高考數(shù)學(xué)試題對高三復(fù)習(xí)的啟示*

高考數(shù)學(xué)試題對高三復(fù)習(xí)的啟示*

☉廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 林運(yùn)來

一、問題提出

在大力倡導(dǎo)創(chuàng)新教育的形勢下，數(shù)學(xué)教育正經(jīng)歷從“雙基”到“三維目標(biāo)”直至今日“核心素養(yǎng)”的轉(zhuǎn)型和跨越.相應(yīng)地，高考試題命題范式已經(jīng)經(jīng)歷了政治立意、知識立意、能力立意三個階段，以后的命題趨勢必轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)立意［1］.鐘啟泉先生指出，新的學(xué)力概念——“核心素養(yǎng)”意味著課堂的根本轉(zhuǎn)型，從“知識傳遞”到“知識建構(gòu)”的轉(zhuǎn)型.教學(xué)中，教師需要思考如何在數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識方面“補(bǔ)鈣”.在高考備考復(fù)習(xí)中，如何才能最大限度地提高課堂教學(xué)的有效性，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的精髓，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，確是一個值得探索與急需解決的問題.

相同的知識內(nèi)容，相同的能力要求，在不同年份的高考中從不同的角度和形式進(jìn)行考查，這就需要學(xué)生有更開闊的視野和思維，也為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)角度的多元化、立體化提出了新的要求.當(dāng)我們仔細(xì)去研讀新課程高考下的試題，總會有不一樣的發(fā)現(xiàn)，總會給我們的教學(xué)帶來思考.如果只是去關(guān)注這些題目的解法考查的知識，將會使我們錯過它們帶給我們的精彩和對教學(xué)的啟示.

二、高三復(fù)習(xí)“新”角度

1.從“聯(lián)系”的角度拓展教學(xué)

例1（2016年高考全國卷Ⅰ文科第5題）直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（）.

解法2：如圖1，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|，即bc=a·，

圖1

解法3：如圖1，|OB|為橢圓中心到l的距離，即|OB|=所以∠OAB=30°，在Rt△OAF中，|OF|=|AF|，即c=a，所以e=.故選B.

方法1從代數(shù)角度尋求a與c的關(guān)系，方法2利用等面積法得出a與c的關(guān)系，方法3根據(jù)“已知條件集中于橢圓的特征△OAF”（三邊長分別為a，b，c）這一特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求∠OAF的大小，從而快速解決問題.

圖2

解析：不少學(xué)生看到直線與橢圓相交就聯(lián)立方程組，陷入符號運(yùn)算的泥潭，不能自拔，無功而返.事實(shí)上，若注意到直線的斜率為，可得直線的傾斜角等于60°，畫出橢圓的“焦點(diǎn)△MF1F2”，如圖2，則橢圓的離心率這一解法刻畫出問題最本質(zhì)的幾何關(guān)系，是對橢圓定義的靈活使用.可見，概念就是本質(zhì)！命題人對學(xué)生“觀察發(fā)現(xiàn)，多思少算”的思維品質(zhì)的考查是刻意為之.

中學(xué)數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系比較緊密，數(shù)學(xué)知識的考查也注重相關(guān)知識之間的綜合考查，這就要求教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中對相關(guān)聯(lián)的知識進(jìn)行拓展，有效引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).以上兩題涉及“橢圓離心率”知識的綜合，教學(xué)時(shí)可以圍繞求橢圓離心率的方法引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建如下的思維導(dǎo)圖：

2.從“變式”的角度深化教學(xué)

例3（2008年高考江蘇卷第13題）滿足條件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面積的最大值為______.

解析：本題的常規(guī)解法是利用解三角形的知識，建立△ABC的面積關(guān)于邊長BC的函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.若考慮到此題的幾何背景——阿波羅尼奧斯圓，利用數(shù)形結(jié)合思想，充分發(fā)揮“形的直觀”（AB是定長，問題轉(zhuǎn)化為求動點(diǎn)C到直線AB距離的最大值）與“數(shù)的精確”（通過建立直角坐標(biāo)系，求出動點(diǎn)C的軌跡方程）兩方面的優(yōu)勢，問題便能快速獲解.這樣解題把握了題目的本質(zhì)，也揭示了題目的真面目.

