不同版本教科書“橢圓”內(nèi)容設(shè)置的比較研究

☉廣東省東莞市第七高級中學(xué)藍(lán)小軍

不同版本教科書“橢圓”內(nèi)容設(shè)置的比較研究

☉廣東省東莞市第七高級中學(xué)藍(lán)小軍

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，體現(xiàn)了解析方法和代數(shù)方法在刻畫平面曲線方面的強(qiáng)大作用，是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要素材，它的許多幾何性質(zhì)廣泛應(yīng)用于生活、生產(chǎn)以及科學(xué)技術(shù)中．而橢圓內(nèi)容的學(xué)習(xí)能夠為后續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線的內(nèi)容提供基本模式和理論基礎(chǔ)，具有重要的作用．為了使教師能更好地把握教材，提高橢圓部分的教學(xué)效果，本文擬對由北京師范大學(xué)出版社、人民教育出版社（A版）、江蘇教育出版社、湖南教育出版社（以下分別簡稱北師大版、人教A版、蘇教版、湘教版）中橢圓的內(nèi)容編排設(shè)置進(jìn)行對比研究，希望能對一線老師能有所幫助．

一、橢圓內(nèi)容的總體設(shè)計

對4套數(shù)學(xué)普通教科書橢圓內(nèi)容的總體設(shè)計比較，具體見表1.

表14套教科書橢圓內(nèi)容的總體設(shè)計

湘教版第二章圓錐曲線與方程§ 2 . 1橢圓2 . 1 . 1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2 . 1 . 2橢圓的簡單幾何性質(zhì)生活中的圓錐曲線→實驗→橢圓的定義→橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程→橢圓的幾何性質(zhì)實驗→學(xué)而時習(xí)之→溫故而知新

4套教材分別在既遵循新課標(biāo)設(shè)計理念，以新穎的角度和手法呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的同時，又不失自己獨特的一面．

1.章節(jié)結(jié)構(gòu)的比較

由表1可知，在文科數(shù)學(xué)中，4套教科書都將《橢圓》的內(nèi)容安排在選修1-1中，在三個圓錐曲線中都是第一個講授，都注重聯(lián)系實際，注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識探究，引導(dǎo)學(xué)生對概念的內(nèi)涵、外延的討論以加深對橢圓概念的理解，而且都是把本節(jié)內(nèi)容分成兩小節(jié)，前一小節(jié)主要是橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，后一小節(jié)主要是學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)．在各個版本的教科書上圓錐曲線這章的內(nèi)容順序的編排上有所不同，蘇教版是先橢圓之前已經(jīng)把橢圓、雙曲線、拋物線三個概念給出，再來具體研究橢圓，而其他版本教材則是直接由實驗得出橢圓的定義．雖然在章節(jié)結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)上有所不同，但各個版本都將《課程標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)計理念融于教材編寫之中，體現(xiàn)了新課程改革的要求．

2.教學(xué)內(nèi)容的比較

（1）相同的地方有：

①4套教科書都推導(dǎo)了焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再通過類比的方法得到焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

②在編寫橢圓的性質(zhì)時，都遵循了“范圍→對稱性→頂點→離心率”這四個部分的編寫順序．

（2）不同的地方有：

①對于橢圓定義中焦距在北師大版中用了F1F2，而其他版本教材中都用了|F1F2|.

②對于橢圓定義中為什么常數(shù)要大于焦距在北師大版中用了“思考交流”；而其他版本教材中沒有這方面的介紹或設(shè)問，而是直接給出.

③在講到利用平面直角坐標(biāo)系研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，人教A版提到“類比圓的對稱性建立圓的方程的過程，我們根據(jù)橢圓的幾何特征選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立它的方程”，而其他版本教材都沒有提及為什么要這樣建系，都是直接以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

④較之其他版本教材，北師大版的教材提出了幾個“思考交流”的問題，如“如何用幾何圖形解釋b2=a2-c2？a，b，c在橢圓中分別表示哪些線段的長？”，湘教版亦在相應(yīng)位置加入了旁白或注解等，這些都使得教材在內(nèi)容設(shè)計上顯得更為豐富和完整.

