以“含參數(shù)不等式恒成立問題”為例談高三復(fù)習(xí)策略

以“含參數(shù)不等式恒成立問題”為例談高三復(fù)習(xí)策略

☉江蘇省無錫市青山高級(jí)中學(xué) 陳波

高三復(fù)習(xí)是臨門一腳，復(fù)習(xí)質(zhì)量直接關(guān)系到學(xué)生高考的成敗，尤其是二輪復(fù)習(xí).筆者以“含參數(shù)的不等式恒成立問題”為例，筆者就如何有效復(fù)習(xí)談幾點(diǎn)思考.

一、宏觀上對(duì)考點(diǎn)要有整體性的把握

二輪復(fù)習(xí)是針對(duì)考點(diǎn)的專題性復(fù)習(xí)，我們?cè)趯?shí)施復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)，必須對(duì)考點(diǎn)有清晰、全面的認(rèn)識(shí)，當(dāng)然如何認(rèn)識(shí)？是不是僅僅針對(duì)本?。ńK）高考題進(jìn)行分析呢？顯然這樣是不夠的，我們需要對(duì)全國(guó)各地的考題有一個(gè)系統(tǒng)的把握，考題是考試命題專家集中了群體智慧精心打磨直擊考點(diǎn)的最佳問題，通過對(duì)高考真題的分析繼而了解，這部分內(nèi)容有哪些重要的題型，涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法，繼而接近專題的本質(zhì).

“含參數(shù)不等式恒成立問題”是近幾年各地高考的一個(gè)熱門題型，在解決這類問題的過程中涉及了“函數(shù)與方程”“化歸與轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”等數(shù)學(xué)思想，是考查學(xué)生對(duì)函數(shù)理解的重要題型.解決這類問題，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，把不熟悉不規(guī)范的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問題.筆者認(rèn)為，不等式恒成立問題的本質(zhì)就是求最值問題.

二、微觀上對(duì)數(shù)學(xué)方法有準(zhǔn)確的拿捏

僅僅停留在宏觀上是不夠的，我們必須將問題和解決問題的方法呈現(xiàn)出來，在具體教學(xué)實(shí)踐中可以給學(xué)生提供典型的例題和解析，借此引導(dǎo)學(xué)生對(duì)專題中涉及的問題和解決問題的方法進(jìn)行歸類、總結(jié)，唯有如此才能讓學(xué)生明白：這部分內(nèi)容考什么？怎么考？如何作答？有沒有其他的解決辦法？便于學(xué)生以后解決此類問題時(shí)可以很順利地完成知識(shí)、方法的提取，準(zhǔn)確的拿捏繼而得分.

例如，筆者在復(fù)習(xí)課上和學(xué)生對(duì)于“恒成立問題”進(jìn)行了如下的歸類解析，在解析歸納中有方法的延伸和思維的提煉.

（一）直接構(gòu)造函數(shù)解決

例1設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2014，陜西，理）

解：已知f（x）≥ag（x）恒成立，

當(dāng)a≤1時(shí)，φ′（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0，a=1時(shí)等號(hào)成立），所以φ（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，

又φ（0）=0，所以φ′（x）≥0在［0，+∞）上恒成立，

當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈（0，a-1］，有φ（′x）＜0，

所以φ（x）在（0，a-1］上單調(diào)遞減.

所以φ（a-1）＜φ（0）=0.

所以，當(dāng)a＞1時(shí)，存在x＞0，使φ（x）＜0，

綜上可知，a的取值范圍是（-∞，1］.

方法拿捏：此題不等式兩邊都含有相同的變量x，且含有整體變量（x+1），所涉及的函數(shù)較簡(jiǎn)單，故考慮直接移項(xiàng)作差，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值問題.若不等式f（x）＞A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上［f（x）］min＞A（或者f（x）的下界大于A）；若不等式f（x）＜B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上［f（x）］max＜B（或者f（x）的上界小于B）.例如，含參數(shù)的一元二次不等式或含有指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的恒成立問題，如果將不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)或相應(yīng)的方程，再通過求最值、特殊值和對(duì)稱軸等性質(zhì)可使問題順利解決.

