時(shí)滯廣告量-購物水平模型穩(wěn)定性和Hopf分支研究

王曉紅，翟延慧，郭 偉

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300387；2. 天津科技大學(xué) 生物工程學(xué)院，天津 300457)

時(shí)滯廣告量-購物水平模型穩(wěn)定性和Hopf分支研究

王曉紅1，翟延慧1，郭 偉2

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300387；2. 天津科技大學(xué) 生物工程學(xué)院，天津 300457)

討論了具有時(shí)滯的廣告量-購物水平模型的穩(wěn)定性和Hopf分支.應(yīng)用Hopf分支理論和泛函微分方程方法研究了該模型的線性穩(wěn)定性和局部Hopf分支.把時(shí)滯變量當(dāng)做分支參數(shù)，利用規(guī)范型理論和中心流形定理給出了確定分支方向及分支周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式，且通過數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)論的有效性.

廣告量-購物水平模型；時(shí)滯；Hopf分支；穩(wěn)定性

1 模型的建立

許多學(xué)者致力于廣告量-購物水平模型的研究.在文獻(xiàn)[1]中王樹禾構(gòu)建了傳統(tǒng)的廣告量-購物水平模型，文獻(xiàn)[2-3]對一些經(jīng)濟(jì)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.然而，僅有少數(shù)對具有時(shí)滯的廣告量-購物水平模型進(jìn)行分析.首先引入傳統(tǒng)的廣告量-購物水平模型.

D·(t)=α(X0-x(t))+βy(t)(Y0-y(t)),

y·=γ(X0-x(t))

(1)

其中:x(t)表示t時(shí)刻的購物水平，y(t)表示t時(shí)刻的廣告量.X0是最大購物水平，Y0是最大廣告量.α,β,γ是常數(shù).考慮到實(shí)際生活中，廣告的效果受到社會、經(jīng)濟(jì)、文化、時(shí)空、地域等多種因素和條件的制約，并且消費(fèi)者的反應(yīng)程度是很不一致的，所以廣告效果的獲得具有時(shí)間推移性，即通常所說的時(shí)滯τ.商家從獲得消費(fèi)者購買信息到調(diào)整廣告量需要一定的時(shí)間，也就是廣告量的調(diào)整滯后于消費(fèi)者的購買.因此，本文對模型(1)引入時(shí)滯，得到具有時(shí)滯的一類廣告量-購物水平模型如下：

x·(t)=α(X0-x(t))+βy(t)(Y0-y(t)),

y·=γ(X0-x(t-τ))

(2)

2 穩(wěn)定性和局部Hopf分支分析

根據(jù)模型的實(shí)際意義，這里僅對模型(2)唯一的正平衡點(diǎn)E=(X0,Y0),討論其Hopf分支及穩(wěn)定性問題.

令u1(t)=x(t)-X0，u2(t)=y(t)-Y0，將系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E處線性化后得到線性系統(tǒng)如下：

u·1(t)=-αu1(t)-βY0u2(t),

u·2(t)=-γu1(t-τ)

(3)

系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E處特征方程為

λ2+αλ-βY0γe-λτ=0

(4)

為了研究系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E的穩(wěn)定性和分支，我們只需要討論特征方程(4)的根的分布即可，若方程(4)的所有根都有負(fù)實(shí)部則平衡點(diǎn)E穩(wěn)定，若方程有一個(gè)根含有正實(shí)部則平衡點(diǎn)E不穩(wěn)定.首先考慮單時(shí)滯τ=0的情況，此時(shí)特征方程(4)為：

λ2+αλ-βY0γ=0

(5)

很容易得出當(dāng)且僅當(dāng)(H1)α>0,βγ<0成立，特征方程的所有根都有負(fù)實(shí)部，因此平衡點(diǎn)E局部漸近穩(wěn)定.接下來，觀察隨著時(shí)滯τ值的增大，特征方程(5)某些特征根的實(shí)部是否會增加至零，甚至變?yōu)檎?

當(dāng)τ>0，假設(shè)λ=iω(ω>0)是特征方程(4)的一個(gè)解，當(dāng)且僅當(dāng)ω滿足

-ω2+iωα-βY0γ(cosωτ-isinωτ)=0

分離實(shí)部和虛部，得到

-ω2=βY0γcosωτ

-αω=βY0γsinωτ

(6)

令A(yù)=βY0γ,v=ω2從而有v2+α2-A0=0等式有一個(gè)正實(shí)根v=-α2+α4+4A22，因此可以得到

τk=1ω[arccos-ω2A+2kπ],k=0,1,2,…. .

為了確定τk是否是分支值，我們需要驗(yàn)證如下橫截條件是否成立.

引理1 若條件(H1)成立，橫截條件Re(dλ-1dτ)>0成立.

證明：特征方程(4)對τ求導(dǎo)得出：

dλdτ=-λAe-λτ2λ+α+τAe-λτ,

顯然我們可以得出Re(dλdτ)-1>0，證畢.根據(jù)文獻(xiàn)[4]中Hopf分支存在定理，可得到下列結(jié)論.

