基于Copula的滬深股市相依結(jié)構(gòu)與相關(guān)模式研究

盧俊香，武宇，杜艷麗

(西安工程大學理學院，西安710048)

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基于Copula的滬深股市相依結(jié)構(gòu)與相關(guān)模式研究

盧俊香，武宇，杜艷麗

(西安工程大學理學院，西安710048)

針對傳統(tǒng)Pearson線性相關(guān)系數(shù)與Granger因果分析法的不足，采用一種特殊的相關(guān)性分析方法—Copula函數(shù)方法對滬深股市相關(guān)結(jié)構(gòu)與相關(guān)模式進行研究。首先用核密度估計方法對Copula函數(shù)的邊緣分布進行估計，再結(jié)合秩相關(guān)系數(shù)對數(shù)據(jù)擬合較好的Copula函數(shù)進行選擇，最后用離散L2范數(shù)評價方法對其擬合程度進行檢驗。研究發(fā)現(xiàn)，t-Copula可以較好地擬合滬深股市的日收益率序列，滬深股市日收益率序列呈現(xiàn)出較強的相關(guān)性以及對稱的尾部相關(guān)性，當滬深兩市出現(xiàn)大幅震蕩時，兩市收益率的協(xié)同作用將大幅增強。

Copula；相關(guān)性；收益率；模型選擇；擬合度檢驗

引言

Copula函數(shù)作為相關(guān)分析和多變量建模的一種工具，處理非線性非對稱的數(shù)據(jù)有其獨特的優(yōu)勢，因此國內(nèi)外對Copula方法及其應(yīng)用有廣泛關(guān)注，其應(yīng)用范圍也不斷擴展。

1959年，Sklar A提出將一個k元聯(lián)合分布函數(shù)分解成其k個邊緣分布函數(shù)和一個Copula函數(shù)，而這個Copula函數(shù)恰能描述變量間的相關(guān)性[1]。1999年，Nelson R B對函數(shù)的含義和性質(zhì)做了全面總結(jié)[2]。Dias，Emberches等將Copula函數(shù)與GARCH模型相結(jié)合使得能準確的刻畫時間序列間的關(guān)系[3-4]。Ding和Engle等研究了資產(chǎn)間的相關(guān)性及模型的估計和檢驗[5]。隨后Copula被應(yīng)用到投資組合、風險管理等重要領(lǐng)域[6-10]。國內(nèi)的張堯庭教授最先將Copula函數(shù)應(yīng)用到相關(guān)分析中[11]。韋艷華和張世英把時間序列與Copula函數(shù)結(jié)合在一起，對變量間的條件相關(guān)性進行分析[12-13]。周艷菊等提出基于Kendallτ、尾相關(guān)系數(shù)的Copula的非參數(shù)估計，對道瓊斯工業(yè)指數(shù)和恒生指數(shù)做實證分析[14]。趙麗琴和張連增等對Copula函數(shù)的參數(shù)估計做了分析，提出對Copula函數(shù)的參數(shù)采用參數(shù)估計、半?yún)?shù)估計以及非參數(shù)估計的方法[15-16]。由于Copula函數(shù)的特點突出，近年來在諸多領(lǐng)域都有其研究應(yīng)用[17-21]。

本文利用Copula函數(shù)，以深證300指的日收益率和上證B指的日收益率為邊緣分布建模，研究滬深股指的相關(guān)性，首先運用核密度估計法對Copula函數(shù)的邊緣分布進行估計，在對Copula函數(shù)參數(shù)估計的基礎(chǔ)上，結(jié)合秩相關(guān)系數(shù)對滬深收益率擬合較好Copula函數(shù)進行選擇，最后通過離散L2范數(shù)進行擬合優(yōu)度檢驗。結(jié)果表明，t-Copula可以較好的擬合滬深股市的日收益率序列，滬深股市日收益率序列呈現(xiàn)出較強的相關(guān)性以及對稱的尾部相關(guān)性，當滬深兩市出現(xiàn)大幅震蕩時，其協(xié)同作用將大幅增強。