本題還有很大的變式空間.如針對動點(diǎn)的軌跡類型，教師可以通過搭建螺旋式上升的變式題這個“腳手架”，設(shè)計(jì)一串變式，“一網(wǎng)打盡”式地進(jìn)行展示、解決題型.該形式能大大節(jié)約講解時(shí)間，并提高效率，新課和復(fù)習(xí)課都適用，也適用于試卷講評課中作為思考題留給學(xué)生［2］.比如［3］：

變題1滿足條件AB=2，周長為8的△ABC面積的最大值為______（.答案：2）

變題4在△ABC中，若a=2，b-c=1，△ABC的面積為

變題5（2013年高考江蘇卷第17題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍

這樣就有助于揭示此題內(nèi)隱的知識鏈，看清題目的來龍去脈，從而把握問題的本質(zhì).

3.從“創(chuàng)新”的角度思考問題

在國家倡導(dǎo)“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”的背景下，“創(chuàng)新”無疑將成為教育領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn).數(shù)學(xué)學(xué)科對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力具有不可推卸的責(zé)任.教育最終的目的是培養(yǎng)人才，特別是培養(yǎng)和造就高素質(zhì)的創(chuàng)造性的人才.教育系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)為推動大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新提供人才支撐.在考試中凸顯對創(chuàng)新能力的要求，不僅符合社會對人才選拔的核心要求，也是數(shù)學(xué)時(shí)代性和實(shí)踐性的應(yīng)有之意.一般來說，高考中往往通過設(shè)置綜合性、開放性、探索性試題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識和探究精神［4］.

例4（2015年高考全國卷Ⅰ理科第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______.

解析：此題注重考查學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識，計(jì)算不可或缺，但是更注重對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的考查.題目中的動點(diǎn)D具有無限性的特征，若立足于有限與無限思想，可以考慮運(yùn)用極限化策略進(jìn)行解答.當(dāng)D→A時(shí)，∠B=∠C=75°，∠A=30°，由正弦定理易求得AB=；當(dāng)D→C時(shí)，∠A=∠B=75°，∠C=30°，由正弦定理易求得AB=，從而AB的取值范圍是

高考中，對于較難的問題，經(jīng)常需要“感性分析”和“直覺判斷”，常見的題型是小題和探究性的解答題.上述分析過程將解三角形的知識和極限思想很好地結(jié)合在一起，通過對問題的特殊認(rèn)識形成特殊的解法（極限法），體現(xiàn)出“考數(shù)學(xué)思想方法而不是考知識記憶、考數(shù)學(xué)素養(yǎng)而不是考模式套路”的特點(diǎn).數(shù)學(xué)背景的新穎才可以真實(shí)地檢測應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想解決問題的水平，體現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異［1］.

解析：一些考生看到判斷函數(shù)圖像問題，立即想到利用導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行解答，陷入“大運(yùn)動量”的計(jì)算困境.若注意到函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x≠0｝，當(dāng)x→0+時(shí)→+∞，可排除B、C、D三項(xiàng)，應(yīng)選A.利用極限思想解答既快捷又準(zhǔn)確，幾乎不用任何計(jì)算就能得出正確選項(xiàng)，顯示出命題者對數(shù)學(xué)本質(zhì)的執(zhí)著追求.

變題2（2013年日本早稻田大學(xué)入學(xué)試題）給定拋物線C：y2=4px（p＞0），焦點(diǎn)F（p，0）.設(shè)過焦點(diǎn)F且相互垂直的兩條直線l1，l2，曲線C與l1交于點(diǎn)P1，P2，與l2交于點(diǎn)Q1，Q2.

