基于APOS理論的二次根式概念教學(xué)

林勇兵

一、關(guān)于APOS理論概述

近期教育界提出“以學(xué)為中心”的教育思想，其主要倡導(dǎo)我們的課堂要從老師教為主，變成學(xué)生學(xué)為主。任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)致力于對(duì)“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解，而不僅僅是陳述一些事實(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)概念的掌握尤為重要，這直接影響到學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的學(xué)習(xí)。概念的掌握需要學(xué)生通過(guò)親身體驗(yàn)、感受概念的直觀背景和概念之間的關(guān)系，通過(guò)對(duì)操作活動(dòng)的理解概括，學(xué)生如果是這樣獲得概念，那么教學(xué)中就可事半功倍。

基于對(duì)概念教學(xué)的考慮，1991年美國(guó)數(shù)學(xué)家、教育家杜賓斯基等人提出一種建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)——APOS理論。它將數(shù)學(xué)概念的獲得分為“活動(dòng)——過(guò)程——對(duì)象——圖式”四個(gè)階段。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的獲得有兩種主要方式：概念形成和概念同化。概念形成要求學(xué)生由具體事實(shí)概括出新概念，利用學(xué)生在實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中大量的生動(dòng)具體事例，以歸納的方式概括出一類事物的本質(zhì)屬性，初步形成一個(gè)新概念。而概念同化則直接向?qū)W生展示定義，即利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識(shí)理解新概念，比較強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu)，這是一種接受學(xué)習(xí)，是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的主要方式。APOS理論反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的思維過(guò)程，正所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”，知道學(xué)生是如何學(xué)習(xí)概念，我們就可以把課堂按學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì)。在課堂上，學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)我們安排的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，理解數(shù)學(xué)概念。這就是我們現(xiàn)階段提倡的“以生為主體”“以學(xué)為中心”，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)設(shè)計(jì)課堂。

二、APOS理論的應(yīng)用

人教版數(shù)學(xué)課本中二次根式是在平方根與算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，二次根式的掌握影響下一章勾股定理的學(xué)習(xí)。二次根式概念屬于概念同化，因?yàn)樗窃趯W(xué)生已有的算術(shù)平方根的概念基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中，算術(shù)平方根與二次方根的聯(lián)系與區(qū)別是本章學(xué)生掌握的重點(diǎn)和難點(diǎn)。如何突破這個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)中，我根據(jù)APOS理論的四個(gè)階段，把二次根式概念的教學(xué)也分成了四個(gè)階段，以此來(lái)幫助學(xué)生理解概念。

第一階段（Action）：作為“活動(dòng)”的二次根式運(yùn)算。在這個(gè)階段中，意味著求a的算術(shù)平方根，而a只能是非負(fù)數(shù)。實(shí)際教學(xué)中可先讓學(xué)生回顧平方根與算術(shù)平方根的概念以及它們的計(jì)算方法，再讓學(xué)生完成以下相應(yīng)練習(xí)。

計(jì)算：（1）=_______；（2）=_______；（3）=________；（4）=_________；（5）=________；（6）=________。

最后給出二次根式的定義：“形如（a≥0）的式子叫作二次根式”。這樣使學(xué)生明確二次根式的本質(zhì)就是算術(shù)平方根。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生只要已經(jīng)掌握算術(shù)平方根的運(yùn)算，就可以進(jìn)行二次根式的計(jì)算，且容易理解為什么被開(kāi)方數(shù)與根式結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。但對(duì)于二次根式與算術(shù)平方根的區(qū)別，還需要進(jìn)一步的引導(dǎo)。

第二階段（Process）：作為“程序”的二次根式運(yùn)算。經(jīng)過(guò)多次重復(fù)的“活動(dòng)”以及基于活動(dòng)的反思，學(xué)習(xí)者逐漸把“活動(dòng)”內(nèi)化為一個(gè)“程序”。在這一階段學(xué)習(xí)者不必具體實(shí)施就可以“想象”出“活動(dòng)”結(jié)果，通過(guò)對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過(guò)程，在頭腦中進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念也有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，從而改變對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的看法。教學(xué)中，我們可以用一些二次根式的是否有意義及其結(jié)果的非負(fù)性等練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到它是代數(shù)式，達(dá)到讓學(xué)生熟悉掌握概念。

判斷題（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）。

（1）2=-（ ）；

（2）=-（ ）；

（3）-2=-（ ）；

（4）22=2×=1（ ）。

在第一階段的活動(dòng)中，學(xué)生已經(jīng)明確了二次根式的雙重非負(fù)性。因此在解上題時(shí)，學(xué)生抽象出二次根式的性質(zhì)，不再局限于計(jì)算。

第三階段（Object）：作為“對(duì)象”的二次根式。符號(hào)表示a的算術(shù)平方根也可看作是一個(gè)式子。通過(guò)前兩個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生開(kāi)始接受二次根式這一概念，并把它看作是一個(gè)式子，只是在計(jì)算時(shí)使用算術(shù)平方根的定義。在這一階段，我們可將二次根式的被開(kāi)方數(shù)換成字母。

