基于拉伸振動精確化理論求解含孔厚板彈性波散射問題

周傳平, 胡 超

(1.杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，杭州 310018； 2.揚(yáng)州大學(xué) 建筑科學(xué)與工程學(xué)院，揚(yáng)州 225127)

基于拉伸振動精確化理論求解含孔厚板彈性波散射問題

周傳平1, 胡 超2

(1.杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，杭州 310018； 2.揚(yáng)州大學(xué) 建筑科學(xué)與工程學(xué)院，揚(yáng)州 225127)

針對采用彈性力學(xué)平面問題求解波動/振動時常產(chǎn)生較大誤差的問題，基于厚板拉伸振動精確化方程，采用復(fù)變函數(shù)方法對含孔平板中彈性波散射與動應(yīng)力集中問題進(jìn)行了研究。利用正交函數(shù)展開的方法將待解的問題歸結(jié)為對一組無窮代數(shù)方程組的求解。給出了含橢圓孔厚板拉壓彈性波散射與動應(yīng)力集中的數(shù)值結(jié)果。研究結(jié)果表明：動應(yīng)力集中系數(shù)與分布取決于入射波數(shù)、平板厚度、橢圓偏心率等無量綱化參數(shù)。

平板拉伸振動精確化方程；厚壁動力學(xué)；彈性波散射與動應(yīng)力集中；復(fù)變函數(shù)法；剪應(yīng)力一階矩

在航空航天、船舶、土木建筑和機(jī)械工程中，受拉伸作用的平板結(jié)構(gòu)經(jīng)常用鉚釘或螺栓連接，普遍存在大量圓孔。由于平板結(jié)構(gòu)幾何上的不連續(xù)，在開孔附近將會出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。應(yīng)力集中將會降低結(jié)構(gòu)的承載能力和減少結(jié)構(gòu)的使用壽命，是工程上經(jīng)常遇到的問題。因此，長期以來人們對拉壓平板開孔靜、動應(yīng)力集中問題進(jìn)行了廣泛的研究[1-7]。

對靜應(yīng)力集中問題，KIRSCH[8]按二維彈性力學(xué)方程求解了在均勻縱向拉力作用下平板中圓孔周圍的應(yīng)力集中。而對拉壓平板考慮動應(yīng)力集中的工程設(shè)計，現(xiàn)多借鑒彈性力學(xué)平面問題分析求解，例如二維區(qū)域彈性波散射與動應(yīng)力集中的結(jié)果。由于有限厚度結(jié)構(gòu)中承載圓孔的附近會由于應(yīng)力集中產(chǎn)生強(qiáng)烈的三維效應(yīng)區(qū)。三維效應(yīng)區(qū)和結(jié)構(gòu)的相對厚度緊密相關(guān)，很大程度上控制著結(jié)構(gòu)的斷裂、疲勞等力學(xué)特性。顯然，利用平面問題的二維模型求解應(yīng)力集中問題與平板實(shí)際結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有差異。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)設(shè)計趨于輕型化，而實(shí)現(xiàn)輕型化的途徑是采用先進(jìn)材料和完善結(jié)構(gòu)設(shè)計理論。然而，按三維問題求解時將會遇到極大的數(shù)學(xué)困難，因此，該問題一直沒有很好解決。

直到目前，基于平板拉伸振動支配方程分析求解非圓形孔動應(yīng)力集中的工作鮮見于文獻(xiàn)報道。本文將基于文獻(xiàn)[7]給出的厚板拉伸振動精確化方程，對含孔平板中彈性波散射與動應(yīng)力集中問題進(jìn)行研究，并給出可供工程應(yīng)用的分析方法和數(shù)值結(jié)果。

1 平板拉伸波動方程及其求解

根據(jù)文獻(xiàn)[7]平板拉伸自由振動的精確化方程為

(1a)

(1c)

不失一般性，研究問題的諧和振動解，設(shè)

(2)

式中:ω是平板拉伸振動的圓頻率；i是虛數(shù)單位，i2=-1。

在以下分析中略去時間因子和廣義位移函數(shù)上的符號～。將式(2)代入到式(1)可得方程

(3a)

(3b)

基于平板拉伸精確化理論，平板結(jié)構(gòu)中廣義內(nèi)力的表達(dá)式為[8]

(4)

由于剪應(yīng)力Qx(零階矩)邊界條件自動滿足，因此需要補(bǔ)充一個考慮剪應(yīng)力一階消失矩的廣義內(nèi)力，其表達(dá)式為

(5)