⑤在借助離心率刻畫橢圓扁平程序時，北師大版只是作為“思考交流”觀察圖，當(dāng)a為定值時，橢圓的形狀的變化與c有怎樣的關(guān)系？蘇教版則作為“探究”內(nèi)容：固定焦點，經(jīng)過改變繩子的長度，觀察橢圓的扁平程度來判斷；人教A版則是通過保持半長軸長不變，改變半焦距來刻畫橢圓的扁平程度；而湘教版則是在保持細(xì)繩長度不變的情況下，通過改變點F1，F(xiàn)2的位置，觀的變化情況來反映橢圓的扁平程度．

⑥湘教版在提出長軸及短軸后又相繼提出長半軸和短半軸的概念，它在每小節(jié)內(nèi)容開始前都設(shè)置了一個數(shù)學(xué)小實驗，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實驗的重要性，這是其他版本教材所沒有的．而且湘教版教材在橢圓這節(jié)內(nèi)容的編寫中也是用了最多頁面的．

3.設(shè)計意圖的比較

4種版本的教材基本上都是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過圓錐曲線之一——圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)基礎(chǔ)上，通過直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認(rèn)識入手，操作確認(rèn)，逐步上升到理性認(rèn)識，進(jìn)而形成正確的橢圓定義，然后再通過建系、設(shè)點、列式、化簡等推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再通過類比的方法得到了焦點在另一個坐標(biāo)軸上時的標(biāo)準(zhǔn)方程，為后續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線奠定的良好的基礎(chǔ)．

相較于其他版本教材，蘇教版設(shè)置了更為豐富的數(shù)學(xué)活動欄目，這些欄目既能開闊學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探究能力．

二、橢圓內(nèi)容的具體設(shè)置

1.概念的呈現(xiàn)方式

綜觀各種教科書，基本上都是通過創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置實例（或?qū)嶒灒?，充分調(diào)動學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—證明—應(yīng)用”的過程，發(fā)現(xiàn)新的知識，又通過實際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識得到完善，提高學(xué)生動手動腦的能力和增強(qiáng)研究探索的綜合素質(zhì)．

表2各套教科書橢圓概念的呈現(xiàn)方式

4個版本的教材都是現(xiàn)實生活中形似的橢圓模型作為概念的準(zhǔn)備階段，再通過實驗的形式畫出橢圓的圖像，提煉出橢圓的概念，遵循了“適度形式化”的課程理念，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得“形式化”有了感性的基礎(chǔ)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)，深化了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，到具體的環(huán)節(jié)又有一些不同的地方：

（1）北師大版教材在引言中用平面去截圓錐，由于截面與圓錐軸夾角的不同，引出了圓錐曲線的概念，并根據(jù)問題的難易情況和學(xué)生的認(rèn)知水平，在正式章節(jié)中先畫了個圓的軌跡，再用固定繩子的兩端，用筆尖套住繩子畫橢圓，既能使學(xué)生把新知識與舊知識進(jìn)行對比，經(jīng)歷概念的形成過程，又能使其從整體上認(rèn)識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化能力及強(qiáng)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

（2）人教A版、蘇教版則是通過用固定繩子兩端，套上并移動筆尖，畫出軌跡，在這個過程中，細(xì)繩的長度保持不變的基礎(chǔ)上提出了橢圓的概念．

（3）湘教版在用筆尖套住繩子畫橢圓軌跡前先用6個不同實驗，觀察得出了圓、橢圓、雙曲線和拋物線的圖像，再在這個基礎(chǔ)上用筆尖套住細(xì)線畫出了橢圓．

2.例題設(shè)置的差異

4套教科書都在知識內(nèi)容出現(xiàn)后編排了數(shù)道例題，以達(dá)到對知識內(nèi)容的應(yīng)用和鞏固、直到示范的作用．4套教科書例題的統(tǒng)計情況如表3所示（統(tǒng)計方法說明：按教材中有“例”的為準(zhǔn)，凡有小題號的每個小題號按一題計算）．

