例談高中數(shù)學(xué)中的最值問題

例談高中數(shù)學(xué)中的最值問題

☉江蘇省高淳高級(jí)中學(xué) 顧忠華

最值問題是高考數(shù)學(xué)中常見的題型，也是重要的考點(diǎn)之一，這類題往往和導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)等相聯(lián)系，其題型也是新穎多變.下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)中的最值問題.

一、含絕對(duì)值的二次函數(shù)的最值問題

最值問題常常與二次函數(shù)聯(lián)系在一起，純粹的二次函數(shù)似乎難度又有欠缺，因此含有絕對(duì)值的二次函數(shù)成了函數(shù)題的熱點(diǎn).對(duì)此，我們有必要去探索含有絕對(duì)值二次函數(shù)的解題策略，提高函數(shù)復(fù)習(xí)的實(shí)效性.

例1已知函數(shù)f（x）=x|2x-a|，x∈［0，2］，求f（x）的最大值.

（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上遞增，f（x）max=f（2）=8.

綜上所述，f（x）max=

方法2：（1）當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，（fx）=2x2-ax，對(duì)稱軸為x=≤0，所以函數(shù)（fx）在［0，2］上單調(diào)遞增，所以（fx）max=（f2）=8-2a.

（2）當(dāng)a≥4時(shí)，當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，（fx）=-2x2+ax，對(duì)稱軸為x=＞1，所以，①當(dāng)1＜＜2，即4＜a＜8時(shí)，f（x）在在（0，）單調(diào)遞增，（，2）單調(diào)遞減，所以（fx）=f（）max=；

所以f（x）max=max8-2a.令f（）≥（f2），

綜上所述，f（x）max=

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合、分類討論是數(shù)學(xué)中的基本思想，然而上述兩種解題思路側(cè)重點(diǎn)卻有所不同.方法1所側(cè)重的是由形到數(shù)，整個(gè)解題思路是先作圖（或描述單調(diào)性），再討論區(qū)間；但作為含有絕對(duì)值的二次函數(shù)如何討論作圖是該方法的關(guān)鍵.事實(shí)上該方法在研究圖像時(shí)，就討論了a＞0，a＜0與a=0，其臨界值0無非是通過對(duì)稱軸x=與去絕對(duì)值的關(guān)鍵值x=比較大小而得到的，而a與0的比較也貫穿于整道題的始末，是關(guān)鍵的討論值.我們也不難發(fā)現(xiàn)，含有絕對(duì)值的二次函數(shù)本身就是由二次函數(shù)演變而來，我們?cè)谘芯科鋱D像時(shí)，討論的關(guān)鍵點(diǎn)就是對(duì)稱軸在不在研究區(qū)間里面，與本題的思路也是吻合的，而一旦單調(diào)性問題解決，整道題也就迎刃而解了.方法2所側(cè)重的是由數(shù)到形，整個(gè)解題思路是先去絕對(duì)值（x=與區(qū)間的端點(diǎn)值比較），整道題的關(guān)鍵討論點(diǎn)是先去絕對(duì)值，再研究單調(diào)性，把含有絕對(duì)值的二次函數(shù)變成二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.相比較而言，方法1比較簡潔，更側(cè)重圖形，而方法2比較容易掌握，但在解決具體問題時(shí)，需要具體情況具體分析，畢竟與含有絕對(duì)值二次函數(shù)相關(guān)題目很多，種類也多，比如最值問題、恒成立問題、方程有解問題等等，希望大家做到靈活應(yīng)用，需要做到具體情況具體分析，總之兩種方法各有優(yōu)劣，關(guān)鍵是要正真領(lǐng)會(huì)其中要義.

二、含參函數(shù)的最值問題

縱觀近幾年全國各省市的高考數(shù)學(xué)試題，一些含參數(shù)的最值問題正悄然興起.由于這類函數(shù)題有參數(shù)在內(nèi)“搗亂”，主要考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，因此極具綜合性和挑戰(zhàn)性，學(xué)生常常感到迷霧重重，找不到突破口，以致于考試時(shí)往往棄而不答.筆者借助導(dǎo)數(shù)公式（|x|）′=（x≠0），談?wù)劥祟惡瘮?shù)最值問題的一般策略.

例2設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)（fx）=2x2+（x-a）|x-a|，求（fx）的最小值.

點(diǎn)評(píng)：由于極值可疑點(diǎn)的大小關(guān)系未定，因此需要分類討論.從例2可以看出，用導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性，步驟比較機(jī)械化.

例3已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在［-1，1］上的最小值記為g（a）.求g（a）.