1　Copula函數(shù)的定義[2]

N元Copula函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)C：

(1)C=IN=[0,1]N；

(2)C對它的每一個變量都是遞增的；

(3)C的邊緣分布Cn(·)滿足：Cn(un)=C(1,…,1,un,1,…,1)=un，其中，u∈[0,1],n∈[0,N]。

顯然，若F1(·)，…，F(xiàn)N(·)是一元分布函數(shù)，令un=Fn(xn)是隨機變量，則C(F1(·)，…，F(xiàn)N(·))是一個具有邊緣分布函F1(·)，…，F(xiàn)N(·)的多元分布函數(shù)。

2　常見Copula函數(shù)

2.1橢球Copula函數(shù)

橢球Copula函數(shù)主要有正態(tài)Copula和t-Copula。

2.1.1正態(tài)Copula(Gaussian Copula)

多元正態(tài)Copula：

CGa(u1,…,uN;ρ)=

φρ(φ-1(u1),…,φ-1(uN))=

(1)

2.1.2t-Copula

自由度為υ的多元t-Copula：

Ct(u1,…,uN;ρ,υ)=

圖1　Gaussian Copula函數(shù)概率密度函數(shù)圖

圖2　t-Copula函數(shù)概率密度函數(shù)圖

由圖1和圖2可知：取相同的相關(guān)系數(shù)時，二元Gaussian Copula函數(shù)和二元t-Copula函數(shù)具有對稱的尾部，其中二元t-Copula函數(shù)具有較厚的尾部，對隨機變量間的尾部相關(guān)變化較為敏感，能更好的捕捉到隨機變量之間的對稱尾部相關(guān)關(guān)系。而二元正態(tài)Copula函數(shù)在分布的尾部變量間是漸進獨立的，所以適合于具有對稱尾部，但上、下尾部漸進獨立的情形。這兩種Copula函數(shù)都無法捕捉到隨機變量間非對稱的相關(guān)關(guān)系。

2.2經(jīng)驗Copula函數(shù)

u,v∈[0,1]

(3)

3　實證分析

3.1描述性統(tǒng)計

選取2009年12月3日至2015年11月6日上證B指與深證300指的日收盤價共1417組有效數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源同花順。采取對原序列進行一階對數(shù)差分并乘以100：

Rt=100×(lnPt-lnPt-1)

(4)

得到對數(shù)收益率將對數(shù)收益率序列樣本分別記為{xi}和{Yi}。經(jīng)計算可知滬深兩市的每日收益率數(shù)據(jù)的均值都比較小，標準差比較大，峰度都大于5，偏度都大于0.5，并且JB統(tǒng)計量p值均小于0.001，說明兩收益率序列均不服從正態(tài)分布，由于上證B指與深證300指的日收益率分布具有尖峰厚尾的特性且拒絕正態(tài)性假設(shè)，故很難確定總體的分布，所以采用核光滑方法估計總體的分布。

3.2邊緣分布估計

圖3　深證300指收益率的經(jīng)驗分布圖和核分布估計圖

圖4　上證B指收益率的經(jīng)驗分布圖和核分布估計圖

3.3Copula函數(shù)參數(shù)估計及選取

用核密度估計方法確定深證300指收益率和上證B指收益率的邊緣分布，分別記為U=F(x)和V=G(y)，就可以根據(jù)(Ui,Vi)(i=1,2,…,n)的二元頻數(shù)直方圖得到直觀的相依關(guān)系圖，在頻數(shù)直方圖的基礎(chǔ)上得到頻率直方圖，而頻率直方圖可以作為Copula密度函數(shù)的估計，頻率直方圖如圖5所示。