表3各套教科書例題數(shù)量統(tǒng)計

從表3中可以看出，各版本教材的例題數(shù)量差異較大，如湘教版的例題數(shù)就是北師大版與蘇教版例題數(shù)量之和，比人教A版與蘇教版例題加在一起還多2道，教師在使用湘教版教材時需要處理好課時與進(jìn)度之間的關(guān)系．從例題設(shè)置的類型特點來看：北師大教材中例題的編排以對新知識的練習(xí)鞏固為主，也有涉及到對新知識的說明和引入，遵循了“從生活到數(shù)學(xué)”、“從簡單到復(fù)雜”的規(guī)律；人教A版教材主要是對新知識的鞏固練習(xí)和應(yīng)用；蘇教版的例題既注重新知識的引入，又注重練習(xí)的鞏固，對新知識的實際應(yīng)用也有充分的體現(xiàn)，但其例1是直接以橢圓為背景的“應(yīng)用題”命題內(nèi)容涉及面廣，可能對于剛學(xué)橢圓知識的學(xué)生可能會產(chǎn)生一定的負(fù)面影響；而湘教版在例題形式相對比較單一、傳統(tǒng)，其中把橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)作為例1來證明的教材和在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中出現(xiàn)了一道通過討論直線與橢圓的位置關(guān)系來求參數(shù)取值范圍的題目，這都是其他三種教材所沒有的，但它的有些例題顯得有些過時，與當(dāng)下多樣的高考試題尚有一定差距．

3.習(xí)題設(shè)置的差異

為敘述的方便，這里的“習(xí)題”是練習(xí)、習(xí)題的統(tǒng)稱．“習(xí)題”是數(shù)學(xué)教材不可或缺的部分，讓學(xué)生做相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，對于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識是必要的．表4從結(jié)構(gòu)層次和數(shù)量兩個方面統(tǒng)計了4套教科書的習(xí)題編排情況（習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計說明：以教科書中有明確題號的題目為準(zhǔn)，有小題號的每道小題按1道題目來計算）．

表4各套教科書習(xí)題統(tǒng)計表

每套教科書的習(xí)題編排特點如下：

（1）北師大版：習(xí)題數(shù)量共有27道題．從習(xí)題內(nèi)容來看，每一個或兩個知識后安排一次練習(xí)，每道習(xí)題緊扣本知識點的內(nèi)容及例題，注重學(xué)生的鞏固和練習(xí)；本節(jié)內(nèi)容后安排的一次分為A、B組的梯度習(xí)題，其中A組題注重基礎(chǔ)知識的練習(xí)鞏固，是對練習(xí)題的加強(qiáng)的擴(kuò)充，而B組題則注重加深推廣，重在考查學(xué)生對新知識的應(yīng)用能力．

（2）人教A版：習(xí)題數(shù)量在4套教科書中最少的．習(xí)題的編排較例題難度有所加大，有些題型在前面例題中并未出現(xiàn)，注重鍛煉學(xué)生的思維能力；與北師大版一樣，也在本節(jié)內(nèi)容后安排一次A、B組習(xí)題，題目由易到難．另外“思考”、在適當(dāng)位置的旁白、“探究與發(fā)現(xiàn)”等注重啟發(fā)學(xué)生探索，有利于知識間的過渡，總體安排得當(dāng)有序．

