基于改進MP的稀疏表示快速算法及其滾動軸承故障特征提取應(yīng)用

王 林, 蔡改改, 高冠琪, 周 菲, 楊思遠, 朱忠奎

(蘇州大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院 蘇州 215131)

基于改進MP的稀疏表示快速算法及其滾動軸承故障特征提取應(yīng)用

王 林, 蔡改改, 高冠琪, 周 菲, 楊思遠, 朱忠奎

(蘇州大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院 蘇州 215131)

在恒定轉(zhuǎn)速情況下，旋轉(zhuǎn)機械中滾動軸承的局部故障往往導(dǎo)致周期性沖擊，從而產(chǎn)生周期性瞬態(tài)振動信號。對局部故障的瞬態(tài)特征提取一直是故障檢測的關(guān)鍵問題。基于匹配追蹤(Matching Pursuit, MP)算法的稀疏分解是一種信號自適應(yīng)分解算法，是強噪聲背景下微弱特征提取的有效方法之一。針對滾動軸承故障振動信號稀疏表示過完備字典的選擇與構(gòu)造問題，基于相關(guān)濾波法優(yōu)選與沖擊波形匹配的Laplace小波原子構(gòu)造稀疏表示中的過完備字典；針對基本匹配追蹤算法計算量大、效率低的問題，結(jié)合FFT快速運算特性，通過互相關(guān)運算替換基本匹配追蹤算法中的內(nèi)積運算，研究基于改進MP的稀疏表示快速算法，進而提高計算效率。仿真與滾動軸承故障實驗分析結(jié)果表明該算法能準確的提取滾動軸承故障特征且計算效率高。

滾動軸承；匹配追蹤；字典構(gòu)造；FFT；特征提取

作為機械設(shè)備的關(guān)鍵零部件，滾動軸承往往長期運轉(zhuǎn)于高溫、高壓及復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境下，極易發(fā)生故障。以航空發(fā)動機為例，高壓壓氣機前軸承失效是致使發(fā)動機空中停車的主要原因之一，而航空發(fā)動機中的中介軸承一旦失效，會在極短時間內(nèi)導(dǎo)致發(fā)動機主軸抱軸裂斷，因此，對滾動軸承的運行狀態(tài)進行監(jiān)測與診斷至關(guān)重要。運轉(zhuǎn)中的滾動軸承一旦發(fā)生故障，其振動信號中將會出現(xiàn)周期性的沖擊成分，致使?jié)L動軸承的振動信號出現(xiàn)調(diào)制現(xiàn)象。尤其是在故障初期，沖擊成分往往比較弱，加之受到周圍噪聲干擾，致使微弱的故障特征難以提取。因此，如何有效提取滾動軸承微弱故障特征是滾動軸承故障診斷的關(guān)鍵，對保障滾動軸承的安全可靠運行具有重要意義。

在滾動軸承故障診斷方面，大量的非平穩(wěn)信號分析方法如短時傅里葉變換[1],小波變換[2-4],經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[5-6],EEMD算法[7-8]等被提出并取得良好的應(yīng)用效果。稀疏分解的思想最早可追溯到MALLAT等[9]基于過完備冗余字典庫所提出的匹配追蹤方法，該方法通過在過完備庫中自適應(yīng)地選擇與信號最相似的原子，并使選擇的原子個數(shù)盡可能的少，從而得到原始信號非常簡潔的表示，即稀疏表示。稀疏表示能夠在稀疏正則化約束下對復(fù)雜信號進行變換和分解，它通過設(shè)計超完備字典并構(gòu)造合適的目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化求解得到復(fù)雜信號在超完備字典中的稀疏解，用較少的變換系數(shù)就可以刻畫信號本質(zhì)。稀疏表示一經(jīng)提出，便以其良好的特性引起諸多領(lǐng)域如圖像處理、人臉識別、生物信號處理、特征提取等研究人員的廣泛關(guān)注。其中基于匹配追蹤(MP)的稀疏分解是稀疏表示算法中最常用的方法之一。在機械設(shè)備故障診斷領(lǐng)域，諸多學(xué)者也對相關(guān)算法做了大量的研究和改進工作，并獲得了較好的應(yīng)用效果。CUI等[10]結(jié)合故障產(chǎn)生機理，提出了基于自適應(yīng)沖擊字典的匹配追蹤稀疏表示算法，并成功應(yīng)用于滾動軸承故障診斷。周鳳星等[11]研究了基于相干累積量分段正交匹配追蹤方法的軸承早期故障特征稀疏表示方法。CAI等[12]針對齒輪故障信號的特點，提出基于可調(diào)Q因子小波變換的稀疏分解算法。盡管基于匹配追蹤的稀疏分解算法在信號自適應(yīng)分解方面取得良好的效果，然而在基于匹配追蹤的信號稀疏分解過程中，每一步都要進行信號或殘差信號在過完備字典庫中每一個字典上的內(nèi)積計算，這勢必帶來巨大的運算量，影響算法效率。此外，在基于匹配追蹤的稀疏分解算法中，過完備字典的選取及構(gòu)造也直接決定了算法對信號稀疏表示的效果。

