小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)研究文獻綜述

田丹妹++戴瑩

數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最為廣泛和常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，它能夠?qū)⒊橄髥栴}直觀化，利于教師的教和學(xué)生的學(xué)。在當(dāng)今生活化教育的背景下，運用數(shù)形結(jié)合思想方法顯得更為重要，因此有必要對數(shù)形結(jié)合思想進行研究，以下是從國外和國內(nèi)兩方面搜集到的有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的研究資料，整理如下：

一、國外有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想方法的研究

早在畢達(dá)哥拉斯時代，數(shù)形結(jié)合思想就萌芽了。此后便以跳躍式步伐快速向前發(fā)展。恩格斯認(rèn)為：“‘?dāng)?shù)與‘形是數(shù)學(xué)的基本研究對象，他們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系?！彼倪@一觀點指出了“數(shù)”和“形”這一矛盾雙方是相互依存，相輔相成的?！皵?shù)”與“形”的配合運用為解決數(shù)學(xué)問題提供了方向，有利于將抽象的數(shù)學(xué)符號同直觀形象的圖形結(jié)合起來，實現(xiàn)由抽象到具體的轉(zhuǎn)化。美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩也指出了“數(shù)”和“形”之間相互配合發(fā)展的重要性，他談道：“若一個特定問題，可以被轉(zhuǎn)為一個圖形，則思想就整體地把握了問題，而且是創(chuàng)造性地思索了問題的解法?！弊阋姟皵?shù)”與“形”結(jié)合的重要性。拉格朗日也認(rèn)為：代數(shù)和幾何的發(fā)展是相互依存不可分離的，拋棄或忽視任何一方，它們的發(fā)展就會變得緩慢，應(yīng)用范圍就會縮小，“但是如果這兩門科學(xué)結(jié)為伴侶，那么它們就能互相吸取新鮮活力，從此便以快速的步伐走向完善。”這就為數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展提供了有力的證詞。進入17世紀(jì)上半葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾通過直角坐標(biāo)系建立了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，數(shù)軸的建立使人們對“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一有了新的認(rèn)識，“把實數(shù)集與數(shù)軸上的點集一一對應(yīng)起來，數(shù)可以視為點，點也可以視為數(shù)，點在直線上的位置可以數(shù)量化，而數(shù)的運算也可以幾何化?！睆亩嬲龑崿F(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”。當(dāng)今，有關(guān)國外數(shù)形結(jié)合思想研究還在不斷發(fā)展，楊彥在他的《英國初中代數(shù)課程“數(shù)形結(jié)合”思想研究》中提到：“在英國初中的代數(shù)課程中要求對某些特定內(nèi)容（如：函數(shù)、不等式解集等）了解它的幾何形式。”其次，“英國的數(shù)學(xué)教育重視實用性，‘用數(shù)學(xué)的意識和能力的培養(yǎng)貫穿課程始終”。教材的設(shè)計上也很用心，大量選取了來自現(xiàn)實生活和跨學(xué)科的內(nèi)容，將數(shù)形結(jié)合思想貫穿于解決復(fù)雜問題的始終。潛移默化地影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。羅壽蘭對日本高中數(shù)學(xué)教材研究后指出“日本的很多數(shù)學(xué)問題與生活實際聯(lián)系緊密，書本圖文并茂。形象直觀，便于學(xué)生理解，有些內(nèi)容學(xué)生可以通過自學(xué)獲取知識?！睆倪@一點上來看，對我國數(shù)學(xué)教育具有很大的借鑒價值。但從梳理的國外文獻來看，其研究主要是從“數(shù)”和“形”的關(guān)系進行的，很少從中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度進行闡釋，而且研究多以初高中為主，小學(xué)的研究甚少。

二、 國內(nèi)有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想方法研究

數(shù)形結(jié)合思想在我國的研究比國外起步晚。“數(shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)是在華羅庚撰寫的《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問題》中提到“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?！?“數(shù)形結(jié)合”一詞推出后不久，立即獲得了教育界的廣泛認(rèn)可，此后研究“數(shù)形結(jié)合”的學(xué)者越來越多。通過對搜集到的文獻分析，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)對數(shù)形結(jié)合思想的研究主要是從“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”、“數(shù)形互助”三個方面著手的，以下是從三方面分別梳理的文獻：