采用復(fù)變函數(shù)法，在求解平板中任意形狀開孔附近的動應(yīng)力集中問題時，使用保角映射法[9]，將ζ平面上非圓孔洞邊界L的外域(內(nèi)域)映射成η平面上的邊界S的單位圓的外域(內(nèi)域)。映射函數(shù)具有如下形式

ζ=Ω(η)=cη+Φ(η)

(6)

式中:Φ(η)為全純函數(shù)。

在極坐標(biāo)系(r,β)中，式(6)可以寫成

Nr+Nβ=Nx+Ny

(7a)

Nβ-Nr+2iNrβ=(Ny-Nx+2iNxy)exp(2iβ)

(7b)

MQr-iMQβ=(MQx-iMQy)exp(iβ)

(7c)

(8a)

(8b)

(8c)

平板拉伸振動方程(3)描述的散射波一般解可寫為

(9a)

(9c)

式中:δj(j=1,2)是位移勢函數(shù)的比例系數(shù)，

2 入射波的激發(fā)與總波場

設(shè)在平板結(jié)構(gòu)中有一拉伸波沿x軸方向傳播，其表達(dá)式為

E(i)=E0eiα1x

(10a)

F(i)=δ1E(i)

(10b)

f(i)=0

(10c)

式中:E0是入射波沿x軸方向廣義位移的幅值。

平板中拉壓彈性波總波場可描述為

E=E(i)+E(s)

(11a)

F=F(i)+F(s)

(11b)

f=f(i)+f(s)

(11c)

3 滿足開孔邊界條件確定模式系數(shù)

在η平面上，設(shè)平板結(jié)構(gòu)拉壓振動時開孔為自由邊界條件，厚板理論可以滿足3個邊界條件

(12)

式中:a為平板開孔的半徑。

將式(11)代入到開孔邊界條件式(12)中，可以構(gòu)成決定A1n,A2n,Bn的無窮代數(shù)方程組：

(13)

(14)

式中：

用e-isθ乘以方程(14)的兩端，利用函數(shù)系的正交性可得

開孔邊界處動應(yīng)力集中系數(shù)可描述為

(15)

式中，入射波的表達(dá)式為

(16)

開孔邊界處散射波的表達(dá)式為

(17)

4 數(shù)值算例

對于平板中含有一個長短半軸分別為a和b的橢圓孔，取映射函數(shù)為

(18)

式中:r0=(a+b)/2，c=(a-b)/(a+b)。

本文根據(jù)含任意形開孔平板結(jié)構(gòu)拉伸振動的精確化理論及其相應(yīng)的分析計算公式，編制了計算程序，并繪出了動應(yīng)力分布曲線。在作數(shù)值計算時，Poisson比取為ν=0.3，無量綱波數(shù)為α1a=0.1～5.0。

(a) α1a=0．1，a/h=0．1，a/b=3/4(b) α1a=1．0，a/h=0．1，a/b=3/4(c) α1a=1．0，a/h=5．0，a/b=3/4(d) α1a=5．0，a/h=5．0，a/b=3/4圖1 拉伸平板孔邊動應(yīng)力分布Fig．1Dynamicstressinstretchingplates

(a) α1a=0．1，a/h=0．1，a/b=4/3(b) α1a=1．0，a/h=0．1，a/b=4/3(c) α1a=1．0，a/h=5．0，a/b=4/3(d) α1a=5．0，a/h=5．0，a/b=4/3圖2 拉伸平板孔邊動應(yīng)力分布Fig．2Dynamicstressinstretchingplates

圖3是基于平板拉伸的精確化理論分析計算得到的含橢圓孔厚板動應(yīng)力集中系數(shù)隨無量綱波數(shù)α1a的變化曲線。

圖3 不同板厚情況下含橢圓孔厚板動應(yīng)力集中系數(shù)隨波數(shù)變化曲線(ν=0.3,θ=π/2,a/b=3/4)Fig.3 Dynamic stress in plates vs dimensionless wave numbers for different thickness

5 結(jié) 論

本文基于文獻(xiàn)[7]的平板拉伸振動精確化方程，采用劉氏復(fù)變函數(shù)方法，對平板開孔彈性波散射與動應(yīng)力集中問題進(jìn)行了研究。為說明問題，文中就平板含橢圓形開孔情況下的動應(yīng)力集中問題進(jìn)行了數(shù)值模擬。研究結(jié)果表明：