本文針對滾動軸承故障振動信號稀疏表示過完備字典的選擇與構(gòu)造問題，通過相關(guān)濾波法優(yōu)選與沖擊信號波形匹配的Laplace小波原子構(gòu)造過完備字典，提高軸承故障振動信號稀疏表示的效果；針對基于匹配追蹤的稀疏表示算法計算量大，算法效率低的問題，利用快速傅里葉變換(FFT)快速計算的特性實現(xiàn)快速互相關(guān)運算，替換原始算法中的內(nèi)積運算，提高算法運算速度。仿真分析及實驗表明所研究方法既能實現(xiàn)滾動軸承故障信號中沖擊成分的更佳稀疏表示，又能顯著提高計算效率，能快速有效地將滾動軸承信號中的微弱沖擊成分提取出來。

1 基于FFT的改進MP算法

匹配追蹤(MP)算法是MALLAT等于1993年提出的一種迭代算法，在進行每一次迭代時，挑選過完備原子庫(或冗余字典)中與輸入信號結(jié)果最為匹配的原子，達到對信號的一種逼近。

目前MP稀疏表示在信號處理的實際應(yīng)用中遇到較大障礙，關(guān)鍵問題之一在于信號稀疏分解的計算量十分巨大。國內(nèi)有研究人員指出，當(dāng)信號長度為1024時，信號稀疏分解的難度將十分巨大[13]。MP稀疏表示算法的計算量一方面受過完備原子庫結(jié)構(gòu)特性的影響，另一方面則是由于在該稀疏表示過程中，要進行多次內(nèi)積運算，且每次運算都是在高維空間進行的。為解決上述問題，本文從以下兩個方面考慮，一方面，如果構(gòu)建的字典中的原子與待分析信號的主要成分相似，就不必構(gòu)造大量的原子，可直接選取與其較為相似的一系列原子進行分解重構(gòu)，因此針對滾動軸承故障振動信號特點，本文選取與軸承故障振動信號較為相似的Laplace小波基作為過完備原子庫；另一方面，為解決內(nèi)積運算速度較慢的問題，利用FFT快速計算的特性，將內(nèi)積運算轉(zhuǎn)換為利用FFT實現(xiàn)互相關(guān)運算，用FFT來降低運算復(fù)雜度，進而在性能不變的情況下，有效降低運算復(fù)雜度，提高運算速度。

假設(shè)原子庫中的原子由參數(shù)(ui,vi,ωi,si)所確定，由文獻[13]知，在稀疏分解的過程中，如果對原子庫中的某一原子參數(shù)(vi,ωi,si)的選取方法保持不變，可以取u=N/2,通過平移就可以得到參數(shù)為(si,vi,ωi,ui)的原子(ui≠N/2)，為了不影響稀疏分解結(jié)果，u取所有可能的值[0∶N-1]。對于具有參數(shù)(si,vi,ωi)的一個原子gγ，這個原子要和殘余信號做N次內(nèi)積運算。由于ui從0到N-1連續(xù)取值，從理論上講，所有的N次內(nèi)積運算〈Rkf,gγk〉可以轉(zhuǎn)換為兩個向量Rkf和gγk的一次互相關(guān)運算。在尋找內(nèi)積最大值的過程實際上就是尋找互相關(guān)最大值的過程，原子平移的運算量是可以忽略不計的，因此，既可以減少原子生成的時間，也可以減少存儲空間，進而達到較好的折中。

