極限教學的方法研究

許亞鵬

(山西職業(yè)技術學院，山西 太原 030006)

一、極限在高等數(shù)學中的地位

極限是高等數(shù)學中一個極其重要的概念，是高等數(shù)學中微分學和積分學的理論基礎。高等數(shù)學的研究對象是函數(shù)，而研究方法卻是極限，極限和極限的思想貫穿了微積分的始終。導數(shù)定義和積分定義都是建立在極限概念基礎上的。極限能夠反映事物變量與已知量的無限接近，利用已知量可對變量的終極值進行反映。微積分的形成是人們深入理解極限思想的重要產(chǎn)物。高等數(shù)學之所以讓很多學生感到難以掌握和理解，根本原因是對極限的含義及計算沒有掌握，因此，正確理解和掌握極限的概念及計算是學好高等數(shù)學的關鍵。所以，作為教師非常有必要對函數(shù)的極限的教學作深入的思考和研究。

二、極限教學方法研究

(一)通過實例認識極限

極限的定義較為抽象，是公認的難點。對于數(shù)學基礎薄弱的高職學生來說，理解函數(shù)極限的分析性定義無疑是很困難的。學生的認識模式還處于初等數(shù)學學習的認識模式，而認識極限概念需要學生的認識模式從有限向無限轉變。直接進行內(nèi)容講解，學生很難真正理解。因此教師應適當選取一些生活中常見的實例，激發(fā)學生探究的興趣。弱化極限分析形式的定義，適當采用通俗易懂的語言讓學生理解極限的內(nèi)涵，接受簡單而特殊的函數(shù)即數(shù)列極限的描述性定義。

如用《莊子.天下篇》中的“一尺之錘，日去其半，萬世不竭”和古代數(shù)學家劉徽的割圓術思想，可以使學生對極限的思想形成感性認識，進而深刻理解極限思想。

再如，通過對下列三個無窮數(shù)列{an}進行觀察，并自主探究當項數(shù)n無限增大時，項的變化趨勢。

通過對上述三個數(shù)列的觀察，讓學生用自己的語言進行歸納，得出：數(shù)列的項an隨著項數(shù)n的無限增大在向一個確定的常數(shù)無限接近。通過學生的回答教師進行歸納性的總結，很自然地引出數(shù)列極限的描述性定義：如果當n無限增大時，數(shù)列an能夠無限接近于一個確定的常數(shù)A,那么A就叫做數(shù)列an的極限。使得學生對數(shù)列極限的定義從感性認識逐步上升到理性認識。

在學生理解并掌握了數(shù)列極限的定義之后，再來學習一般函數(shù)的極限，通過二者的區(qū)別與聯(lián)系,使學生真正掌握極限的內(nèi)涵。這種先易后難，循序漸進的學習模式，符合高職學生的認識規(guī)律。

(二)滲透數(shù)學文化，提升學習極限的興趣

大部分高職學生缺乏學習數(shù)學的自信，缺乏學習的主動性，甚至對于學習數(shù)學有一種抗拒心理。在這種情形下，對于他們來說學習銜接性很強的高等數(shù)學是比較困難的。函數(shù)極限作為高等數(shù)學課程中第一節(jié)的內(nèi)容，提升學生的興趣，使學生更好地掌握極限的內(nèi)容尤為關鍵。

如引入斐波那契數(shù)列講解數(shù)列極限，可以極大地提升學生學習熱情和學習主動性。同時對學生進行數(shù)學文化的滲透，使學生不僅掌握了數(shù)學知識，更培養(yǎng)和提升了學生的數(shù)學素養(yǎng)。

再如，在極限教學中邀請學生參與互動游戲：十秒加數(shù)。游戲要求學生在十秒之內(nèi)將以下兩組數(shù)的數(shù)字求和完成。

1+2+2+4+7+13+21+34+55+89=

34+44+89+144+233+377+610+987+1597=

學生對該游戲表現(xiàn)出濃厚的興趣，積極參與。在進行完該游戲后，請學生思考這些數(shù)字有什么規(guī)律，分組討論，合作探究，旨在培養(yǎng)學生的觀察問題、分析問題的能力。在學生討論后教師對題目中的數(shù)字進行講解，加深學生對斐波那契數(shù)的理解。