(1)動應(yīng)力集中系數(shù)與分布取決于入射波數(shù)、平板厚度和橢圓的偏心率等無量綱化參數(shù)。

(2)當(dāng)入射波波數(shù)變較大時，動應(yīng)力集中系數(shù)最大值趨于單位一。從物理上講，這意味著頻率非常高時，孔的邊界如同一個平面邊界，這充分反映了高頻動態(tài)應(yīng)力集中的特點(diǎn)。

(3)在中高頻和薄板的情況下，在θ=π/2處動應(yīng)力集中系數(shù)未能取得最大值，甚至出現(xiàn)負(fù)應(yīng)力。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，平板拉伸振動精確化方程是在沒有采用任何工程假設(shè)情況下得到的，其動力學(xué)方程是較精確的?；诖苏駝泳_化方程， 采用復(fù)變函數(shù)

方法和保角映射法配以適當(dāng)?shù)挠成浜瘮?shù)可精確求解平板任意形開孔的動應(yīng)力集中問題。該研究方法的特點(diǎn)是有規(guī)范的求解方式，因此本文方法與數(shù)值計算結(jié)果可望能在工程厚壁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析與強(qiáng)度設(shè)計中得到應(yīng)用。

[ 1 ] SAVIN G. N.著, 盧鼎霍譯. 孔附近的應(yīng)力集中[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1965.

[ 2 ] ERINGEN A C, SUHUBI E S. Elastodynamics,volume II linear theory[M]. New York, San Francisco, London: Academic Press, 1975.

[ 3 ] LIU D K, HU C. Scattering of flexural wave and dynamic stress concentration in Mindlin thick plates[J]. Acta Mechanica Sinica, 1996, 12(2): 169-185.

[ 4 ] MINDLIN R D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motionsof isotropic elastic plates[J]. ASME Journal of Applied Mechanics, 1951, 18: 31-36.

[ 5 ] PAO Y H, MOW C C. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations[M]. New York: Crane and Russak, 1973. 230-231.

[ 6 ] 胡超, MA Fai, 馬興瑞,等. 平板彎曲自由振動的精確化動力學(xué)方程及其分析[J]. 中國科學(xué), G輯, 物理、力學(xué)、天文學(xué), 2011, 41(6):781-790. HU Chao, MA F, MA Xingrui, et al. Refined dynamic equations of the plate bending without any assumptions[J]. Sci Sin Phys Mech Astron, 2011, 41(6):781-790.

[ 7 ] 胡超, MA Fai, 馬興瑞,等. 厚板彎曲與拉伸振動精化理論及其求解新途徑[J]. 中國科學(xué), G輯, 物理、力學(xué)、天文學(xué), 2012, 42(5):522-530. HU Chao, MA F, MA Xingrui, et al. Refined dynamic theory of thick plates in extension-bending and its new formulism[J]. Sci Sin-Phys Mech Astron, 2012, 42(5): 522-530.

[ 8 ] SAADA A S. Elasticity theory and applications[M]. Fort Lauderdale: J. Ross Pub, 2009.

[ 9 ] MUSKHELISHVILI N I. Certain fundamental problems of the mathematical theory of elasticity[M]. Moscow: Izd-vo Nauka, 1966.

[10] ABRAMOWITZ M, STEGUN I A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables[M]. New York:Dover publications, 1964.

Elastic wave scattering in thick plates with a hole based on thick plates’ longitudinal vibration equation

ZHOU Chuanping1, HU Chao2

(1. School of Mechanical Engineering, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 300018, China;2. College of Civil Science and Engineering, Yangzhou University, Yangzhou 225127, China)

Based on longitudinal vibration equation of thick plates, using the complex functions and mapping method, elastic wave scattering and dynamic stress concentrations in thick plates with a hole were studied. Applying the orthogonal function expansion method, the problem to be solved was converted into solving a set of infinite algebraic equations. As an example, the numerical results for tension-compression elastic wave scattering and dynamic stress concentration factors in thick plates with an elliptic hole were computed. The results indicated that some parameters, such as, incident wave number, thickness of plates and elliptic eccentricity ratio have great effects on dynamic stress distributions and dynamic stress concentratuion factors of thick plates with a hole.

longitudinal vibration equation of thick plates; dynamics of thick walled structures; elastic wave scattering and dynamic stress concentrations; complex functions method; first moment of shear stresses

國家自然科學(xué)基金項目(51378451)

2015-11-02 修改稿收到日期：2016-01-23

周傳平 男，博士，講師，1985年生

胡超 男，博士，教授，1961年生

O347.4；TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.035