

    三、應(yīng)用

    解決第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(數(shù)學(xué)類)預(yù)賽試題第三大題.

    矩陣方程X+AX-XA2=0可變形為(E+A)X=XA2,下面只要證E+A與A2無(wú)公共特征值即可.

    注意到A的n個(gè)特征值皆為偶數(shù),則A2的n個(gè)特征值皆為偶數(shù),E+A的n個(gè)特征值皆為奇數(shù),故E+A與A2無(wú)公共特征值.由定理1立得矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.

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