量詞與命題的否定

黃旭東

考綱要求，理解由量詞構(gòu)成的全稱命題與特稱命題的定義，掌握常見命題的否定及含有一個量詞的命題的否定. 高考常見題型為全稱命題與特稱命題的否定及利用命題否定結(jié)合化歸思想進(jìn)行求參，或?qū)σ恍┥婕胺穸ㄐ缘拿}與一些較難直接證明的命題利用命題的否定進(jìn)行反證.

涉及量詞的全稱命題與特稱命題的判斷

例1 下列詞句，其中全稱命題有_________；特稱命題有___________（寫出所有符合的命題序號）

①所有炎黃子孫都懷揣“中國夢”.

②凡是“適齡”兒童都要接受九年義務(wù)教育.

③至少有一個整數(shù)[x0，]使[lnx0>0].

④[?x∈R， ax>0（a>0且a≠1）].

⑤存在一個向量方向不定.

⑥方程[x2+x+1=0]無解.

⑦驚濤拍岸，滾滾長江東逝水的古老長江是多么雄偉壯觀呀！

⑧有一個對角線互相垂直的四邊形不是菱形.

解析 全稱命題有①②④⑥. 含有全稱量詞的命題稱為全稱命題. ①中含有“所有”，②中含有“凡是”， ④中含有“任意”，這幾個都為全稱量詞，故命題為全稱命題. 而⑥中省略了全稱量詞，可化為“[?x∈R，]方程[x2+x+1=0]無解”，故命題也為全稱命題. 特稱命題有③⑤⑧. 含有存在量詞的命題稱為特稱命題. ③中含有“至少”，⑤中含有“存在”，⑧中含有“有”，這幾個都是存在量詞，故命題為特稱命題. 而⑦為感嘆句，不是命題.

答案 ①②④⑥ ③⑤⑧

點評 全稱命題與特稱命題的判別，需掌握以下要求：含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，含有存在量詞的命題稱為特稱命題；全稱量詞主要有“所有”“凡是”“任意”“一切”等，存在量詞主要有“存在”“至少”“有些”“某些”“有”等.

命題的否定

1. 不含量詞的命題的否定

例2 下列說法，正確的序號為______.

①命題“若[x2-x-2=0，]則[x=2， 或x=-1]”的否定為“若[x2-x-2=0，] 則[x≠2， 或x≠-1]”.

②命題“若[a2+b2+c2=0，則a=0，b=0，c=0]” 的否定為“若[a2+b2+c2=0，][則a≠0，b≠0，c≠0]”.

③命題“若[ab=0，則a=0，或b=0]”的否定為“若[ab≠0，則a≠0且b≠0].

④命題“若[x∈A，且x∈B，則x∈A?B]”的否定為“若[x∈A，且x∈B，則x?A?B]”.

解析 ①不正確，注意“或”的否定為“且”，其否定應(yīng)為“若[x2-x-2=0，]則[x≠2， 且x≠-1]”. ②不正確，注意此題實際上省略了“且”，故否定時應(yīng)變?yōu)椤盎颉?，其否定?yīng)為“若[a2+b2+c2=0，則a≠0， 或b≠0， 或c≠0]”. ③不正確，此錯誤將“命題的否定”與“否命題”混淆，命題否定只否定結(jié)論，而否命題條件與結(jié)論都應(yīng)進(jìn)行否定，應(yīng)為“若[ab=0， 則a≠0， 且b≠0]”. ④正確，符合命題的否定的定義.

答案 ④

點評 對不含量詞的命題的否定，應(yīng)掌握以下幾點. （1）注意“命題的否定”與“否命題”的區(qū)別，命題的否定只否定結(jié)論，而否命題對條件與結(jié)論都應(yīng)進(jìn)行否定. （2）注意一些常見詞的否定詞，其中重點注意：“都是”的否定為“不都是”，不應(yīng)錯為“都不是”；“或”否定應(yīng)為“且”，“且”的否定應(yīng)為“或”，不應(yīng)在改寫否定時產(chǎn)生“遺忘”而漏改或認(rèn)為沒有必要改.

