一個兩類矩陣乘積特征值實部的估計

沈 浮,夏必臘,李文濤

(中國人民解放軍陸軍軍官學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，合肥 230031)

一個兩類矩陣乘積特征值實部的估計

沈 浮,夏必臘,李文濤

(中國人民解放軍陸軍軍官學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，合肥 230031)

在證明了復(fù)正規(guī)矩陣特征值實部具有單調(diào)性的基礎(chǔ)上，給出了Hermite矩陣與復(fù)正規(guī)矩陣乘積特征值實部的范圍，具有一定的理論價值和應(yīng)用價值。

Hermite矩陣；復(fù)正規(guī)矩陣；復(fù)正定矩陣；正交補空間；可交換

本文用A>0(A≥0)表示A為正定(半正定)的Hermite矩陣；用A>B(A≥B)表示A-B是復(fù)正定(半正定)矩陣；用Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實部；用λ(A)表示矩陣A的特征值；Hermite矩陣A的n個特征值按如下排列：λ1(A)≤λ2(A)≤…≤λn(A)；用λRmin(A)和λRmax(A)分別表示復(fù)矩陣A實部最小的特征值和實部最大的特征值。

文獻[1]的定理4.4.1指出：A、B為2個Hermite矩陣，若A≥B，則λi(A)≥λi(B)(i=1,2,…,n)。本文把這一結(jié)果推廣到A、B為復(fù)正規(guī)矩陣的情形，并利用它估計出了Hermite矩陣與復(fù)正規(guī)矩陣乘積特征值實部的范圍，得到了一些有價值的結(jié)果。

1 相關(guān)定義及引理

定義1 設(shè)A∈Cn×n，若對任意的非零列向量x∈Cn都有Re(xHAx)>0(或Re(xHAx)≥0)，則稱A為復(fù)正定矩陣(或復(fù)半正定矩陣)；若對任意的非零列向量x∈Cn都有Re(xHAx)<0，則稱A為復(fù)負定矩陣。

顯然A>0(A≥0)，它也是復(fù)正定(半正定)矩陣。

引理1[2]設(shè)A∈Cn×n，A>0(A≥0)，則存在唯一的正定(半正定)矩陣G滿足A=G2，且任一個與A可交換的矩陣B必和G可交換。

引理2[3]設(shè)A∈Cn×n是復(fù)矩陣，且A為正規(guī)矩陣，則λRmin(A)E≤A≤λRmax(A)E(其中E為n階單位矩陣)。

定義2 設(shè)A∈Cn×n是復(fù)正規(guī)矩陣，對任意非零列向量x∈Cn，稱復(fù)數(shù)

(1)

為復(fù)正規(guī)矩陣A的Rayleigh商。

引理3[4]設(shè)A∈Cn×n是復(fù)正規(guī)矩陣，其n個特征值λ1=a1+ib1，λ2=a2+ib2，…，λn=an+ibn滿足a1≤a2≤…≤an，相應(yīng)的標準正交特征向量依次是x1，x2，…，xn。

引理4 設(shè)A∈Cn×n是復(fù)正規(guī)矩陣，其n個特征值λ1=a1+ib1，λ2=a2+ib2，…，λn=an+ibn滿足a1≤a2≤…≤an，k是給定的整數(shù)(1≤k≤n)，Vk是n維復(fù)向量空間中任意k維子空間，則有

(2)

證明 設(shè)A∈Cn×n的屬于特征值λ1,λ2,…,λn的標準正交特征向量依次是x1，x2，…，xn，用Rk表示k-1 維子空間span{x1,x2,…,xk-1}的正交補空間，它是n-k+1維的。因此，Vk與Rk必有公共的非零向量yk，故由引理3的 1)得

(3)

又yk∈Vk，故

(4)

因此

(5)

又由引理3的 2)知

(6)

故

(7)

引理5[1]設(shè)A≥0，k是實數(shù)，A和kA的特征值排列如下：λ1(A)≤λ2(A)≤…≤λn(A)，λ1(kA)≤λ2(kA)≤…≤λn(kA)。則(1)k≥0時，λi(kA)=kλi(A)，i=1,2,…,n；(2)k<0時，λi(kA)=kλn-i+1(A)，i=1,2,…,n。

2 主要結(jié)果

定理1和定理2就是本文的主要結(jié)果。

定理1 設(shè)A、B是n階復(fù)正規(guī)矩陣，Re(λ1(A))≤Re(λ2(A))≤…≤Re(λn(A))，Re(λ1(B))≤Re(λ2(B))≤…≤Re(λn(B))，若A≥B，則Re(λk(A))≥Re(λk(B))，(k=1,2,…,n)。

證明 因A≥B，所以對任取的非零列向量x∈Cn×1有：Re(xHAx)≥Re(xHBx)。設(shè)Vk是n維復(fù)向量空間中任意k維子空間，則有

(8)