1.有關(guān)“以形助數(shù)”的研究

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，毋庸置疑，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的對象。但有的數(shù)量關(guān)系抽象，學(xué)生在把握上有一定難度，而“形”具有形象直觀的優(yōu)點，恰恰在幫助學(xué)生理解上起到了很好的促進作用，即“以形助數(shù)”，也就是借助圖形的直觀幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)和數(shù)量關(guān)系。由于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識大部分來自實際生活，再從實際生活中抽象出數(shù)學(xué)知識，小學(xué)生由于受思維發(fā)展不成熟等因素的限制，這些概念會阻礙學(xué)生的理解，使學(xué)生難以接受和掌握。基于這一點，有些學(xué)者認(rèn)為“教師借助以形助數(shù)的思想與方法呈現(xiàn)相關(guān)概念，會使這些概念以清晰明了的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，因而易于被小學(xué)生所理解、接受和掌握?！蓖ㄟ^“以形助數(shù)”在教學(xué)中的運用，能夠幫助學(xué)生將抽象問題變具體，復(fù)雜問題變簡單，為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識提供了便利?！耙寣W(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)知識，就必須具有豐富的感性材料作支撐?！闭缢斡⒑Ｔ谒恼撐摹稊?shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用》中提到；“‘形能映射更多的具體思維，在解決問題時起關(guān)鍵的定性作用?！敝挥性趯W(xué)生面前呈現(xiàn)大量的感性材料，讓學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)和探索，學(xué)生才能夠從中提煉出相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，其思維的發(fā)展才不會受限制。張興廣也在他的論文《以形思數(shù)，使數(shù)學(xué)問題具體化》中指出：如果學(xué)生在做題過程中能夠結(jié)合直觀的圖形，分析出問題所給的數(shù)量關(guān)系，將數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)其中隱含的規(guī)律和運算法則等，總結(jié)出做題的方法，使抽象復(fù)雜的問題變得簡單易解，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。可見，“以形助數(shù)”的運用能夠幫助學(xué)生將圖形的性質(zhì)和圖形直觀的優(yōu)點結(jié)合起來研究數(shù)學(xué)問題，將抽象化為直觀，為更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識打基礎(chǔ)。就梳理的文獻來看，他們的研究有一個共同之處，即都是通過借助圖形形象、直觀的特點解決代數(shù)問題，幫助學(xué)生獲得理解知識的方法和途徑，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。但遺憾的是有關(guān)“以形助數(shù)”的研究在函數(shù)方面研究得較多，且以初中和高中的研究為主，在其他方面的研究少之又少。