圖5　深證300指和上證B指收益率的頻率直方圖

由圖5可知，頻率直方圖具有基本對稱的尾部，據(jù)此初步選取能夠刻畫對稱的尾部相關(guān)性的t-Copula、Gaussian Copula函數(shù)描述和刻畫深證300指和上證B指收益率的相依結(jié)構(gòu)。

3.3.1t-Copula與Gaussian Copula的參數(shù)估計

經(jīng)計算求得，二元Gaussian Copula中的線性相關(guān)系數(shù)ρ的估計值為：

則二元Gaussian Copula的表達式為：

(5)

二元t-Copula函數(shù)中的線性相關(guān)系數(shù)ρ和自由度k的估計值分別為：

二元t-Copula的表達式為：

(6)

3.3.2二元Gaussian Copula與t-Copula函數(shù)的選取分析

首先從秩相關(guān)方面考慮對Copula函數(shù)進行選擇。通過估計出的參數(shù)可以求出Gaussian Copula、t-Copula以及原始序列所對應(yīng)的的Kendall秩相關(guān)系數(shù)與Spearman秩相關(guān)系數(shù)(表1)。

表1　Kendall秩相關(guān)系數(shù)與Spearman秩相關(guān)系數(shù)

由表1可知滬深兩市收益率之間有很強的相關(guān)性，將Gaussian Copula、t-Copula秩相關(guān)系數(shù)與由原始序列預(yù)測的秩相關(guān)系數(shù)進行對比，其中t-Copula的秩相關(guān)系數(shù)更接近于原始序列預(yù)測的秩相關(guān)系數(shù)，由此可知從秩相關(guān)性角度出發(fā)，t-Copula比Gaussian Copula更好的擬合了深證300指和上證B指收益率之間的秩相關(guān)性。根據(jù)估計參數(shù)可得到能描述滬深收益率相關(guān)性的t-Copula密度函數(shù)圖與分布函數(shù)圖(圖6)。

圖6　二元t-Copula密度函數(shù)圖和分布函數(shù)圖

3.4擬合度檢驗

(7)

經(jīng)計算，Gaussian Copula、t-Copula函數(shù)與經(jīng)驗Copula分布函數(shù)之間的L2范數(shù)距離分別為0.0387和0.0188。所以，在L2范數(shù)距離的評價標準上t-Copula比Gaussian Copula能更好的擬合深證300指和上證B指日收益率序列。

4　結(jié)束語

通過Gaussian Copula與t-Copula參數(shù)的估計，秩相關(guān)系數(shù)的分析、離散L2范數(shù)的擬合程度檢驗，對滬深股市的相關(guān)性進行了定量與定性分析，研究結(jié)果表明：t-Copula可以較好的擬合滬深股市的日收率序列，滬深股市日收益率序列呈現(xiàn)出很強相關(guān)性及對稱的尾部相關(guān)性，當滬深兩市出現(xiàn)大幅震蕩時，兩市收益率的協(xié)同作用將大幅增強。

[1] SKLAR A.Functions de repartition(a) n dimensions et leursmarges[J].Publication de l’Institut de Statistique de l’Universite de Paris,1959,8(12):229-231.

[2] NELSON R B.An introductions to copulas[M].New York:Springer,1999.

[3] DIAS A,EMBRECHTS P.Dynamic Copula models for multivariate high-frequency data in finance[J].ETHZurich,2004,7(5):24-37.

[4] LI M,YANG L.Modeling the volatility of futures return in rubber and oil-A Copula-Based GARCH approach[J].Economic Modeling,2013,7(16):576-581.

[5] DING Z X,ENGLE R F.Large scale conditional covariance matrix modeling,estimation and testing[J].Academia Economic Papers,2001,29(2):157-184.

[6] ROMANO C.Applying Copula function to risk management[J].Rome University,2002,26(3):73-77.

[7] UMBERTO Cherebin,ELISA Luciano,WALTER V.Copula Methods in Finance[J].England:Johnwiley & Sonsltd,1988.