（1）設(shè)直線l1的方程為x=ay+p，點(diǎn)P1，P2相應(yīng)坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），試用a，p表示y1+y2，y1y2；

（2）證明：無論如何取直線l1，l2，都是一個常數(shù).

在解答第（2）問時(shí)可以先“遙望”一下問題的結(jié)果.當(dāng)直線l1垂直于x軸時(shí)，直線l2就是x軸，此時(shí)線段P1P2是拋物線的通徑，Q1，Q2中的一個點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，另一個點(diǎn)為“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，即|P1P2|=4p，|Q1Q2|→∞，則，因此需要證明無論如何取直線l，l12都是常數(shù)，這就為解題指明了方向.一個有科學(xué)素養(yǎng)的人，在研究一個問題的時(shí)候，第一件事就是遙望一下這個問題的結(jié)果！問題研究的過程，從來都是“大膽猜想、小心證明”的過程［5］.

4.從“素養(yǎng)”的角度回歸本真

即將頒布的“課程標(biāo)準(zhǔn)”中明確了中學(xué)數(shù)學(xué)的6個核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，數(shù)據(jù)分析.根據(jù)現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)下的高考，也可以看出以上核心素養(yǎng)的影子［1］.哈爾莫斯認(rèn)為，具備一定的數(shù)學(xué)修養(yǎng)比具備一定的量的數(shù)學(xué)知識更重要.教師在強(qiáng)調(diào)解題的同時(shí)更應(yīng)該注重課堂教學(xué)的思想性，注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高［6］.

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，把簡約出的時(shí)間和空間還給學(xué)生，教師要善于變“習(xí)題”為“問題”，變“問題”為“課題”，變“講授”為“悟道”，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更主動、更自由，學(xué)生通過自己的思考、探究、揣摩，悟出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之道，提高學(xué)科素養(yǎng).經(jīng)驗(yàn)告訴我們，有時(shí)教師講得越多，學(xué)生越不明白，而讓學(xué)生自悟自得，效果會更好，這需要教師通過非常巧妙、到位的設(shè)計(jì)和智慧的引導(dǎo)，回歸數(shù)學(xué)教育的本真——為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)而教.

A.（-2，0）B.（-3，0）C.（-4，0）D.（-5，0）

這是我校高三月考選擇題最后一題，講解后，筆者進(jìn)一步提出一些問題引導(dǎo)學(xué)生思考.教學(xué)過程如下：

師：這道題是在“左特征點(diǎn)”這一“新定義”包裝下的定點(diǎn)問題.近年來，定值定點(diǎn)問題是高考和競賽的一個熱點(diǎn)，其解法充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想：運(yùn)用坐標(biāo)法逐步將題目條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式，然后綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何知識化簡求值.解答此類問題要大膽設(shè)參，運(yùn)算推理到最后參數(shù)必消，定點(diǎn)、定值自然顯露.觀察發(fā)現(xiàn)此題的結(jié)論非常優(yōu)美，這難道是巧合嗎？是否還有更一般的規(guī)律有待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)？這些問題促使我們?nèi)ニ伎肌⒙?lián)想.大家不妨研究一下，看有什么收獲？學(xué)生很快探究得出：

師（追問）：此時(shí)一個自然的想法是，若弦AB不是經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，而是經(jīng)過x軸上的某個定點(diǎn)N（t，0），在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得MN平分∠AMB呢？

師：結(jié)論2給我們的一個“信息”就是“定點(diǎn)M的坐標(biāo)與橢圓方程中的b2無關(guān)”，而在橢圓+=1（a＞b＞0）中，只需把b2換成（bi）（2其中i是虛數(shù)單位），就得到雙曲線C：-=1（a＞0，b＞0），于是可以大膽猜想：

學(xué)生進(jìn)一步探究得到：

學(xué)生證明結(jié)論3后，筆者進(jìn)一步追問：橢圓、雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，對比橢圓、雙曲線，上述的結(jié)論對拋物線還成立嗎？

學(xué)生探究得到：

結(jié)論4過定點(diǎn)N（t，0）（t≠0）作拋物線C：y2=2px（p＞0）的一條與x軸不垂直的弦AB，則存在定點(diǎn)M（-t，0），使得MN平分∠AMB.