2.有關(guān)“以數(shù)解形”的研究

有關(guān)“以數(shù)解形”這一表現(xiàn)形式說法不一，主要有“以數(shù)解形”、“以數(shù)助形”、“以數(shù)想形”。但無論其如何表述，始終是為了彌補“以形助數(shù)”的不足，借助代數(shù)知識解決較為抽象復(fù)雜的幾何問題。“以形助數(shù)”雖然能根據(jù)給出的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，用幾何方法解決代數(shù)問題，使抽象的概念變得直觀、具體，利于學(xué)生理解，但“以形助數(shù)”在解決數(shù)學(xué)問題中不具有普遍性，因此，能不能通過數(shù)的運算把幾何圖形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法解決？即“以數(shù)解形”。楊鋒潑在他的論文《初中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的探究》中指出：“以數(shù)助形”能夠彌補“以形助數(shù)”的不足之處，是解決數(shù)學(xué)問題的有效手段。 “恰當(dāng)?shù)乩谩詳?shù)助形能夠使問題直觀顯現(xiàn)，省去大量的理論分析過程。”借助代數(shù)演算的方法解決數(shù)學(xué)問題，將復(fù)雜問題簡單化，達(dá)到輕松學(xué)習(xí)。藺月薇在她的《淺析數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用》也談道：“‘形具有直觀形象的優(yōu)勢，但也有其粗略和不便于表達(dá)的劣勢?！薄啊詳?shù)解形能夠借助數(shù)的精確性和嚴(yán)密規(guī)范性來闡明形的某些屬性，將形向數(shù)的層面上進行轉(zhuǎn)化和溝通?！币虼耍诮虒W(xué)過程中，要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點，以簡潔準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述加上題目中適用和隱含的公式、定理或運算法則等全面理解“形”的特點，才能更好地襯托出數(shù)學(xué)抽象性與嚴(yán)密性的特征，使學(xué)生理解更為準(zhǔn)確和全面。專家指出：在學(xué)習(xí)中，合理的運用數(shù)與形相結(jié)合的觀點，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法解決，“通過數(shù)的運算和變式求出相應(yīng)的結(jié)果，則解題方法容易尋找。”宋英海在他的《數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用》中也談道：初中數(shù)學(xué)中，“形”具有直觀、形象的優(yōu)點不可否認(rèn)，但看待任何事物都要采用一分為二的眼光，“‘形的缺點就是它不很精確?！庇行﹫D形的表示雖然簡單，但它其中蘊含的規(guī)律抑或是答案卻未必能一眼看出來，在這種情況下就需要借助代數(shù)方法來分析和計算，以確保問題研究的縝密性和精確性。曾鵬在他的《“數(shù)與形”教學(xué)實踐與反思》中指出：當(dāng)學(xué)生面對復(fù)雜圖形時，要發(fā)現(xiàn)其中“形”的規(guī)律顯得困難，因此“教師要引導(dǎo)學(xué)生從‘?dāng)?shù)的角度揭示‘形的規(guī)律，幫助學(xué)生辯證地思考‘?dāng)?shù)與形的問題，體會以數(shù)解形的好處?！痹跀?shù)學(xué)中，有關(guān)代數(shù)三角問題，在研究的過程中可以借助圖形看出它的對稱軸、對稱中心、周期等基本性質(zhì)，而對于較復(fù)雜的幾何圖形需要通過計算和對題目中條件的挖掘和分析，才能準(zhǔn)確判斷圖形的變化和性質(zhì)，最終獲得解決問題的思路和方法。足以見得“以數(shù)解形”在數(shù)學(xué)運用中的重要性。

