數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

魏金鳳

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)解題中實用性較強的一種方法，在平常的學(xué)習(xí)和研究中注重對這種思想的靈活運用，根據(jù)題目條件合理運用圖形，根據(jù)圖形拓展思維，真正做到“數(shù)”和“形”的結(jié)合，從而提高學(xué)生的解題能力。以高中數(shù)學(xué)為對象，探析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學(xué);解題

如今，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，多數(shù)同學(xué)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、勇于創(chuàng)新和挑戰(zhàn)的意識還未養(yǎng)成，機械模仿教師方案、簡單套用教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)象十分普遍。學(xué)生只是知識的搬運工，無法通過掌握知識的熟練應(yīng)用，透過數(shù)學(xué)概念、原理、模型等進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深層次延伸。此外，學(xué)生對數(shù)學(xué)中的概念理解不到位，只能做到詞句之間的表征結(jié)構(gòu)對比，無法從內(nèi)容本質(zhì)上進行數(shù)形結(jié)合解題，對提高高中數(shù)學(xué)解題能力不利。在高中數(shù)學(xué)解題中使用數(shù)形結(jié)合思想，能將代數(shù)和幾何問題進行靈活轉(zhuǎn)化，促使復(fù)雜的問題簡單化，幫助學(xué)生通過圖形直接看出題目的本質(zhì)，將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體圖形，這也說明數(shù)形結(jié)合思想能更便捷地幫助學(xué)生理解知識，掌握知識，消化知識。

一、數(shù)學(xué)結(jié)合思想的應(yīng)用價值

數(shù)形結(jié)合能讓某些抽象的數(shù)學(xué)知識變得形象化和生動化，從而將抽象思維轉(zhuǎn)化為具象思維，幫助學(xué)生分析和理解，在高中數(shù)學(xué)解題中有著較為廣泛的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，從本質(zhì)上來看是將抽象的數(shù)字語言同直觀的圖形語言有機地結(jié)合起來，對該思想的應(yīng)用，關(guān)鍵在于促進數(shù)字與圖形彼此間的有效轉(zhuǎn)化，促使數(shù)字問題實現(xiàn)圖形化，圖形問題能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)字化，借助這種轉(zhuǎn)化，讓數(shù)學(xué)問題從復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化，使解題過程事半功倍。對于數(shù)形結(jié)合思想來說，其主要分為兩種：一為以圖形性質(zhì)為條件，對數(shù)值進行求解，即借助圖形的直觀性對數(shù)字間關(guān)系加以解決;二為以數(shù)字為條件，對圖形性質(zhì)進行分析，即借助數(shù)字的嚴(yán)謹(jǐn)及精確性，對圖形性質(zhì)進行分析[1]。隨著高中數(shù)學(xué)問題抽象化加深，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中知識點理解困難形成學(xué)習(xí)阻礙，學(xué)習(xí)壓力提升。而數(shù)形結(jié)合不僅是一種教學(xué)方法，更是一種思維方式和解題策略。在抽象知識的學(xué)習(xí)中高效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以對一些問題采用圖形表示，利用圖形對數(shù)學(xué)語言進行解釋更為直觀，從而解決抽象的、較難理解的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生降低高中數(shù)學(xué)解題難點[2]。在實際解題過程中，學(xué)生可通過題目已知條件，利用圖形獲取答案，找出其中的數(shù)量關(guān)系。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一）在集合問題解題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，集合作為其中基礎(chǔ)和重點內(nèi)容，是較為常考的題目。集合在表示方法上有很多，對集合題目進行求解時，如僅依靠字面意思或數(shù)學(xué)符號加以理解及解題，會存在較大的難度。對集合類題目進行解題時，如果應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，以文氏圖、數(shù)軸等較為明顯的圖像將集合表現(xiàn)出來，能夠使抽象的集合問題簡化，繼而更容易求解出來，有效提升集合問題的解題效率。例如：M、N為集合I的非空真子集，且兩個子集并不相等。如M∩CIM=？準(zhǔn)，則M∪N=（? ）。

對這一集合問題進行求解過程中，可對數(shù)形結(jié)合思想加以引入，通過文氏圖來求解，對解題思路進行簡化。如下圖1所示，M∩CIM=？準(zhǔn)，所以N？哿M。由于M≠N，所以N真包含于M，因此M∪N=M。在這一解題過程中，對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，使得各類復(fù)雜的計算過程得以避免。

（二）在立體幾何解題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，立體幾何屬于重要知識體系，對于很多學(xué)生來說也屬于學(xué)習(xí)難點。從立體幾何的概念可以看出，其具有立體特點，對立體幾何進行學(xué)習(xí)時，同樣需要具備立體感和空間想象力。在立體幾何問題的解題中，對數(shù)形結(jié)合思想加以應(yīng)用，可借助立體幾何圖形和數(shù)字的有機結(jié)合，實現(xiàn)對立體幾何解題過程的簡化，提高立體幾何解題效率和正確性。如下圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，其底面為平行四邊形。已知∠DAB為60°，且AB=2AD，PD⊥面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

在立體幾何題目中，對二面角進行求解時，通常需要找出對應(yīng)平面角，在計算其邊長的基礎(chǔ)上，將余弦定理引入然后進行求解。該求解過程需要展開大量計算，且需要通過輔助線進行求解，容易出現(xiàn)錯誤。而對數(shù)形結(jié)合思想加以應(yīng)用，通過向量法進行求解，則可使復(fù)雜的幾何問題向相對簡單的代數(shù)問題轉(zhuǎn)變，在解題思路與過程上均可得到較大簡化。解題過程中，可根據(jù)圖2畫出圖3。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想作為解決高中數(shù)學(xué)題型比較實用的一種方法，特別是在解決高中幾何題型中具有明顯的優(yōu)勢。本文從數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用價值入手依托具體例子，分析其在數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用。

參考文獻：

[1]孔憲榮.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究[J].高中數(shù)理化，2015（12）：13.

[2]周晶.淺談數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2017，11（5）：224-225.

編輯 謝尾合