（3）蘇教版：習(xí)題數(shù)量是4套教科書中最多的，共有68道題，這與其將橢圓習(xí)題部分編排為“感受·理解、思考·運用、探究·拓展”三個部分有關(guān)．從習(xí)題內(nèi)容來看，也是每一個或兩個知識點后安排一次練習(xí)，每道練習(xí)題都是緊扣本知識點的內(nèi)容及例題，注重學(xué)生的鞏固和練習(xí)；每節(jié)安排一次習(xí)題，分為“感受·理解”、“思考·運用”、“探究·拓展”三個層次，其中“感受·理解”中的題目注重基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，“思考·運用”注重深化學(xué)生對新知識的理解，而“探究·拓展”則是對學(xué)有余力的學(xué)生提供富有挑戰(zhàn)性的問題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這樣的編排既有利于教師對習(xí)題的把握，也有利于學(xué)生對自己的具體分層評價．但也因為其數(shù)量過多，所以教師在選取時必須要作適當(dāng)?shù)膭h減．

（4）湘教版：習(xí)題數(shù)量不多，整體難度不高．習(xí)題設(shè)置為“學(xué)而時習(xí)之”和“溫故而知新”兩個層次，其中“學(xué)而時習(xí)之”為基礎(chǔ)知識回顧與鞏固，“溫故而知新”較之“學(xué)而時習(xí)之”題組難度有所增加，利于學(xué)生逐漸掌握知識，但其習(xí)題的探究性、開放性、操作性題型明顯不足，難以滿足實際教學(xué)的需要，勢必拉大平時作業(yè)難度與測試難度之間的差距，因此教師可以根據(jù)實際教學(xué)的需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充．

三、總結(jié)

通過比較可以看出，4套教科書都是按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念和基本要求來選擇和組織教學(xué)內(nèi)容的，是對《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”所涉及的基礎(chǔ)知識的全面體現(xiàn)，教材內(nèi)容相似度較高，但各版教材又同中有異，各有特點．

北師大版教材設(shè)置欄目種類較多，形式多樣，難度適中，并且注重學(xué)生的運用實踐和自主探索能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維．

人教A版教材以本節(jié)開頭提出的實際問題貫穿橢圓內(nèi)容的始終，強(qiáng)調(diào)橢圓在實際生活中的應(yīng)用；在適當(dāng)位置加入旁白來對課本內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忉尯驼f明的做法，有利于學(xué)生更好地理解和學(xué)習(xí)．

蘇教版教材編排注重基礎(chǔ)，通俗易懂，題型廣泛，習(xí)題編排層次性較強(qiáng)，讓大部分同學(xué)都能“跳一下摘桃子”．

湘教版教材引用的例子涉及面較廣，既注重新知識引入，又注重練習(xí)鞏固，充分發(fā)揮其作用．

教材編寫的立意、呈現(xiàn)方式等都能體現(xiàn)教材編者對數(shù)學(xué)教學(xué)的一種理想追求，但對比現(xiàn)實教學(xué)的時候就難免出現(xiàn)一些與高中教學(xué)實際情況相脫節(jié)的地方．綜觀4套版本教材對“橢圓”部分內(nèi)容的設(shè)置各有優(yōu)點，有許多相互借鑒的地方．教師在使用教材教學(xué)的同時也應(yīng)該了解其他版本的教材的優(yōu)點，結(jié)合本地區(qū)、本學(xué)校、本班級，在教學(xué)過程中根據(jù)實際教學(xué)環(huán)境需要、參考其他教材的處理方式和例習(xí)題等內(nèi)容，對教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹亟M、完善和刪減，適當(dāng)?shù)?，以期最大限度地發(fā)揮不同版本教材的優(yōu)勢，真正做到用教材而不是教教材．

1.中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］．北京：人民教育出版社，2007.

2.李延林，汪香志．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.鐘勁松．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書［M］．長沙：湖南教育出版社，2011.

4.蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書［M］．南京：江蘇教育出版社，2013.

5.李英．高中不同版本教科書“指數(shù)函數(shù)”內(nèi)容設(shè)置的比較研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011（10）.G