3.有關(guān)“數(shù)形互助”的研究

在數(shù)學(xué)中，有些問題可以通過“以形助數(shù)”的方式解決，有些用“以數(shù)解形”獲得答案，還有的需要兩者互相配合運用。即“數(shù)形互助”?！皵?shù)形互助”指在解決數(shù)學(xué)問題時同時利用“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，達(dá)到“數(shù)形互譯”，將問題中的數(shù)量關(guān)系以圖形表現(xiàn)出來，再利用圖形將抽象的數(shù)量關(guān)系變得具體，接著對圖形進行觀察、分析和聯(lián)想，再慢慢將圖形譯成算式，從而解決問題。 “數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的，在研究“數(shù)”的時候，往往會借助于“形”的直觀，在探索“形”的特征時，往往又會聯(lián)系“數(shù)”的簡潔。有學(xué)者指出：在數(shù)學(xué)問題中需要“數(shù)”和“形”的互相變換，看問題時要想到用“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的準(zhǔn)確，還要由“數(shù)”的精確聯(lián)系到“形”的直觀。他認(rèn)為解決這些問題的關(guān)鍵就在于需要從已知和結(jié)論同時出發(fā)，認(rèn)真分析找出內(nèi)在的“形”“數(shù)”互變。蘇文旭在他的論文《數(shù)形互助相約函數(shù)淺識》中指出：依形判數(shù)，以數(shù)助形，直觀形象。因此，在教育教學(xué)中，要善于運用“數(shù)形結(jié)合”的方法思考問題，注重觀察和挖掘圖形蘊涵的數(shù)量關(guān)系，正確繪制圖形反映數(shù)量關(guān)系，切實把握“數(shù)與形”的對應(yīng)關(guān)系等能力。只有在運用“數(shù)形結(jié)合”過程中找準(zhǔn)“數(shù)與形”之間的聯(lián)系，才能在最大限度上發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的好處。于靈在她的《運用“數(shù)形結(jié)合思想”指導(dǎo)初中函數(shù)教學(xué)研究及課例分析》中也提到了：“數(shù)形轉(zhuǎn)換”則是根據(jù)數(shù)形對立統(tǒng)一的特性，由圖形分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，展開豐富聯(lián)想，將其進行適當(dāng)?shù)南嗷マD(zhuǎn)換，化抽象為具體，找到內(nèi)在聯(lián)系。他的這一觀點對解決函數(shù)問題提供了思路。在解決有關(guān)函數(shù)問題時，我們不可能只關(guān)注題目中給出的數(shù)量關(guān)系，還需要結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)和特征分析隱含在題目中的條件，將圖形和數(shù)量關(guān)系建立聯(lián)系，將數(shù)量關(guān)系和圖像配合研究，從而整理出一套邏輯清晰且合理的解決方案。這一方法對解決解析幾何問題同樣適用，胡繼松在他的論文《數(shù)形結(jié)合思想及其應(yīng)用》中談到了：解幾何圖形背景題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想，理清圖形中的數(shù)量關(guān)系，尋找數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。他的觀點為學(xué)生解決有關(guān)解析幾何的問題指明了方向，能夠幫助學(xué)生在以后解決有關(guān)解析幾何問題時找準(zhǔn)有關(guān)圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，分析出數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而獲得解決問題的最佳辦法。將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來看問題，能夠使問題更加清晰和易于理解，也有利于學(xué)生對知識的掌握，拓寬學(xué)生的解題思路，還能為學(xué)生今后更為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)更高層次的數(shù)學(xué)知識奠定良好的基礎(chǔ)。

三、綜上所述，這些研究，對本文的借鑒價值與啟發(fā)意義主要有：

一是總體上概括了數(shù)形結(jié)合思想方法在國內(nèi)外目前的研究概況，從而為我們的研究提供了依據(jù)。二是揭示了數(shù)形結(jié)合思想中包含的基本內(nèi)容和情形，從而使我們的研究更具有針對性。但在梳理文獻中不難發(fā)現(xiàn)：

1.研究數(shù)形結(jié)合思想三種情形的文獻較多，但其研究多以個例呈現(xiàn)，其研究粗淺?！皵?shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法，是解決數(shù)學(xué)問題不可或缺的工具。因此，數(shù)形結(jié)合思想方法的運用需要引起廣大教育工作者的重視，并努力將數(shù)形結(jié)合思想貫穿于自身教學(xué)的始終。然而，在研讀了大量的有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的資料分析得出：有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想在“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”、“數(shù)形互助”方面的研究較多，但其研究只是針對個別的知識點以例題的方式呈現(xiàn)，提出了自己的教學(xué)方法和建議，沒有從教材本身出發(fā)，全面分析教材內(nèi)容中包含的數(shù)學(xué)思想，從而導(dǎo)致提出的教學(xué)建議在一定程度上具有特殊性，不具備普遍性。

（1）研究初高中關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中應(yīng)用的文獻多，而研究小學(xué)的較少。數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的普遍的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法，無論是在小學(xué)抑或是初高中，都是學(xué)生在學(xué)習(xí)和解題過程中所要用到的，是值得學(xué)生掌握的一種思想方法。但就閱讀的文獻來看，大部分以研究初高中為多，只有極少篇目的論文是研究小學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，雖然在查看文獻的過程中發(fā)現(xiàn)期刊類研究小學(xué)方面的較多，但都是籠統(tǒng)的，寬泛之談。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理運用數(shù)形結(jié)合思想方法，既符合小學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，也是對新課程教學(xué)理念的落實與實施。因此，對數(shù)形結(jié)合思想進行研究有利于教師更好地開展教學(xué)活動，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【作者單位： 渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院 遼寧】