胡乃榕
【摘要】本文利用熱力學(xué)理論,深入剖析偏微分方程的本質(zhì)。由于物體內(nèi)部溫度的分布和變化方式的不同,為了確定其具體的物理狀態(tài),不僅要考慮熱傳導(dǎo)規(guī)律,還要增加其他附加條件,即初始條件和邊界條件。微分方程描述了一個(gè)隨時(shí)間變化而不斷演化的動(dòng)態(tài)過(guò)程,而初始和邊界條件則描述了在某個(gè)特定時(shí)間點(diǎn)該過(guò)程的幾種確定的存在狀態(tài),捕捉到這些特殊時(shí)刻的狀態(tài),既能保證解的存在,又能使解達(dá)到最優(yōu)。
【關(guān)鍵詞】偏微分方程 初始條件 邊界條件 熱力學(xué)理論
如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含有一個(gè)自變量,這個(gè)方程叫做常微分方程或簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程;如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),或者說(shuō)未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān),那么這種微分方程就是偏微分方程。
偏微分方程研究一個(gè)方程(組)是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解(解的存在性),有多少個(gè)解,解的各種性質(zhì)以及求解方法等等,并且還要盡可能地用偏微分方程來(lái)解釋和預(yù)見(jiàn)自然現(xiàn)象以及如何把它用之于各門(mén)科學(xué)和工程技術(shù)。
物理學(xué)中的“熱傳導(dǎo)”現(xiàn)象,可以用偏微分方程的形式來(lái)描述。由于物體內(nèi)部的溫度分布和變化方式的不同,為了確定具體的物理狀態(tài),不僅僅考慮熱傳導(dǎo)規(guī)律,還要增加其他附加條件,即初始條件和邊界條件。
偏微分方程描述了一個(gè)隨著時(shí)間變化而不斷演化的動(dòng)態(tài)過(guò)程,而初始和邊界條件描述物體在某個(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)的確定的存在狀態(tài)。
一、利用熱力學(xué)理論,揭示偏微分方程的物理學(xué)本質(zhì)
根據(jù)我們?nèi)粘I畹慕?jīng)驗(yàn),可以知道當(dāng)物體內(nèi)部各處的溫度不同的時(shí)候,熱量就會(huì)從溫度高處向溫度低處傳遞,這種現(xiàn)象被稱(chēng)為“熱傳導(dǎo)”現(xiàn)象。
假設(shè)將物體G內(nèi)任意選取一個(gè)由曲面L所構(gòu)成的區(qū)域D,依照熱量守恒定律,D內(nèi)各點(diǎn)的溫度由任意時(shí)刻t1的u(x,y,z,t1)改變?yōu)閠2時(shí)刻的u(x,y,z,t2)所吸收(或釋放)的熱量Q,等同于從t1到t2時(shí)間段內(nèi)通過(guò)L進(jìn)入(或流出)D內(nèi)的熱量Q1和D內(nèi)熱源供應(yīng)的熱量Q2的和。
假設(shè)該物體的比熱是c(x,y,z),密度是ρ(x,y,z),那么溫度從u(x,y,z,t1)提高到u(x,y,z,t2)需求的熱量dQ=cρ[u(x,y,z,t1)-u(x,y,z,t2)]dV
區(qū)域D因?yàn)闇囟茸兓枨蟮臒崃渴牵篞=■cρ[u(x,y,z,t1)-u(x,y,z,t2)]dV (1)
依照微積分基本公式u(x,y,z,t1)-u(x,y,z,t2)=■■dt
(1)式可以寫(xiě)成Q=■cρ■■dtdV=■[■cρ■dV]dt
此外,在不同的時(shí)刻t1和t2內(nèi),經(jīng)過(guò)該物體內(nèi)部曲面L進(jìn)入D的熱量是:
Q1=-■[■k■ds]dt
由于物體內(nèi)部或許存在著熱源,假設(shè)物體內(nèi)部的熱密度是F(x,y,z,t),在時(shí)間[t1,t2]
體熱源能夠產(chǎn)生的熱量為:
Q1=■ [■F(x,y,z,t)dV]dt (2)
依照熱量守恒定律:Q=Q1+Q2 (3)
把(1)式和(2)式代入(3)中,得到:
cρ■=■(k■)+■(k■)+■(k■)+
F(x,y,z,t) (4)
(4)式是溫度函數(shù)所滿足的方程
假如令α2=k/cρ,則(4)式可以寫(xiě)作:
■=α2(■+■+■)+f(x,y,z,t),
其中f=F/cρ(5)
在沒(méi)有熱源的條件下,方程可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為下面的偏微分方程形式:
■=α2(■+■+■) (6)
結(jié)論1:在物理學(xué)上,方程(6)代表著一種熱傳導(dǎo)方式:u(x,t)代表了在一根均勻質(zhì)地的細(xì)長(zhǎng)棒中各處的溫度,是隨著細(xì)棒的長(zhǎng)度x和時(shí)間t的變化而變化著。
二、從物理學(xué)的角度剖析初始條件和邊界條件存在的必要性
因?yàn)樯厦娴钠⒎址匠陶故镜氖菬醾鲗?dǎo)的一般規(guī)律,如果在某一時(shí)間t0的溫度分布不一樣,則它們?cè)谝院髸r(shí)刻t>t0的溫度分布也是不一樣的。并且即便是同一物體,假如所處的狀態(tài)不一樣,它在t≥t0時(shí)邊界θG上的熱學(xué)狀態(tài)也不一樣,那么它內(nèi)部的溫度分布和變化方式也會(huì)不一樣,所以,為了可以確定具體的物理狀態(tài),是不能單獨(dú)依靠熱傳導(dǎo),還要增加有其他附加的條件。
結(jié)論2:微分方程描述了一個(gè)隨著時(shí)間變化而不斷演化的動(dòng)態(tài)過(guò)程,而初始和邊界條件描述的是在某個(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)該過(guò)程的幾種確定性的存在狀態(tài)。
在物理學(xué)上,初始和邊界條件給出了在最初或者最后,或者某些重要的時(shí)刻,該物體的特殊存在狀態(tài),捕捉到這些特殊時(shí)刻的狀態(tài),既能保證解的存在,又能使解最優(yōu),意義重大。
三、偏微分方程邊界條件的數(shù)量
在物理學(xué)中,除了描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象,其他如彈性體的形變和平衡、電磁波的傳播、電子在原子核外的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等,都可以用偏微分方程來(lái)描述。
常見(jiàn)的偏微分方程大致可以分成如下幾類(lèi):
Ⅰ類(lèi):弦震動(dòng)方程;Ⅱ類(lèi):熱傳導(dǎo)方程;Ⅲ類(lèi):拉普拉斯方程;Ⅳ類(lèi):特里谷米方程。
其中,Ⅰ類(lèi)屬于雙曲型, Ⅱ類(lèi)屬于拋物型,Ⅲ類(lèi)屬于橢圓型。
關(guān)于偏微分方程邊界條件所需的數(shù)量,對(duì)于Ⅰ類(lèi)來(lái)說(shuō),一處需要給出兩個(gè)邊界條件,分別表示弦的初始位置和初始運(yùn)動(dòng)速度;Ⅲ類(lèi)處處都要有邊界條件,但數(shù)目只有一個(gè);Ⅱ類(lèi)和Ⅳ類(lèi)只是在部分邊界上各給一個(gè)邊界條件。Ⅰ類(lèi)不能提出的Ⅲ類(lèi)中的邊界條件,因?yàn)閷?duì)于這類(lèi)邊界條件的解往往是不存在的。