初中數(shù)學(xué)分類討論常見題型透析

鄭錦松

分類討論，就是在研究和解決問題時，當(dāng)問題所給對象不能統(tǒng)一進行研究，我們就需要根據(jù)對象的特征屬性，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究從而在整體上解決問題。分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，有效運用分類討論思想，有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在規(guī)律性，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性和提高學(xué)生思維的條理性都有重要的意義。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分類討論題是一種常見題型，也是中考壓軸題的熱點考點。但學(xué)生在解決此類問題時，因為考慮不周而導(dǎo)致失分的情況十分常見，究其原因主要是學(xué)生對數(shù)學(xué)問題中引起分類討論的原因認(rèn)識不夠透徹。下面就初中數(shù)學(xué)中容易引起分類討論的三類主要題型進行梳理歸納，剖析分類討論題型解答的思路、方法和技巧。

一、問題中含有參變量的不同取值會導(dǎo)致不同結(jié)果而需要進行分類討論

有些數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式或定理在不同的條件下是會有不同結(jié)論的，或者說結(jié)論只有在一定限制條件下才能成立，這時就需要用分類討論的思想方法對參變量的不同取值而導(dǎo)致出現(xiàn)多種結(jié)果的情況進行分類討論。該類題型多見于方程、不等式、函數(shù)等考點中。

【例1】解不等式：ax-2a>2x-4。（a≠2）

解析：原不等式化為（a-2）x>2（a-2）。（1）當(dāng)a>2時，原不等式的解為x>1；（2）當(dāng)a<2時，原不等式的解為x<1。

點評：本題在解題過程中涉及到不等式性質(zhì)的運用，由于不等式的性質(zhì)是按參數(shù)的不同取值分類給出的，因此在不等式解題過程中一定要注意按未知數(shù)的系數(shù)大于0、等于0或小于0三種情況進行分類討論，這樣才能做到不重不漏。

二、問題中給出條件沒有準(zhǔn)確表達幾何圖形的唯一性而需要進行分類討論

在有些數(shù)學(xué)問題中，一個語句描述的圖形可能存在多樣性，在解題過程中需要根據(jù)語句畫出不同的圖形，再結(jié)合圖形對各類情況分類討論從而得到問題的完整答案。該類題型常見于三角形、四邊形及圓的有關(guān)考點中。

【例2】一個點到圓的最小距離是4，最大距離是9，則該圓的半徑是。

解析：當(dāng)點P在⊙O內(nèi)時，如圖1，此時⊙O半徑為6.5，當(dāng)點P在⊙O外時，如圖2，此時⊙O半徑為2.5。

點評：條件沒有明確點的位置，而按照點與圓的位置關(guān)系分類有點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外三類，因此在解題過程時需要分類討論，此題點在圓上時不滿足條件，因此只有點在圓內(nèi)和圓外兩種情況。

三、“動點題”中同一運動結(jié)果但存在不同的運動過程而需要進行分類討論

點運動類型的題目是中考的熱點，更常常是中考壓軸題，在此類題型中，常常存在相同的運動結(jié)果，但有幾類不同運動過程的情況。此類題型在解題過程中要認(rèn)真分清可能存在的不同運動過程，再分類研究，最后再對各類情況綜合。

【例3】在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm。點E、F、G分別從點A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動。點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，若點F在矩形的邊BC上移動，求運動開始幾秒后以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似？

解析：設(shè)移動開始后第t秒時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似。

點評：本題從運動的觀點，考查了動點E、F、G運動后所形成的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似，應(yīng)根據(jù)動點的不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形。在這一類的問題中，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)往往要結(jié)合題目的背景進行分類，如本題三角形相似因?qū)?yīng)邊的不同而存在不同的圖形是分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。

初中數(shù)學(xué)中的分類討論問題梳理歸納主要有以上幾種題型，根據(jù)上述題型，筆者總結(jié)出用分類思想解題的一般步驟：（1）確定需分類討論的對象；（2）對所討論對象劃定分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到分類標(biāo)準(zhǔn)一致性，確保分類時做到不重復(fù)、不遺漏；（3）逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決；（4）歸納總結(jié)，整合，得出結(jié)論。

責(zé)任編輯鄒韻文