引理2對方程(5)，如果(H1)成立，當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，正平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的，且在τ=τk處正平衡點(diǎn)產(chǎn)生Hopf分支.

3 Hopf分支方向和周期解的穩(wěn)定性

上一節(jié)中論述了Hopf分支產(chǎn)生的條件，本節(jié)將通過文獻(xiàn)[5-6]的規(guī)范性理論和中心流行定理研究當(dāng)Hopf分支理論的條件得到滿足時(shí)，給出關(guān)于確定Hopf分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式，同時(shí)提供一種研究周期解存在性和穩(wěn)定性的方法.

這里τ=τ0+μ，μ∈R，t=sτ，ui(t)=ui(tτ),i=1,2,為了記號方便，仍用ui(t)表示ui(t).系統(tǒng)(2)等價(jià)于抽象常微分方程

u·(t)=Lμ+F(μ,ut).

(7)

其中Lu(φ)=(τ0+μ)B1φ(0)+(τ0+μ)B2φ(-1),B1=-αβY0

00,B2=00

-γ0，且F(μ,φ)=(τ0+μ)-βφ2(0)

0.Lμ為C([-1,0],R3)→R3的有界線性算子且φ(θ)=(φ1(θ),φ2(θ))T∈C([-1,0],R3).

由Riesz表示定理知存在有界變差函數(shù)η(θ,μ):[-1,0]→R3×3使得

(8)

事實(shí)上我們選取

η(θ,μ)=B1δ(θ)+B2δ(θ+1)

(9)

這里δ(θ)是一個(gè)Delta函數(shù).對φ∈C′([-1,0]R2)定義算子A和R如下：

A(μ)φ(θ)=d(φ(θ))dθ,θ∈[-1,0),

(10)

R(μ)φ(θ)=0,θ∈[-1,0),

F(μ,φ),θ=0.

(11)

則系統(tǒng)(7)可以寫成如下形式：

u·t=A(μ)ut+R(μ)ut

(12)

令φ∈C′([0,1],(R2)*),與A(0)相應(yīng)的共軛算子A*(0)被定義如下：

A*φ(s)=-dφ(s)ds,s∈(0,1],

(13)

對φ∈C′([-1,0],R2)和φ∈C′([0,1],(R2)*)，定義雙線性形式：

(14)

假設(shè)q(θ)和q*(s)分別是A與A*的特征值iτ0和-iτ0ω相對應(yīng)的特征向量.那么A(0)q(θ)=iτ0ωq(θ),A*(0)q*(s)=-iτ0ωq*(s)再根據(jù)A(0),A*(0)的定義，得到了A(0)q(θ)=dq(θ)dθ,A*(0)q*(s)=-dq*(s)ds則，q(θ)=q)0)eiτ0ω0θ，q*(s)=q*(0)eiτ0ω0s且

(15)

(16)

-α-βY0

-γe-tωτ00=1

q2=iω1

q2,-α-γe-iωτ0

-βY001

接下來，將利用Hassard[7]等人提出的計(jì)算方法在γ=0時(shí)，在中心流行C0上構(gòu)建坐標(biāo)，

z(t)=〈q*,ut〉,W(t,θ)=ut(θ)-2Re{z(t)q(θ)}

(17)

在中心流行C0上，我們有

W(t,θ)=W(z(t),z(t),θ)

(18)

這里(z,z,θ)=W20(θ)z22+W11(θ)zz+W02(θ)z-22+….

對中心流行C0，z和z分別是中心流行在q和q*方向上的局部坐標(biāo).我們僅考慮實(shí)解的情況，由μ=0，

(19)

這里

f0(z,z)=fz2z22++fz2z-22+fzzzz+…,

(20)

將式(19)縮寫為如下形式

z′(t)=iω0z+g(z,z),

(21)

其中

g(z,z)=g20z22+g11zz+g02z22+…,

(22)

由式(17),(18)可得

W·=u·t-z·q-z·-q=A(0)W-2Req*(0)F0(z(t),z(t))q(θ),θ∈[-1,0),

A(0)W-2Req*(0)F0(z(t),z(t))q(θ)+F0,θ=0.

(23)

這里

H(z,z,θ)=H20(θ)z22+H11(θ)zz+H02(θ)z22+…

在中心流行C0中，將式(17)和(23)代入W·=Wzz·+Wzz·-，比較系數(shù)可得

H20(θ)=2iτ0ωW20(θ)-A(0)W20(θ),

H11(θ)=-A(θ)W11(θ)

由A的定義和(22)、(23)可以推導(dǎo)出如下方程：

W·20(θ)=2iωτ0W20(θ)-A(0)g20q(θ)+g20q(θ),

W·11(θ)=g11q(θ)+g11q(θ).