[8] LESNEVSK V,NELSON L B,STAUM J.Simulation of Coherent Risk Measures Based on Generalized Scenarios[J].Management Science,2007,53(11):1756-1769.

[9] SONGSAK S,HUNG T N.Modeling and Dependency of Agricultural Price and Production Indices of Thailand:Static Versus Time-Varing Copulas[J].Journal of Approximate Reasoning,2013,54(7):793-808.

[10] MARTIN H K,VOLATILITY S.Comovements and Contagion in Securitized Real Estate Markets[J].Real Estate Financial Economic,2013,47(6):1-35.

[11] 張堯庭.我們應(yīng)該選用什么樣的相關(guān)性指標[J].統(tǒng)計研究,2002(9):41-44.

[12] 韋艷華,張世英.多元Copula-GARCH模型及其在金融風險分析上的應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2007,26(3):432-439.

[13] 韋艷華,張世英.Copula理論及其在金融分析上的應(yīng)用[M].北京:清華大學出版社,2008.

[14] 周艷菊,王亞濱,王宗潤.基于Copula函數(shù)的股指尾部相關(guān)性研究—以道瓊斯工業(yè)指數(shù)與恒生指數(shù)為例[J].數(shù)學的實踐與認識,2012,12(5):19-26.

[15] 趙麗琴,籍艷麗.Copula函數(shù)的非參數(shù)核密度估計[J].統(tǒng)計與決策,2009,9(2):29-33.

[16] 張連增,胡祥.Copula 的參數(shù)與半?yún)?shù)估計方法的比較[J].統(tǒng)計研究,2014,31(2):91-95.

[17] 楊湘豫,周再立.基于Copula-TARCH的開放式基金投資組合風險的實證分析[J].系統(tǒng)工程,2011,6(7):65-70.

[18] 高杰,付冀.基于Copula模型的匯率與股市波動溢出效應(yīng)分析[J].求索,2011,9(3):38-39.

[19] 李強,周孝華.基于Copula的我國臺灣和韓國股票市場相關(guān)性研究[J].管理工程學報,2014,28(2):100-107.

[20] 邱樹萍,吳薇薇,侯美麗.基于Copula函數(shù)的航班延誤相關(guān)性分析[J].武漢理工大學學報,2015,39(1):117-119.

[21] 陳曉雷,李自勝,武鑫,等.基于Copula函數(shù)的中美大豆期貨波動溢出效應(yīng)研究[J].科技通報,2015,31(3):2-3.

Research on The Dependence Structure and Correlation Pattern of Shanghai and Shenzhen Stock Market Based on Copula

LU Junxiang, WU Yu, DU Yanli

(School of Science , Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

For the shortage of traditional Pearson linear correlation coefficient and Granger method of Cause and effect analysis, a special correlation analysis method — the method of Copula function was used to study the dependence structure and correlation pattern of Shanghai and Shenzhen stock market. First, the method of kernel density estimation was used to estimate marginal distributions of Copula function, then the rank correlation coefficient was combined with to choose a better copula function that can fit the data well, at last discrete L2norm was used to fit degree test . The study found that t-Copula can fit the Shanghai and Shenzhen stock market's daily return rate sequence better. The return rate sequence shows a strong correlation and symmetrical tail dependence between Shanghai and Shenzhen stock market. When the Shanghai or Shenzhen stock appear sharp situation, the synergistic effect will be greatly enhanced.

Copula; correlation; return rate; model selection; fitting degree test

2016-02-23

陜西省教育廳專項科研基金(14JK1299)

盧俊香(1980-)，女，山東沂水人，副教授，博士，主要從事金融與統(tǒng)計方面的研究，(E-mail)jun-xianglu@163.com;

武宇(1991-)，女，陜西渭南人，碩士生，主要從事金融與統(tǒng)計方面的研究，(E-mail)1069432692@qq.com

1673-1549(2016)02-0070-05

10.11863/j.suse.2016.02.14

F831

A