從一道習(xí)題的推廣談數(shù)學(xué)文化的滲透

文︳申 潛

從一道習(xí)題的推廣談數(shù)學(xué)文化的滲透

文︳申 潛

題目解答不難，不過(guò)做完后不妨留心思考：題目中給出的是具體的橢圓，那么這個(gè)結(jié)論對(duì)所有橢圓是否都成立呢？也就是說(shuō)，我們把這個(gè)事情一般化，探究橢圓是否都具有這樣的性質(zhì)。這樣就可以解一題而通一類，培養(yǎng)解題能力和數(shù)學(xué)思維。若M，N是橢圓=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于M，N的一點(diǎn)，直線 PM，PN 的斜率分別為 k1，k2，則 k·1k2= 。

解：設(shè)點(diǎn) M（x0，y0），則 N（-x0，-y0），設(shè)橢圓上點(diǎn) P（x，y）。

也就是說(shuō)，其斜率乘積與橢圓的長(zhǎng)、短軸有關(guān)。再進(jìn)一步推廣，雙曲線是否也有這樣的性質(zhì)？

說(shuō)到圓錐曲線和特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，不得不提一個(gè)著名定理——費(fèi)馬大定理。

1637年左右，法國(guó)學(xué)者費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》的拉丁文譯本時(shí)，在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或?qū)⒁粋€(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?/p>

費(fèi)馬的話可整理成：當(dāng)整數(shù)n＞2時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解。

畢竟費(fèi)馬沒(méi)有寫下證明，而他的其他猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣。1753年，瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在給哥德巴赫的信中說(shuō)，他證明了n=3時(shí)的費(fèi)馬猜想。1816年，巴黎科學(xué)院把費(fèi)馬猜想簡(jiǎn)化歸結(jié)為是奇素?cái)?shù)的情況，認(rèn)為費(fèi)馬猜想應(yīng)該成立，并稱之為“費(fèi)馬大定理”（以區(qū)別費(fèi)馬關(guān)于同余的小定理），還為證明者設(shè)立大獎(jiǎng)和獎(jiǎng)?wù)?，費(fèi)馬大定理之謎從此進(jìn)一步風(fēng)靡全球。

19世紀(jì)初，法國(guó)自學(xué)成才的女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼證明了當(dāng)n和2n+1都是素?cái)?shù)時(shí)費(fèi)馬大定理的反例x，y，z至少有一個(gè)是n整倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，1825年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷和法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德分別獨(dú)立證明費(fèi)馬大定理在n=5時(shí)成立。1839年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅對(duì)熱爾曼方法作了改進(jìn)，并證明了n=7的情形。他的證明使用了跟7本身結(jié)合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形。

1844年，庫(kù)默爾提出了“理想數(shù)”概念，他證明了對(duì)于所有小于100的素指數(shù)n，費(fèi)馬大定理成立，此一研究告一段落。但對(duì)一般情況，在猜想提出的頭200年內(nèi)，數(shù)學(xué)家們?nèi)詫?duì)費(fèi)馬大定理一籌莫展。

1955年，日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先猜測(cè)橢圓曲線與另一類數(shù)學(xué)家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯(lián)系；谷山豐的猜測(cè)后經(jīng)韋依和志村五郎進(jìn)一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”。這個(gè)猜想說(shuō)明了有理數(shù)域上的橢圓曲線都是模曲線。這個(gè)很抽象的猜想盡管讓一些學(xué)者搞不明白，但它使費(fèi)馬大定理的證明向前邁進(jìn)了一步。

1984年，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷在德國(guó)小城奧伯沃爾法赫的一次數(shù)論研討會(huì)上宣稱：假如費(fèi)馬大定理不成立，則由費(fèi)馬方程可構(gòu)造一個(gè)橢圓曲線，它不可被模形式化，也就是說(shuō)谷山—志村猜想將不成立。但弗雷構(gòu)造的所謂弗雷曲線不可模形式化也說(shuō)不清具體證明細(xì)節(jié)，因此也只是猜想，被稱為“弗雷命題”。弗雷命題如果得證，費(fèi)馬大定理就與谷山—志村猜想等價(jià)。

1986年，英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯聽到肯·里貝特證明弗雷命題后，感到攻克費(fèi)馬大定理到了最后攻關(guān)階段，并且這剛好是他的研究領(lǐng)域。他開始放棄其他所有活動(dòng)，精心梳理有關(guān)領(lǐng)域的基本理論，花了一年半時(shí)間把橢圓曲線與模形式通過(guò)伽羅瓦表示方法“排隊(duì)”。接下來(lái)要將兩種排隊(duì)序列對(duì)應(yīng)配對(duì)，這一步他花了兩年時(shí)間卻無(wú)進(jìn)展。此時(shí)他攻讀博士學(xué)位時(shí)學(xué)的巖澤理論一度取得實(shí)效。1991年，他的博士導(dǎo)師科茨告訴他，有位叫弗萊切的學(xué)生用蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有了重大進(jìn)展。

1993年6月，在劍橋牛頓學(xué)院的一次學(xué)術(shù)會(huì)議上，懷爾斯以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。聽完演講，人們意識(shí)到谷山—志村猜想已經(jīng)被證明。由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯·里貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山—志村猜想聯(lián)合起來(lái)就可說(shuō)明費(fèi)馬大定理成立。其實(shí)這三個(gè)猜想每一個(gè)的證明都非常困難，懷爾斯的證明，成為完成費(fèi)馬大定理證明的最后一棒。至此，費(fèi)馬大定理經(jīng)過(guò)眾多數(shù)學(xué)家從特殊情形出發(fā)，一步一步推廣到一般情況，最后在橢圓曲線的幫助下，終于被證明了。

一個(gè)定理的證明歷經(jīng)多年，凝結(jié)了眾多數(shù)學(xué)家的心血。由解題展開，聯(lián)系數(shù)學(xué)文化，學(xué)生可以體會(huì)到數(shù)學(xué)不是“冷冰冰”的形式化的表述和推理，而是背后都蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)文化，有著“火熱的思考”。

邵東縣一中）