此外，利用FFT可以實現(xiàn)互相關(guān)運算，對上述算法進一步改進，這種改進不會影響稀疏分解的效果，卻可以大大提高稀疏分解的速度。

對于信號g、SR，其互相關(guān)函數(shù)定義為R=g*SR，對互相關(guān)函數(shù)R做FFT變換，即fft(R)=fft(g*SR)=fft(g)×fft(SR)。那么R=ifft(fft(g)×fft(SR))，具體過程如圖1所示。圖中g(shù)為冗余字典中的原子，SR是信號或信號殘差的反轉(zhuǎn)序列，Co為這個子集所對應(yīng)的投影系數(shù)值，也即為g、SR的互相關(guān)運算值R。

圖1 FFT實現(xiàn)互相關(guān)過程Fig.1 Implementation of cross-correlation with FFT

2 基于改進MP的稀疏表示快速算法

在恒定轉(zhuǎn)速情況下，旋轉(zhuǎn)軸承的局部故障往往導(dǎo)致周期性沖擊，從而產(chǎn)生周期性瞬態(tài)沖擊成分，且由軸承故障引起的瞬態(tài)沖擊成分一般呈現(xiàn)接近單邊振蕩衰減的波形。

Laplace小波是一種單邊衰減的復(fù)指數(shù)小波，訾艷陽等給出了Laplace小波的數(shù)學(xué)表達式，考慮到實際采集信號多為實信號，本文采用Laplace小波實數(shù)形式，

D(t,τ)=ψ(t,τ,ζ,f)=

(1)

式中:f為衰減頻率,ζ為黏滯阻尼比,τ為時延,WS為支撐區(qū)間,A用來歸一化小波函數(shù)。

Laplace小波與滾動軸承故障振動信號特征極為相似，故本文選取Laplace小波作為稀疏表示過完備字典中的原子。過完備原子庫D由不同參數(shù)(τ,f,ζ)的Laplace小波構(gòu)成，利用相關(guān)濾波法確定ζ的取值范圍，優(yōu)選與軸承瞬態(tài)成分最相似的小波原子[14-15]。f由故障信號頻譜峰值確定，τ與時間t變化范圍相同，以此形成的過完備原子庫中每個原子與軸承故障信號中的瞬態(tài)沖擊響應(yīng)成分匹配度較高，用該字典D來進行稀疏表示，字典中的原子與噪聲匹配度較低，用該方法可以有效的消除噪聲的干擾。

利用上述方法生成字典D，對軸承故障振動信號進行基于FFT互相關(guān)的匹配追蹤，得到各匹配時刻，各投影系數(shù)之間時間間隔即為故障周期，同時對重構(gòu)信號進行包絡(luò)分析也可以得到故障周期。具體算法流程如圖2所示。

圖2 基于改進MP的稀疏表示快速算法Fig.2 The fast algorithm of sparse representation based on improved MP

為驗證本文方法的有效性及優(yōu)越性，首先用仿真信號進行分析說明?？紤]到滾動軸承出現(xiàn)故障時其振動響應(yīng)信號特點，構(gòu)造如式(2)所示的仿真信號來模擬軸承故障振動信號。

(2)

式中:t∈[0,1] s，f0=300 Hz，ζ0=0.05，τ0=0.05 s，T0=0.1 s，n(t)為白噪聲，An為噪聲幅值，取An=0.25 m/s2，采樣頻率為2 000 Hz。

利用本文方法對該仿真信號進行分析，驗證該方法對沖擊時刻的辨識能力。軸承故障仿真信號如圖3(a)所示，對仿真信號進行FFT頻譜分析如圖3(b)所示，得到峰值頻率f=299.9 Hz，確定沖擊衰減頻率變化區(qū)間。通過相關(guān)濾波確定最佳阻尼比為ζ0=0.05。對仿真信號進行稀疏表示，迭代10次得到重構(gòu)信號結(jié)果如圖3(d)所示，迭代時間為1.98 s。由圖3(c)稀疏系數(shù)得到?jīng)_擊時刻，根據(jù)相鄰主要響應(yīng)成分的時間間隔Δt的平均值得到周期T，從圖3(c)中可得到T=0.1 s，與設(shè)定值相同。在仿真過程中，字典D中的原子與沖擊成分相似度很高，幾次迭代就可以得到原始信號的主要沖擊成分，過多的迭代次數(shù)則會引入噪聲成分，為避免該情況發(fā)生，本文通過設(shè)置閾值co來確定迭代次數(shù),

(3)

式中:rformer表示前一次信號殘差，rafter表示后一次信號殘差。

相關(guān)系數(shù)可用于評價兩信號或矢量之間的相似程度，利用重構(gòu)信號與仿真信號的相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient, CC)來評判重構(gòu)信號的優(yōu)劣程度，相關(guān)系數(shù)用內(nèi)積定義如下：