2. 含一個量詞的命題的否定

例3 命題“[?x∈R，?n∈N*]，使得[x2≤n≤ex]”的否定形式是（ ）

A. [?x∈R，?n∈N*]，使得[nex]

B. [?x∈R，?n∈N*]，使得[nex]

C. [?x∈R，?n∈N*]，使得[ex

D. [?x∈R，?n∈N*]，使得[nex]

解析 將“?”改成“?”， “?”改成“?”，“[x2≤n≤ex]”其等價于“[x2≤n， 且n≤ex]”，則其否定為“[nex]”，則[?p：][.?x∈R，?n∈N*]，使得[nex].

答案 D

點評 對含有量詞的命題進(jìn)行否定，需注意：（1）全稱命題的否定為特稱命題，特稱命題的否定為全稱命題. （2）改寫時，按兩個步驟進(jìn)行：①將存在（全稱）量詞改寫成全稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定.

不易直接解決的或一些否定性命題的問題

例4 （1）反證法的實質(zhì)為先假設(shè)原命題[p]的否定[?p]成立，再通過邏輯推理推出與已知條件或定理或公理矛盾，從而得出原命題成立的一種證明方法. 在用反證法證明命題“三角形三內(nèi)角至少有一個不大于[60°]”時，應(yīng)先假設(shè)（ ）

A. 三個內(nèi)角都不大于[60°]

B. 三個內(nèi)角都大于[60°]

C. 三個內(nèi)角至多有一個大于[60°]

D. 三個內(nèi)角至多有兩個大于[60°]

（2）已知函數(shù)[f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），]若[?x1∈-1，2，?x2∈-1，2]，使得[f（x1）≠g（x2），]則實數(shù)[a]的取值范圍是（ ）

A. [0，12] B. [12，3]

C. [0，3] D. [3，+∞]

解析 （1）由反證法定義知，先反設(shè)其結(jié)論成立，即[?p]成立，此命題為特稱命題，其否定為全稱命題. “至少有一個”的否定為“都”，“不大于”的否定為“大于”，故先假設(shè)成立的命題為“三個內(nèi)角都大于[60°]”.

（2）由于原命題[p]為否定性命題，直接求解較麻煩，考慮“正難則反”，先求[?p]，變成肯定性命題，解決后再求其補(bǔ)集即可. [?p]命題為“函數(shù)[f（x）=x2-2x，][g（x）=ax+2（a>0），]若[?x1∈-1，2，?x2∈-1，2]，使得[f（x1）=g（x2）”].

由題意知，[?p]命題等價于“[?x1∈-1，2，][?x2∈-1，2， 方程f（x1）=g（x2）]恒成立”.

設(shè)[f（x）在-1，2上的值域為A，g（x）]在[x∈-1，2]上的值域為[B]，

則[?p]命題又等價于“[x∈-1，2]時，[f（x）]的值域[A]是[g（x）]的值域[B]的子集”.

因為[f（x）=x2-2x=x-12-1，x∈-1，2]，

則[A=f（x）|-1≤f（x）≤3].

又[a>0]，故函數(shù)[g（x）]為增函數(shù).

則[B=g（x）|2-a≤g（x）≤2+2a].

又[A?B]，則[2-a≤-1，2+2a≥3.]解得，[3≤a].

故原命題[p]成立，則[a∈0，3].

答案 （1）B （2）C

點評 遇到一些不易直接解決的問題或涉及否定性命題時，可考慮“正難則反”的方法，即將原命題進(jìn)行否定，先解決[?p]，再由[p與?p]的真假相反的性質(zhì)，得到我們所需要的結(jié)論. 一般有兩種類型：①涉及不易直接解決的或否定性的證明題，考慮反證法，即先設(shè)其命題否定為真，最后推出矛盾，從而得出原命題結(jié)論成立；②涉及不易直接解決的或否定性的含參范圍問題，可先求[?p]命題的參數(shù)范圍[A]，則原命題[p]范圍即為[A]的補(bǔ)集.