最后，筆者展示下面的高考題：

例6（2015年高考全國卷Ⅰ理科第20題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點(diǎn).

（1）當(dāng)k=0，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

師：不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論4與這道高考題的第（2）問“如出一轍”.例6難度不大，但內(nèi)涵豐富.解答后，提出一些問題供大家課后探究.如：可以從結(jié)論入手，繼續(xù)向下追問；也可以反思題目的條件，尋求問題的本源；還可以進(jìn)行更深層次、更多元的思考：證明兩個角相等有哪些方法？題目的結(jié)論反過來成立嗎？題目的背景換成橢圓，或雙曲線，結(jié)論還成立嗎？……

這些有意義有價(jià)值的開放性問題，不僅有助于創(chuàng)造自主探究與發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，培養(yǎng)學(xué)生終身受益的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方法，也為教學(xué)提供了豐富的素材［4］.上述教學(xué)中，教師本著“夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高”的原則，利用問題引導(dǎo)學(xué)生在簡單整齊的數(shù)學(xué)美的驅(qū)動下，通過對問題的結(jié)論產(chǎn)生聯(lián)想，進(jìn)而提出猜想，通過證明猜想，得出新的結(jié)論，從而把握問題的本質(zhì).這正是數(shù)學(xué)研究的一種基本套路.

數(shù)學(xué)大師華羅庚說過：“獨(dú)立思考能力是科學(xué)研究和創(chuàng)造發(fā)明的一項(xiàng)必備才能.”數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，在積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”創(chuàng)設(shè)問題情境，讓每一個學(xué)生領(lǐng)到合適的任務(wù)，在問題驅(qū)動下進(jìn)行學(xué)習(xí)，“跳一跳，夠得著”，實(shí)實(shí)在在地做一些事情，使學(xué)生回到真實(shí)環(huán)境中去積極體驗(yàn)和感受新知的構(gòu)建過程.

三、結(jié)束語

羅增儒教授指出：我們可以通過有限的典型考題的學(xué)習(xí)，去理解那種解無限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.對學(xué)生來說，學(xué)會考試也是核心素養(yǎng)的一部分，但品格和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)才是終極要求，知識只是抓手.教師課堂上的任務(wù)則是透過書本知識，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在知識背后的深刻思想，這才是真正的教育［6］.

正因?yàn)槿绱?，我們才更要培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)未來的能力而非“填充”當(dāng)前的知識.對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，掌握學(xué)習(xí)的策略與方法，以數(shù)學(xué)思想為課程，擁有學(xué)以致用的方法，將知識與生活實(shí)際相聯(lián)系，才能充分體現(xiàn)“能獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”的目標(biāo)要求.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)要在注重常規(guī)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，根據(jù)考查的要求及方向探索不同的教學(xué)角度，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度思考和解決問題的能力，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.朱偉義，曹鳳山.忽如一夜春風(fēng)來素養(yǎng)之花遍地開——從高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角看2016年浙江高考數(shù)學(xué)試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（9）.

2.俞新龍.數(shù)學(xué)教師要盡快學(xué)會用變式教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2015（10）.

3.劉鴻春.軌跡問題的命題新趨向［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2016（7）.

4.林運(yùn)來，杜錕.注重核心素養(yǎng)，引領(lǐng)數(shù)學(xué)改革——2013～2016年高考數(shù)學(xué)全國課標(biāo)卷試題綜述［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（10）.

5.王雅琪.高觀點(diǎn)下的北京高考解析幾何試題［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（11）.

6.曹廣福.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材與課堂教學(xué)淺議［J］.課程·教材·教法，2016（4）.

2015年度漳州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究重點(diǎn)課題——《全國高考統(tǒng)一命題后高中數(shù)學(xué)教學(xué)的調(diào)整和優(yōu)化對策研究》（ZPKTZ15008）研究成果.