(4)

(5)

相關(guān)系數(shù)越接近1，表明重構(gòu)信號與原信號相關(guān)程度越大，重構(gòu)性能越好。

對圖3(a)和3(e)信號做相關(guān)計算得相關(guān)系數(shù)為0.986 4，表明該方法的重構(gòu)性能較好，且能夠確定周期性沖擊信號的周期成分。

為進一步驗證該方法的微弱故障特征提取能力，進一步增大白噪聲幅值A(chǔ)n=0.4 m/s2進行分析，仿真信號、頻譜、稀疏系數(shù)、重構(gòu)信號如圖4所示。

從圖4(c)可以得到周期性沖擊信號的平均周期T=0.1 s，與設(shè)定值相同，由此可見，在信噪比較低情況下，所提出方法依舊能夠獲得良好的分析效果。為進一步驗證本文算法相較于MP基本算法在運算效率上的優(yōu)勢，分別利用兩算法對仿真信號進行分析。圖5(a)所示為軸承故障仿真信號，圖5(b)、5(c)分別為改進算法和MP基本算法稀疏重構(gòu)結(jié)果。MP基本算法根據(jù)MP迭代計算過程編寫，通過內(nèi)積運算匹配最佳原子。在相同條件下，運算時間如表1所示，從表1可以看出在重構(gòu)效果相似情況下，本文算法運算效率有明顯提高。

圖3 軸承故障仿真信號分析結(jié)果Fig.3 Analysis results of the simulation signal

圖4 軸承故障仿真信號分析結(jié)果Fig.4 Analysis results of the simulation signal

圖5 基于不同算法的仿真信號分析Fig.5 Analysis of the simulation signal by using different algorithms

算法MP基本算法改進MP算法時間/min10．13240．0452

3 滾動軸承故障特征提取應(yīng)用

上述仿真分析表明，由本文算法所得稀疏系數(shù)和重構(gòu)信號可清楚地得到周期性特征，且具有高效，抗干擾能力強的優(yōu)點。接下來將應(yīng)用該方法分別對凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)及美國智能維護(IMS)中心軸承全壽命實驗振動信號進行分析，進一步驗證所提出方法的有效性。

3.1 凱斯西儲大學(xué)軸承故障數(shù)據(jù)分析

實驗采用6205-2RS JEM SKF深溝球軸承，實驗時滾動體故障尺寸為0.18 mm，振動數(shù)據(jù)采集采樣頻率為48 kHz。實驗時軸承轉(zhuǎn)速為1 796 r/min，滾動體理論故障特征頻率為119.36 Hz。

圖6(a)為軸承滾動體輕微故障時的振動信號，圖6(b)為該振動信號頻譜，從中可以看出峰值頻率為4 138 Hz。應(yīng)用相關(guān)濾波法確定最佳阻尼比為0.03，按照本文方法構(gòu)造Laplace小波字典，對軸承滾動體故障信號進行改進的MP快速算法進行分析，得到稀疏表示系數(shù)如圖6(c)所示，從圖6(c)中可以看到軸承滾動體故障沖擊響應(yīng)時刻，從而識別沖擊時刻與故障周期，表2中給出各沖擊響應(yīng)時刻，并由此確定故障周期。由于實驗時并不能完全保證恒速，因此采用平均周期來確定故障頻率。實驗測得故障頻率為123.82 Hz，與滾動體理論故障頻率接近，由此判斷該故障為滾動體故障。對于同一信號，利用MP基本算法對故障信號進行分析，重構(gòu)信號如圖6(e)所示。在相同條件下，利用兩種算法對故障信號進行分析，運算時間如表3所示，相較于MP基本算法，改進MP算法運算效率明顯提高。

圖6 軸承滾動體故障振動信號MP算法分析結(jié)果Fig.6 Analysis results for the signal of the bearing with roller fault by using MP algorithm

表3 稀疏算法運算效率比較

3.2 IMS軸承全壽命實驗數(shù)據(jù)分析

為了進一步驗證本文方法的有效性及對微弱故障特征提取的有效性，對IMS軸承全壽命試驗不同階段的數(shù)據(jù)進行分析。在此實驗中，每隔10 min采集一次數(shù)據(jù)，采樣頻率為20 kHz,軸承外圈理論故障頻率為236.4 Hz。圖7(a)、7(b)、7(c)、7(d)分別為正常軸承、軸承外圈早期故障、中度故障及嚴重故障信號波形，從圖中可看出，隨著軸承運行時間加長，軸承故障沖擊特征越來越明顯。

