例談高中數(shù)學(xué)中的變式教學(xué)
——以一道高考題為例

例談高中數(shù)學(xué)中的變式教學(xué)
——以一道高考題為例

☉浙江省寧波市北侖區(qū)柴橋中學(xué) 鄭桂芬

新課程改革以來，變式教學(xué)或多或少、有意識或無意識地存在，變式教學(xué)為何如此受青睞，因為它可以使學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，可以幫助學(xué)生使所學(xué)的知識點融會貫通，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，變式教學(xué)的確是深刻理解和掌握知識的有效手段.筆者結(jié)合平時的教學(xué)實踐，從一道高考題開始，談?wù)勛兪浇虒W(xué)在高中數(shù)學(xué)中的運用，不當(dāng)之處，敬請指正.

一、題目及解答

1.題目

已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈［1，+∞），使得f（x0）＜a（-+3x0）成立.試比較ea-1與ae-1的大小，并證明你的結(jié)論.

2.解答及變式設(shè)計

（1）這是2014年的高考試題.第一小題為基礎(chǔ)題，難度最低，基礎(chǔ)較差的考生不要放棄，相信自己能解答好本小題.利用偶函數(shù)的定義進行判斷，只要證明f（x）滿足f（-x）=f（x）即可.

本小題這樣考查了偶函數(shù)的定義，屬于容易題，命題者命制此小題是為了增強基礎(chǔ)較差的考生考試的信心，體現(xiàn)命題者的人文關(guān)懷.此外本小題易錯點是沒有考慮函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，定義域關(guān)于原點對稱是討論奇偶性的必要條件.

變式：已知函數(shù)f（x）=ex-e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).證明：f（x）是R上的奇函數(shù).

（2）此小題為基礎(chǔ)中等的考生命制，難度增加，基礎(chǔ)中等的考生通過努力思考，也能順利解答本題.

要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，只需使m（ex+e-x-1）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得m≤只滿足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤gmin（x），這樣將原問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)g（x）的最小值.

解法1：由于關(guān)于ex比較復(fù)雜，可令t=ex，由于x∈（0，+∞），則t＞1.所以2，所以g（x）時，即t=2，即x=ln2時，等號成立.所以m的取值范圍是

本小題考查分離參數(shù)法、等價轉(zhuǎn)化的思想，將恒成立問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最大值的問題.本題易錯點是作代換t=ex后，沒有考慮t的范圍是t＞1.本考試思維受阻的地方是考生不會將，從而求不出最大值.因此為了避免出現(xiàn)錯誤，作代換后首先要考慮代換后字母的范圍.

變式當(dāng)x∈［-2，1］時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則求實數(shù)a的范圍.（2014年高考遼寧理科卷）

解法2：考慮不等式兩邊同乘ex，則不等式轉(zhuǎn)化為m［（ex）2+1］≤1+（m-1）ex在（0，+∞）上恒成立，令ex=t（t＞1），則問題可簡化為：mt2+（1-m）t+m-1≤0在t∈（1，+∞）上恒成立.構(gòu)造函數(shù)g（t）=mt2+（1-m）t+m-1，由圖像易得當(dāng)m≥0時不符合題意.

解法2就是將所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間恒小于零的問題.考查了數(shù)形結(jié)合的思想.考生能順利地解答出第一、二小題，將會增強他們解第三小題的信心，他們就能乘勝追擊，一鼓作氣進行解決第三小題.

（3）破解第三小題，將其分解成兩個子問題，然后各個擊破，將壓軸題轉(zhuǎn)化常見的問題，使壓軸題不再可怕.本小題是為優(yōu)秀的考生命制，難度大，可將本小題分解為兩個小問題：①即先求出參數(shù)a的范圍，②根據(jù)參數(shù)a的范圍比較ea-1與ae-1的大小.

先看問題①：命題者設(shè)置“已知正數(shù)a滿足：存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x0）成立”這個條件的目的就是希望考生根據(jù)該條件先求出該參數(shù)a的范圍.該小題屬存在性問題（即能成立問題），根據(jù)結(jié)論“?x∈D使得（fx）＜g（x）”的條件是“在區(qū)間D內(nèi)，（fx）的最小值小于g（x）的最大值”，這樣將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)（fx）0在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx）0與函數(shù)h（x0）=a（-+3x）0在x0∈［1，+∞）上的最大值hma（xx0）.這樣就可以求出參數(shù)a的范圍.