從而有

(9)

故由定理4知

Re(λk(A))≥Re(λk(B))，k=1,2,…,n

(10)

定理2 設(shè)A∈Cn×n是半正定的Hermite矩陣，B∈Cn×n是復(fù)正規(guī)矩陣，AB=BA，則：

1) 若B是復(fù)半正定的，有

Re[λRmin(B)]·λi(A)≤Reλi(AB)≤Re[λRmax(B)]·λi(A)，i=1,2,…,n

(11)

2) 若Re[λRmax(B)]≥0，Re[λRmin(B)]≤0，有

Re[λRmin(B)]·λn-i+1(A)≤Reλi(AB)≤Re[λRmax(B)]·λi(A)，i=1,2,…,n

(12)

3) 若B是復(fù)負定矩陣，有

Re[λRmin(B)]·λn-i+1(A)≤Reλi(AB)≤Re[λRmax(B)]·λn-i+1(A)，i=1,2,…,n

證明 由引理2知λRmin(B)E≤B≤λRmax(B)E，于是

λRmax(B)A=A1/2[λRmax(B)E-B]A1/2+A1/2BA1/2≥A1/2BA1/2

(13)

A1/2BA1/2=A1/2[B-λRmin(B)E]A1/2+λRmin(B)A≥λRmin(B)A

(14)

所以

λRmin(B)A≤A1/2BA1/2≤λRmax(B)A

(15)

因AB=BA，所以ABH=BHA，即A與BH也可交換。由引理1知

(A1/2BA1/2)(A1/2BA1/2)H=A1/2BA1/2A1/2BHA1/2=A1/2BHA1/2A1/2BA1/2=

(A1/2BA1/2)H(A1/2BA1/2)

(16)

即A1/2BA1/2為復(fù)正規(guī)矩陣。從而根據(jù)定理1得

Reλi[λRmin(B)A]≤Reλi(A1/2BA1/2)≤Reλi[λRmax(B)A]

(17)

1) 當B是復(fù)半正定時，Reλi(B)≥0，又A≥0，即λi(A)≥0，于是由式(17)及引理5可得

Re[λRmin(B)]·λi(A)≤Reλi(A1/2BA1/2)≤Re[λRmax(B)]·λi(A)

(18)

即

Re[λRmin(B)]·λi(A)≤Reλi(AB)≤Re[λRmax(B)]·λi(A)，i=1,2,…,n

(19)

2) 當Re[λRmax(B)]>0，Re[λRmin(B)]<0時，由引理5知

Reλi[λRmin(B)A]=Re[λRmin(B)]·λn-i+1(A)

(20)

于是得

Re[λRmin(B)]·λn-i+1(A)≤Reλi(A1/2BA1/2)≤Re[λRmax(B)]·λi(A)

(21)

即

Re[λRmin(B)]·λn-i+1(A)≤Reλi(AB)≤Re[λRmax(B)]·λi(A)，i=1,2,…,n

(22)

3) 若B是復(fù)負定矩陣，由文獻[4]的定理5證明過程知：B的特征值實部均小于0，從而Re[λRmin(B)]<0，Re[λRmax(B)]<0，于是有

Re[λRmin(B)]·λn-i+1(A)≤Reλi(A1/2BA1/2)≤Re[λRmax(B)]·λn-i+1(A)

(23)

即

Re[λRmin(B)]·λn-i+1(A)≤Reλi(AB)≤Re[λRmax(B)]·λn-i+1(A)，i=1,2,…,n

(24)

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(責(zé)任編輯 劉 舸)

An Estimate of Eigenvalue Real Part of the Product of Two Kinds of Matrices

SHEN Fu, XIA Bi-la, LI Wen-tao

(Teaching and Research Section of Mathematics，PLA Army Officer Academy, Hefei 230031, China)

This paper firstly proved the monotonicity of the eigenvalue real part of complex normal matrices and then gave the range of the eigenvalue real part of the product of Hermite matrix and complex normal matrix. The content of the paper has some theoretical and practical values.

Hermite matrix； complex normal matrix；complex positive definite matrix；orthogonal complement space； convertible

2016-07-16 基金項目：安徽省自然科學(xué)基金資助項目(1408085MA06)

沈浮(1959—)，男，副教授，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和矩陣理論方面的研究，E-mail:pbxysf@126.com。

沈浮,夏必臘,李文濤.一個兩類矩陣乘積特征值實部的估計[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(2):153-156.

format：SHEN Fu, XIA Bi-la, LI Wen-tao.An Estimate of Eigenvalue Real Part of the Product of Two Kinds of Matrices[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(2):153-156.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.02.025

O151

A

1674-8425(2017)02-0153-04