求解W20(θ)和W11(θ)得出

W20(θ)=ig20τ0ωq(0)e-iτ0ωθ+ig023τ0ωq(0)e-iτ0ωθ+E1e2iτ0ωθ

W11(θ)=-ig11τ0ωq(0)eiωτ0θ+ig11τ0ωq(0)eiωτ0θ+E2.

H(z,z,0)=-2Re[q*(0)F0q(θ)]=-g(z,z)q(θ)-g(z,z)q(0)

H11(0)=-g11q(0)-g11q(0)+τ0(-2βq2q2,0)T

(24)

由式(19)～(24)計(jì)算得到

E1=2iω+αβY0

γe-2iωτ02iω0-12 1

-γeiω0τ0iω0,

E2=-α-βY0

γe-iω0τ00-1-2βq2q2

0

接下來我們在臨界值τ0處確定Hopf周期解的性質(zhì)的幾個(gè)重要值：

C1(0)=i2τ0ω(g20g11-2|g11|-13|g02|2)+g212

μ2=-Re{C1(0)}Re{λ′(τ0)}

β2=2Re{C1(0)}

T2=-Im{C1(0)}+μ2(Im{λ′(τ0)})ω

由文獻(xiàn)[8]可知μ2決定了Hopf分支的方向，如果Re{C1(0)}<0(>0)，當(dāng)τ=τ0時(shí)系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E處的分支周期解存在.若μ2>0(μ2<0)分支方向是前向(后向)的，即分支周期解存在于τ0的右側(cè)(左側(cè))；若β2<0(β2>0)則在中心流行上的分支周期解是漸進(jìn)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的.若T2>0(T2<0)則分支周期解的周期是遞增(遞減)的.特別的，當(dāng)τ0時(shí)第一個(gè)或是最后一個(gè)分支值(τ1或τm)時(shí)，原系統(tǒng)的分支周期解的穩(wěn)定性與它對應(yīng)在中心流行上的周期解的穩(wěn)定性相同.

4 數(shù)值模擬

我們需要通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整最大購物水平X0來保證廣告量的投入在正常范圍內(nèi)，因此選擇如下參數(shù)通過數(shù)值模擬驗(yàn)證上述研究結(jié)果的可靠性.令α=2.3,β=-1,γ=0.33且X0,Y0=2.5.從而平衡點(diǎn)E=(4,2.5).計(jì)算得，ω≈0.354 509,τ0≈3.999 52由以上結(jié)論可知：當(dāng)τ=6.25>τ0時(shí)，平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的，如圖1所示.當(dāng)，系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支，如圖2所示.當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，如圖3所示.數(shù)值模擬展示了系統(tǒng)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的復(fù)雜的變換過程.

圖1 τ=3<τ0的相圖及時(shí)程圖

圖2 τ=3.999 52=τ0的相圖及時(shí)程圖

圖3 τ=6.52>τ0的相圖及時(shí)程圖

5 結(jié) 語

本文的主要貢獻(xiàn)在于以下幾個(gè)方面：第一，修改了傳統(tǒng)的廣告量-購物水平模型，建立了具有雙時(shí)滯的微分方程廣告量-購物水平模型.第二，研究了系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性和Hopf分支，此外，利用規(guī)范性理論和中心流行定理得到了計(jì)算Hopf分支方向和周期解穩(wěn)定性的公式和判別方法.最后，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論的科學(xué)性.

前面的論證對進(jìn)一步研究做好了準(zhǔn)備工作，還有許多未開發(fā)的理論需要進(jìn)一步探索.影響消費(fèi)者購買量的還有居民的消費(fèi)水平、物價(jià).消費(fèi)者的購買水平是有限的，所以購買量不可能隨著廣告量無限制的增漲，可以修改購物水平函數(shù)的線性分式函數(shù)，從而建立新的更準(zhǔn)確的描述廣告量-購物水平之間關(guān)系的函數(shù).本文的研究結(jié)果可作為數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和商業(yè)管理的定性分析的工具，為以后的研究做好鋪墊.

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Study on Hopf bifurcation and stability for advertising-shopping level model with delay

WANG Xiao-hong1, ZHAI Yan-hui1, GUO Wei2

(1. School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China; 2. School of Biological Engineering, Tianjin University of Science & Technology, Tianjin 300457, China)

The model of Hopf bifurcation of advertising-shopping and stability with time delay was studied. By applying of the theory of hopf bifurcation and functional differential equation method, this paper discussed the linear stability of the model and the local Hopf bifurcation. The time delay was considered as a bifurcation parameter. By using the normal form theory and center manifold methods, the calculation formula was obtained for determining direction of Hopf bifurcations and bifurcating periodic solution stability. The numerical simulation showed the effectiveness of the conclusion.

advertising-shopping level model; time delay; Hopf bifurcation; stability

2016-03-19.

王曉紅(1990-)，女，碩士，研究方向：微分方程動力系統(tǒng).

O193

A

1672-0946(2017)01-0102-05