解法1：因為f′（x0）=ex0 -e-x0，由于x0∈［1，+∞），所以f（′x0）=ex0 -e-x0＞0，故（fx）0在［1，+∞）上單調(diào)遞增，故（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx0）=f（1）=e+e-1.又h′（x0）= a（-3+3），由于x0∈［1，+∞），且a是正數(shù)，所以h（′x）0＜0，故h（x0）在［1，+∞）上單調(diào)遞減，故函數(shù)h（x0）在x0∈［1，+∞）上的最大值hma（x1）=2a.要存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x）0成立，則必需e+e-1＜2a，即a＞

圖1

考生不會將存在性問題等價轉(zhuǎn)化求f（x）0在x0∈［1，+∞）上的最小值fmi（nx0）與函數(shù)h（x0）=a（-+3x）0在 x0∈［1，+∞）上的最大值hma（xx0）.設(shè)函數(shù)（fx）的值域是F，h（x）從的值域是H，根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形（如圖1），圖形上可以看出要滿足“存在x0∈［1，+∞），使得（fx）0＜a（-+3x0）成立”的條件是fm（inx）0＜hma（xx）0.此外教師在上課時，應(yīng)該及時總結(jié)有關(guān)存在性問題的類型及對應(yīng)解題方法.

當(dāng)然，此題也可以用分離參數(shù)法解決：

本小題主要考查初等函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查了分類討論、等價轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)模型的思想.同時也考查了綜合運用數(shù)學(xué)思想和解決問題的能力.高考題總會露出一些“蛛絲馬跡”.給考生以適當(dāng)?shù)奶崾荆尶忌业浇鉀Q問題的“突破口”，從而讓優(yōu)秀的考生順利地解決好難題，提高試題的區(qū)分度，有利于高校選拔人才.本題就暗示了“e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)”，以便讓優(yōu)秀的考生找出解決問題的突破口，即對“兩個指數(shù)式取對數(shù)”.

變式1已知i，m，n正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.求證：（1+m）n＞（1+n）m.（2001年高考全國卷壓軸題）

分析：（1+m）n＞（1+n）m?nln（1+m）＞mln（1+n）?

變式2π為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).（2014高考湖北卷壓軸題）

分析：問題中出現(xiàn)比較形如ab和ba的指數(shù)式大小，將這兩個指數(shù)式分別取自然對數(shù).即比較blna與alnb大小，由于這兩個對數(shù)式含兩個變量，要比較它們大小比較困難，因此，將兩個對數(shù)式同時除以ab，得到，因此，原問題轉(zhuǎn)化為比較的大小，這樣每個式子值只含一個變量，要比較它們的大小，我們可以研究函數(shù)（fx）=的單調(diào)性和最值.

變式3設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.（2013年高考江蘇理科卷壓軸題）

分析：根據(jù)g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，先求出a的范圍，再令（fx）=lnx-ax=0，分離參數(shù)有a=.作出h（x）=的圖像，將問題轉(zhuǎn)化為y=a的圖像與h（x）=的圖像的交點問題.

二、幾點思考

1.變式教學(xué)的由來

變式教學(xué)在中國由來已久，被廣大教師自覺或不自覺地應(yīng)用著，變式教學(xué)是促進有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式，很多老師雖不能直接表述變式是什么，但都能明確變式是什么.但為什么而變式呢？這是在進行變式設(shè)計時每位教師要思考的，也就是在變式之前，教師要明確變式的教學(xué)立意；變式的教學(xué)立意有很多，比如加深核心知識理解、提煉解題規(guī)律、強化技能訓(xùn)練、得到某個結(jié)論等.可以說教師有什么樣的教學(xué)立意就有什么的變式行為，因此在進行變式設(shè)計時，教師要深刻思考基于什么而變式，明確每一次變式的教學(xué)立意，變式設(shè)計只有承載正確合適的教學(xué)立意，變式才最有價值，才能更有效地促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

2.變式教學(xué)的做法

明確了為什么而變式后，也就確立了變式的教學(xué)立意，教師該如何進行變式設(shè)計呢？如果變式是基于加強知識聯(lián)系和展現(xiàn)問題實質(zhì)，那么變式設(shè)計就可以在一個模型中展開，通過不斷互換條件和結(jié)論，使學(xué)生內(nèi)化知識聯(lián)系，領(lǐng)悟問題實質(zhì)；如果變式是基于深化方法應(yīng)用和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，那么變式設(shè)計只需改變條件，引領(lǐng)學(xué)生用不同的方法求得結(jié)論；如果變式是基于加深核心知識理解，那么變式設(shè)計可以舍去或添加一些條件，引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟知識的外延與內(nèi)涵；如果變式是基于提煉解題規(guī)律，那么變式設(shè)計需在同類問題中展開，在問題解決過程中提煉同一類問題的解題規(guī)律，使學(xué)生達到觸類旁通；如果變式是基于強化某種數(shù)學(xué)技能，那么變式設(shè)計要削枝強干以某種技能為中心展開；如果變式是基于得到某個結(jié)論，那么變式設(shè)計可采用從特殊到一般、層層遞進的方式進行.