（1）當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

（2）使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè)。

A.0 B.1 C.2 D.無(wú)數(shù)

（3）若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________。

字母更具有代表性和一般性，將被開(kāi)方數(shù)轉(zhuǎn)換為與字母相關(guān)的代數(shù)式，學(xué)生開(kāi)始體會(huì)二次根式作為式的存在，并且在前期計(jì)算的基礎(chǔ)上，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的意義，學(xué)生容易理解相關(guān)字母的取值，從而解決二次根式定義的概念教學(xué)。

第四階段（Scheme）：作為“圖式結(jié)構(gòu)”的二次根式，它與整式、分式相同，都是用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子，這些式子統(tǒng)稱為代數(shù)式。既然是代數(shù)式，它就會(huì)有自身的特點(diǎn)，利用這種特點(diǎn)就可以解決相應(yīng)的問(wèn)題。

（1）若+有意義，則=_____。

（2）已知a、b為實(shí)數(shù)，且+2=b+4，求a、b的值。

（3）已知+=0，求x、y的值。

這類題就需要學(xué)生充分掌握二次根式的特點(diǎn)，同時(shí)也是檢驗(yàn)學(xué)生是否達(dá)到要求的標(biāo)準(zhǔn)。

三、理論應(yīng)用的反思

雖然APOS理論反映了學(xué)生學(xué)習(xí)概念的思維過(guò)程，但按這樣的過(guò)程進(jìn)行教學(xué)時(shí)，由于各種因素的影響，有時(shí)可能使教學(xué)達(dá)不到預(yù)期效果。

1.課堂不能兼顧每個(gè)學(xué)生的概念理解

由于每個(gè)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)不一樣，所擁有的經(jīng)驗(yàn)也不同，這使得他們?cè)诶斫飧拍畹倪^(guò)程中會(huì)產(chǎn)生差異。大部分學(xué)生都能達(dá)到第四階段的要求，但有部分學(xué)生只能達(dá)到第三階段的要求，甚至可能是第一或第二階段的要求。這是因?yàn)樵摾碚撝豢紤]到學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過(guò)程，而沒(méi)有考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)能力差異。

2.是否所有的數(shù)學(xué)概念都適用APOS理論

有些數(shù)學(xué)概念學(xué)生之前沒(méi)有任何了解，也沒(méi)有任何知識(shí)基礎(chǔ)，如人教版初中數(shù)學(xué)中方差是為了表示數(shù)據(jù)的穩(wěn)定情況，學(xué)生之前沒(méi)有相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，這個(gè)概念是為了統(tǒng)計(jì)的需要而定義的。其實(shí)人教版的教學(xué)要求也只是讓學(xué)生能了解方差并能計(jì)算，不需要進(jìn)一步理解。有些概念學(xué)生在生活中已經(jīng)有深刻的接觸，數(shù)學(xué)中只是給它們一個(gè)定義，如全等圖形是生活中最常見(jiàn)的，軸對(duì)稱圖形是很多建筑中經(jīng)常使用的，數(shù)學(xué)中只是給它們一個(gè)名稱。

3.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是否都要達(dá)到“圖式結(jié)構(gòu)”的要求

有些概念本身比較抽象，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，理解比較困難，且《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)它們的要求也只是了解。如函數(shù)是表示變量之間的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取任何一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量都有唯一的一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，這時(shí)稱另一個(gè)變量為其中一個(gè)變量的函數(shù)。假如另一個(gè)變量有兩個(gè)或以上的值與之相對(duì)應(yīng)，則它就不是其中一個(gè)變量的函數(shù)。學(xué)生要理解這種數(shù)量關(guān)系，已經(jīng)比較困難，如果還要達(dá)到“圖式結(jié)構(gòu)”的要求，這就超越學(xué)生的認(rèn)知水平了。

APOS理論真實(shí)地反映了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的思維過(guò)程，它不僅指出學(xué)生的概念學(xué)習(xí)是建構(gòu)的過(guò)程，還指明了建構(gòu)的層次；既強(qiáng)調(diào)了概念形成對(duì)過(guò)程的體驗(yàn)，還強(qiáng)調(diào)了概念建構(gòu)的最終結(jié)果——在腦海里建立綜合的心理圖式；既重視學(xué)生的概念學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，又關(guān)注了概念之間的邏輯體系。APOS理論解釋了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，是具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的學(xué)習(xí)理論，事實(shí)上，APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，本質(zhì)上更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)和鍛煉。

參考文獻(xiàn)：

1.顧伶沅.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程.福建教育，2009，（7）：23-25.

2.施俊進(jìn).關(guān)注已有經(jīng)驗(yàn)促進(jìn)自主建構(gòu)——“二次根式（1）”課堂教學(xué)實(shí)踐與反思

（作者單位：浙江省溫嶺市石塘鎮(zhèn)中學(xué)）