向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

◆劉 戀

向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

◆劉 戀

向量是高中階段應(yīng)用性較強(qiáng)的知識(shí)內(nèi)容，被廣泛運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是重要的解題手段，同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)串聯(lián)，有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性構(gòu)建。所以，高中學(xué)生加強(qiáng)對(duì)向量知識(shí)的運(yùn)用學(xué)習(xí)是十分重要的。本文簡(jiǎn)要的對(duì)向量知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題解決中的應(yīng)用進(jìn)行分析，以期為提高高中學(xué)生的解題能。

向量；高中數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用分析

一、向量知識(shí)在線性規(guī)劃問(wèn)題中的應(yīng)用

向量知識(shí)在線性規(guī)劃問(wèn)題中的應(yīng)用主要是就相關(guān)向量的數(shù)量積進(jìn)行分析，并把z=ax+by的目標(biāo)函數(shù)用作表示平面內(nèi)的向量AM=（a，b）與向量AB=（x，y）的數(shù)量積。若|AM|為固定值，則z的值為向量AN在向量AM方向的投影的常數(shù)倍，而這種情況下該投影的最值點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。

例如，在就問(wèn)題“若存在z=x+4y中未知變量x、y滿足以下條件，即：①x-8y＜0，②x+2y＜3，③x>1，試求出未知數(shù)z的最大值以及最小值?！边M(jìn)行解決時(shí)。

學(xué)生應(yīng)當(dāng)首先假設(shè)存在點(diǎn)N（x，y）是任意一點(diǎn)，且點(diǎn)M可表示為（2，4），所以z=A·AN ，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義能計(jì)算得出：若N（x，y）在點(diǎn)（2，4）處時(shí)，則z=x+4y最大值等于18；而N（x，y）在點(diǎn)P（2，18）時(shí)，z=x+4y的最小值等于52。

二、向量知識(shí)在幾何問(wèn)題解決中的應(yīng)用

存在大小與方向特征的量為向量，而向量的大小則就是該向量的模。相等向量、零向量以及共線向量都是重要的向量知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)存在向量（a，b）（b≠0）時(shí)，則a∥b的充要條件為，有實(shí)數(shù)λ，且a=λ b。

在進(jìn)行以下例題解決時(shí)，就可運(yùn)用該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解決：當(dāng)△AOM的頂點(diǎn)為A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），而點(diǎn)B、C、D則是AO、AM、OM線段的中點(diǎn)，探討直線BC、BD、CD的方程表達(dá)式。

首先，由于三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），所以，各個(gè)中點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)可表示為（1，-1）、（-32，-12）、（-12，12）。設(shè)存在點(diǎn)G（x，y）為直線BD上的點(diǎn)，由于DG∥DB，所以直線BD的方程可被求出。運(yùn)用同樣的方式能就直線BC、CD方程進(jìn)行計(jì)算。而利用共線向量、直線向量進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，也能就BC、CD方程進(jìn)行計(jì)算。

三、空間向量知識(shí)在立體幾何問(wèn)題中的實(shí)際應(yīng)用

立體幾何是高中數(shù)學(xué)課程中的重難點(diǎn)，空間圖形較為復(fù)雜抽象，對(duì)學(xué)生的空間想象力、邏輯思維力都有較高的要求，學(xué)生學(xué)習(xí)與實(shí)際問(wèn)題解決都較為困難。把向量法運(yùn)用到相關(guān)立體幾何問(wèn)題解答中，能有效的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，提高問(wèn)題解決效率。而建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系，也能有效的將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成更加方便計(jì)算的代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化立體幾何問(wèn)題，最終快速的解決問(wèn)題。

有例題為：“有正方體ABCD-A1B1C1D1，且點(diǎn)E為棱DD1中點(diǎn)，試求是否在棱C1D1上有一點(diǎn)M，可以讓B1M與平面A1BE相互平行？并進(jìn)行驗(yàn)證。當(dāng)運(yùn)用向量法進(jìn)行該問(wèn)題解決時(shí)，可首先以點(diǎn)A作為原點(diǎn)進(jìn)行空間坐標(biāo)系建立，設(shè)棱長(zhǎng)長(zhǎng)度為2，則點(diǎn)B表示為（2，0，0），點(diǎn)E表示為（0，2，1），點(diǎn)B1表示為（2，0，2）；因此BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2）。設(shè)平面BEA1的法向量表示為m=（x，y，z），則m·BE=-2x +2y + z =0，且m·BA1=2x+2z，若x=1，則z=-1，y=32，最終得出m=（1，32，-1）。

當(dāng)棱C1D1上有點(diǎn)M，且B1M∥平面A1BE，假設(shè)該點(diǎn)M表示為（xa，2，2），（0≤xa≤2），則BM=（xa-2，2，2），所以可以求出m·BM=1×（xa -2）- 32×2-（-1）×2=0，所以計(jì)算得出xa=1，所以當(dāng)M是C1D1的中點(diǎn)時(shí)，存在B1M∥平面A1BE。

結(jié)束語(yǔ)

向量是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)內(nèi)容，在解決實(shí)際問(wèn)題中也具有十分重要的作用，被廣泛運(yùn)用至高中數(shù)學(xué)中的平面幾何、空間幾何、三角函數(shù)以及方程不等式等多個(gè)知識(shí)內(nèi)容之中。所以，學(xué)生應(yīng)明確該知識(shí)內(nèi)容在學(xué)習(xí)與應(yīng)用中的重要性，并在這基礎(chǔ)上充分應(yīng)用向量知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行總結(jié)與分析，切實(shí)提高自身的問(wèn)題解決能力。

[1]董志茹.向量在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué),2013.

[2]朱音.例談向量方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)三角(教育),2012,07:56-57.

（作者單位：湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)）