巧析問題情景 突破解題難點(diǎn)

林喆

摘要：解答數(shù)學(xué)題的難點(diǎn)就是分析題意，找到突破點(diǎn)。實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)題往往根據(jù)相關(guān)概念、性質(zhì)以及圖像信息進(jìn)行拓展和延伸得到的，因此解答題目必須要具備“透過事實(shí)看本質(zhì)”的能力，具體來講就是正確分析問題的情景，找到問題的本質(zhì)，從而抓住“突破口”，快速、準(zhǔn)確地解決問題。

關(guān)鍵詞：問題情景；定義；類比；轉(zhuǎn)化；圖形

課改背景下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)不再是掌握數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，而是要能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。通過分析高考試卷和教材習(xí)題發(fā)現(xiàn)，大部分?jǐn)?shù)學(xué)題目都是根據(jù)概念、性質(zhì)以及圖像信息拓展和延伸得到，解決問題的關(guān)鍵就是分析問題的情景，找到問題的本質(zhì)，抓住“突破口”。

“新信息”的套用與分析

所謂“新信息背景問題”，是指題目中會介紹一個“課本外的知識”，并說明它的規(guī)則，然后按照這個規(guī)則去解決問題。它主要考察學(xué)生接受并運(yùn)用新信息解決問題的能力。這類問題有時提供的信息比較抽象，并且能否讀懂并應(yīng)用“新信息”是解決此類問題的關(guān)鍵。讀取“新信息”的步驟：一是，若題目中含有變量，則要先確定變量的取值范圍；二是確定新信息所涉及的知識背景，尋找與所學(xué)知識的聯(lián)系；三是把對“新信息”的理解應(yīng)用到具體問題中，進(jìn)行套用與分析。

理解“新信息”可通過“舉例子”的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對新信息的理解，也可用自己的語言轉(zhuǎn)述“新信息”所表達(dá)的內(nèi)容，如果能夠清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；如果“新信息”是書本知識上某個概念的推廣，則要關(guān)注此信息與原概念的不同之處，以及在什么情況下可以使用原概念。

以形助數(shù)，根據(jù)結(jié)構(gòu)聯(lián)系圖形

在解決具有明顯幾何意義的問題時，往往挖掘其延伸的幾何信息，以形助數(shù)找到問題突破口，另辟捷徑來解決問題。如在解決一些不等式的恒成立問題中，可以從所求的參數(shù)在圖像中是否具備一定的幾何含義，然后利用題目中所給的條件大都能翻譯成圖像上的特征，然后求解問題。

例1.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f（x）=（|x-a2|+ |x-2a2|-3a2），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。

思路分析：是奇函數(shù)且在x>0時是分段函數(shù)（以為界），且形式比較復(fù)雜，恒成立的不等式較難轉(zhuǎn)化為具體的不等式，所以不優(yōu)先考慮參變分離或是最值法。從數(shù)形結(jié)合的角度來看，一方面的圖像比較容易作出，另一方面可看作是的圖像向右平移一個單位所得，相當(dāng)于也有具體的圖像。所以考慮利用圖像尋找滿足的條件。先將寫為分段函數(shù)形式：，作出正半軸圖像后再根據(jù)奇函數(shù)特點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱作出x負(fù)半軸圖像。恒成立，意味著的圖像向右平移一個單位后，其圖像恒在的下方。通過觀察可得在平移一個單位至少要平移個長度，所以可得：。

評注：利用題設(shè)作圖時要了解所求參數(shù)在圖像中扮演的角色，可“先靜再動”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖像，再做含參數(shù)函數(shù)的圖像（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化），同時，在作圖時，要注意草圖的信息點(diǎn)盡量完備。

利用定義、性質(zhì)突破難點(diǎn)

定義與性質(zhì)在解題的過程中的“點(diǎn)擊率”非常高，但是大部分學(xué)生都不能夠“通過事實(shí)看本質(zhì)”，往往不能夠化繁為簡，回歸本源，找到突破口。橢圓方程的題目出現(xiàn)時，往往就是運(yùn)用性質(zhì)、定義，但學(xué)生往往不能完成轉(zhuǎn)化。

例2.已知F1、F2是橢圓圖形的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，則橢圓圖形離心率的取值范圍是（ ）。

A. B. C. D.

思路：考慮在橢圓上的點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線所成的角中，當(dāng)P位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時，達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在的點(diǎn)P，則短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角，考慮該角與a，b，c的關(guān)系，由橢圓對稱性可知，，所以，即，進(jìn)而即，解得，再由可得。

評注：本題的解題方法有多種，此處只講了一種。它們的重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計算求解。

解題之前，要先分析題目給出的情景，找到題目中給出的已知條件，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，從而找到突破口，就能夠快速、準(zhǔn)確地完成題目。

（作者單位：吉林省長春市第十一中學(xué)）