圖8(a)為軸承外圈輕微故障時的振動信號，圖8(b)為該振動信號頻譜，從中可以看出峰值頻率為4 575 Hz。應(yīng)用相關(guān)濾波法確定最佳阻尼比為0.09，按照上述原理構(gòu)造Laplace小波字典，并利用本文方法對其進行稀疏表示，得到稀疏表示系數(shù)如圖8(c)所示，從圖8(c)中可以直觀看到軸承外圈故障沖擊響應(yīng)時刻。從而能夠有效識別沖擊時刻與故障周期，表4中給出各沖擊響應(yīng)時刻，并由此確定故障周期。由于實驗時并不能保證完全的恒速，采用平均周期來確定故障頻率，為232.56 Hz，與外圈理論故障特征頻率236.4 Hz接近，由此判斷該故障為外圈故障，與實際一致。

圖7 不同階段的軸承故障信號Fig.7 Bearing fault signal at different stages

時刻/ms時間間隔/ms平均周期/ms0．054．804．758．954．1512．253．3017．505．2521．854．354．3026．204．3530．554．3534．904．3539．054．1543．604．5547．353．75

圖8 軸承外圈故障MP算法分析結(jié)果Fig.8 Analysis results for the signal of the bearing with outer race fault at the early stage

4 結(jié) 論

(1)針對滾動軸承故障振動信號稀疏表示過完備字典的選擇與構(gòu)造問題，結(jié)合滾動軸承故障振動信號特點，基于Laplace小波原子，利用相關(guān)濾波法構(gòu)造稀疏表示中的過完備字典，提高了軸承故障振動信號稀疏表示效果。

(2)針對基于匹配追蹤的稀疏表示算法計算量大，效率低的問題，結(jié)合FFT快速運算的特性，通過互相關(guān)運算替換基本匹配追蹤算法中的內(nèi)積運算，提高算法的運算速度。

(3)實驗結(jié)果表明，該方法能夠較好的識別故障信號沖擊響應(yīng)時刻，具有較強的抑制噪聲干擾的能力，同時，相較于MP基本算法，本文方法在運算效率方面有明顯優(yōu)勢。將該方法應(yīng)用于軸承故障特征提取，實驗結(jié)果表明，本文方法能夠有效識別軸承故障響應(yīng)發(fā)生的時刻，通過分析重構(gòu)信號的周期特征，判斷軸承故障類型。

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Fast sparse representation algorithm based on improved MP and its applications in fault feature extraction of rolling bearings

WANG Lin, CAI Gaigai, GAO Guanqi, ZHOU Fei, YANG Siyuan, ZHU Zhongkui

(School of Urban Rail Transportation, Soochow University, Suzhou 215131, China)

At constant rotating speed, localized faults of rolling bearings in rotating machines may lead to periodic impacts and thus cause periodic transient vibration signals. The transient feature extraction always is a crucial problem for localized fault detection. The sparse decomposition based on matching pursuit (MP) is an adaptive sparse representation for signals. It is one of the effective methods for weak feature extraction. Here, aiming at the selecting and constructing problems of the over complete dictionary for sparse representation of rolling bearing fault vibration signals, the matching correlation filtering method was used to construct Laplace wavelet atoms used to match the impact waveform and construct the over-complete dictionary. Aiming at the large computational cost and low efficiency problems of the basic matching tracking algorithm, combined with FFT fast operation characteristics, the correlation algorithm was used to replace the basic matching pursuit algorithm for inner product computation to improve the computational efficiency. Simulation and test analysis results of rolling bearings with faults showed that the proposed algorithm can extract their fault features accurately and efficiently.

rolling bearing; matching pursuit; dictionary construction; Fast Fourier Transform(FFT); feature extraction

國家自然科學(xué)基金(51405321);江蘇省自然科學(xué)基金(BK20140339);江蘇省高校自然科學(xué)基金(14KJB460023);江蘇省大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練(201410285103X);蘇州市應(yīng)用基礎(chǔ)研究(SYG201511)

2015-09-14 修改稿收到日期：2016-01-13

王林 男，碩士生，1993年生

蔡改改 女，博士,副教授，1986年生

TH165；TN911

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.028