（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若-1＜x＜a，則f′（x）=3（x2-1）＜0.若a＜x＜1，則f′（x）=3（x2+1）＞0，所以f（x）在［-1，a］上為減函數(shù)，在［a，1］上為增函數(shù)，故g（a）=f（a）=a3.

（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（-1，1）內(nèi)無極值可疑點(diǎn)，因此g（a）=min｛f（-1），f（1）｝=3a-2.

點(diǎn)評(píng)：與例2不同的是，例3函數(shù)的定義域不再是實(shí)數(shù)集，由于還得考慮區(qū)間的端點(diǎn)與極值可疑點(diǎn)的大小關(guān)系，因此往往還需要確定二次討論的分界點(diǎn)，最后得出函數(shù)在各個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最值.

三、“多元變量”最值問題的求解策略

“多元變量”的最值問題頻頻在高考中出現(xiàn)，這類問題因綜合性強(qiáng)、形式靈活多變、思維嚴(yán)密而具有挑戰(zhàn)性，成為最值求解中的“難點(diǎn)”和命題的“熱點(diǎn)”.下面結(jié)合例題將這些策略和方法加以總結(jié)，供大家參考.

例4對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足：4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，的最小值為_______.

解法1：因?yàn)閏=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=最大時(shí)，取等號(hào)的條件為“2a= 3b”.將“2a=3b”代入4a2-2ab+4b2-c=0，此時(shí)c=10b2，所以的最小值為-2.

從本題解法可以看出，轉(zhuǎn)化條件，抓住目標(biāo)，巧妙使用基本不等式，建立并找到|2a+b|達(dá)到最大時(shí)所滿足的條件，解法精妙但仍然屬于通法，只是對(duì)不等式的應(yīng)用提出了更高的要求.

解法2：令t=2a+b，則2a=t-b，代入原方程可得6b2-3tb+t2-c=0，由方程是關(guān)于b的一元二次方程且有實(shí)數(shù)根可知，Δ≥0?t2≤c，從而|2a+b|的最大值為，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)有最小值為-2.

本題的關(guān)鍵是如何把握眾多未知參數(shù)的關(guān)系，考慮已知題設(shè)方程的二次型結(jié)構(gòu)，利用判別式法較好的生成了a與b的關(guān)系均用t去表現(xiàn)，以t為主元，利用函數(shù)的思想方法，為后續(xù)問題的研究打開了局面.

解法3：由4a2-2ab+4b2=c，可變形為（k∈Z），即，可得2a=3b.

從關(guān)于a，b的二次式容易聯(lián)想到圓x2+y2=r2的參數(shù)方程但難點(diǎn)是先要視“c”為常數(shù)，將a，b分別用參數(shù)θ去代換，從而實(shí)現(xiàn)多元向一元轉(zhuǎn)換，最終利用三角函數(shù)的有界性解決問題.這種解法接地氣，常規(guī)思路，學(xué)生最容易接受.

四、直線與圓中的最值問題

直線與圓相關(guān)的最值問題在高考中是屢屢受到命題者的關(guān)注，也是教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，在解決這類問題時(shí)，根據(jù)學(xué)過的幾何知識(shí)、代數(shù)方法，通過數(shù)形結(jié)合分析，突破難點(diǎn)轉(zhuǎn)化，尋求最值的求解方法，從而解決問題.下面就以近幾年高考試卷中出現(xiàn)的題目為例，歸納總結(jié)出解決此類問題的方法.

例5（1）圓的方程x2+y2-6x-8y=0，設(shè)該圓過點(diǎn)M（3，5）的最長弦，最短的弦分別為AC、BD，求四邊形ABCD的面積.

（2）M是圓x2+y2=1上動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到l：3x-4y-10=0的距離的最大值_________，最小值_________.

解：（1）由圓的方程得（x-3）2+（y-4）2=25，圓心N（3，4），半徑r=5，點(diǎn)M（3，5），在圓內(nèi)最長弦AC=2r=10，易知最短的弦BD過M且與AC垂直，|BD|=

讓定直線動(dòng)起來，例5（1）中直線繞M轉(zhuǎn)動(dòng)，能發(fā)現(xiàn)何時(shí)弦長最長，何時(shí)弦長最短.（2）中平行移動(dòng)，很直觀看出兩個(gè)相切時(shí)，兩線間距離為最值，利用切點(diǎn)與圓心連線垂直，轉(zhuǎn)化出需要的結(jié)論，能用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析思考問題，為以后學(xué)橢圓與直線關(guān)系打下基礎(chǔ).