（二）利用參變分離解決

方法拿捏：參數(shù)分離是一種常見的方法，常常在題目中避免了很多分類討論.學(xué)生在面對(duì)不等式恒成立問題時(shí)，首先就會(huì)想到參變量分離，但本題g（0）不存在會(huì)導(dǎo)致學(xué)生僅利用高中知識(shí)體系無法求出b的最小值.而且本題在學(xué)生解決問題后，應(yīng)該進(jìn)一步進(jìn)行方法的牽引，幫助學(xué)生進(jìn)行思維的擴(kuò)散，促進(jìn)新方法的生成.

（三）利用分類討論解決

仍以例2為例說明：

方法拿捏：如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類是學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解題時(shí)的一大難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注端點(diǎn)函數(shù)值是否為零以及導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是分類的關(guān)鍵.此題當(dāng)0＜c＜1時(shí)，零點(diǎn)不可解出，為討論增加了難度.當(dāng)然，學(xué)生在兩種解法的對(duì)比過程中思維方法得到了進(jìn)一步的提升.

（四）利用放縮法解決

（2）若不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4對(duì)x∈［0，1］恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2013，遼寧，文）

解：（1）（作差求導(dǎo)法）略.

（2）因?yàn)楫?dāng)x∈［0，1］時(shí)，ax+x2++2（x+2）cosx-4=

當(dāng)a＞-2時(shí)，不等式ax+x2++2（x+2）cosx≤4對(duì)x∈［0，1］不恒成立.下面給出證明：

因?yàn)閤∈［0，1］時(shí)，ax+x2++2（x+2）cosx-4 x∈［0，1］恒成立.

所以存在x0∈（0，1）滿足

故當(dāng)a＞-2時(shí)，ax+x2++2（x+2）cosx-4≤0對(duì)x∈［0，1］不恒成立.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2］.

方法拿捏：第（2）題中的不等式涉及了三角函數(shù)和多項(xiàng)式是一種復(fù)雜函數(shù)，讓人感覺無從下手.第（1）題是證明不等式成立，為其作了很好的鋪墊，也極易想到利用所證得的不等式去解決問題.對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論時(shí)，根據(jù)a不同的范圍選擇不同的不等式進(jìn)行放縮，目的是把復(fù)雜的函數(shù)簡(jiǎn)化成一類函數(shù).若不等式中涉及不只一類函數(shù)且是復(fù)雜函數(shù)，可考慮利用已知的不等式或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行放縮，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)或一類函數(shù)，化繁為簡(jiǎn).

（五）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決

例4若不等式（x-1）2＜logax在x∈（1，2）內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

解：設(shè)f1（x）=（x-1）2，f2（x）=logax，要使當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2＜logax恒成立，只需f1（x）=（x-1）2在（1，2）上的圖像在f2（x）=logax圖像的下方即可.

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a＞1時(shí)，如圖1所示，要使x∈（1，2）時(shí)，f1（x）=（x-1）2的圖像在f2（x）=logax的圖像下方，只需f1（2）≤f2（2），即（2-1）2≤loga2，loga2≥1，所以1＜a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2］.

方法拿捏：本題只適合用圖像分析法解決，用參變分離或者轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值都很難進(jìn)行.

圖1

三、自主總結(jié)與提升

我們的專題復(fù)習(xí)課不能僅僅只有解題，還應(yīng)該有反思與總結(jié)，尤其是在完成了多道例題后，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行及時(shí)的總結(jié)，這樣學(xué)生對(duì)該專題的認(rèn)識(shí)才會(huì)更為深刻.

例如，含參數(shù)不等式恒成立問題的關(guān)鍵詞是“恒”字，但也有其他意思相近的詞，如“總”“始終”“都”等，解題時(shí)需要認(rèn)真審題，在審題后能建立模型，得出恒成立問題.至于采用哪種求解策略，各有利弊，需要結(jié)合題目的具體特征.總之，我們應(yīng)學(xué)會(huì)看透問題本質(zhì)，提升思維與分析能力.