通過該部分內(nèi)容的學習，使得同學們深刻地領悟到了數(shù)學來源于生活，而又服務于生活，數(shù)學與人類的生活密切相關，這種生活中的數(shù)學能極大地提升學生學習數(shù)學的積極性。

在高等數(shù)學的教學中，數(shù)學文化的學習，數(shù)學素養(yǎng)的提升是其中的重要方面。數(shù)學素養(yǎng)可以訓練并提升學生的邏輯思維能力，使他們在遇到紛繁復雜的工作時，能夠思路清晰、條理分明，有條不紊地完成；同時也可以培養(yǎng)學生的抽象思維能力，面對生活中錯綜復雜的事情，能抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，高效解決問題；還有助于培養(yǎng)學生認真細致、一絲不茍的習慣。

(三)借助數(shù)學軟件，突破極限教學難點

通過對圖形的分析，使學生能形象直觀地觀察到當自變量無限趨近于0時，函數(shù)值在無限地向常數(shù)1逼近。

通過數(shù)學軟件，可以讓學生高效地學習高等數(shù)學，同時學生在對數(shù)學軟件的應用和探索中獲得專業(yè)所需要的數(shù)學基礎知識。將數(shù)學軟件引入高職數(shù)學課堂教學，不僅是教學改革的需要，也是適應高職院校培養(yǎng)目標的需要，是培養(yǎng)學生分析問題，觀察問題，解決問題的能力以及應用數(shù)學知識解決實際問題的嘗試。數(shù)學軟件在高職數(shù)學課堂的應用能夠增強學習數(shù)學的興趣，豐富和加深對數(shù)學本質(zhì)的認識，促進數(shù)學學習價值觀的轉變，不再認為數(shù)學是一門枯燥無味的課程。使學生能夠深切感受數(shù)學的無窮魅力。

(四)認真分析，掌握函數(shù)極限的求法

極限的計算對于大部分高職學生來說也是一個難點，因此教師有必要對函數(shù)極限的求法進行探討。求函數(shù)極限的方法雖然較多，但各有其相應的適用范圍。對于某個具體的函數(shù)求極限問題，我們需采用合適的方法去解題。下面是一些求函數(shù)極限的常用方法。

(1)能代則代

當所求函數(shù)極限式的分子和分母的極限不同時為零或不同時為∞，則可以直接利用極限的四則運算法則后，直接代入求出極限。

所以可以采用能代則代這種求極限的方法。

(2)分子、分母約去非零因子

分子、分母約去非零因子，此法適合于自變量在某一趨向下分子、分母的極限同時為0的情形。

分析：因為當x→1時，分子、分母的極限都是0，不能直接使用商的極限運算法則。

=2

(3)分母有理化

(4)無窮小量分出法

適用于分子、分母是x的一元高次多項式，且分子、分母的極限同時為∞。

分析：所給函數(shù)中，注意到當x→∞時，分子、分母也同時趨于無窮大，不能直接應用商的極限運算法則，因此，需首先對函數(shù)進行初等變形，即分子、分母同時除以x的最高次冪，可以將無窮小量分出來，然后再根據(jù)極限運算法則求出極限。

上述歸納了函數(shù)極限的一些常用求解方法，在做題的過程中，學生應首先觀察函數(shù)極限的特點，然后根據(jù)不同的情況采取不同的方法，函數(shù)極限的求解方法還有很多，要求學生在學習中逐步探索，不斷完善。

總之，為了調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性。首先，教師應該根據(jù)函數(shù)極限與學生所學專業(yè)以及現(xiàn)實生活，選取一些學生比較感興趣的話題進行課題切入，提高學生對教學內(nèi)容的興趣；其次，教師應該對課堂教學環(huán)節(jié)進行合理的設置，鼓勵學生勤于思考，主動學習；最后，教師應該對課堂中的小組討論和總結，進行必要的掌控，盡量讓每一個同學都參與進來，并對學生的參與進行及時的鼓勵。

[1]江濤.淺談數(shù)列極限的計算方法[J].科技信息.

[2]新編高等數(shù)學(理工類)[M].北京：北京交通大學出版社，2015.

[3]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上)[M].上海：高等教育出版社，2001.

[4]張韻華,王新茂.Mathematica7實用教程[M].中國科學技術大學出版社，2011.