多方過程的定義和特征

舒純軍+廖紅艷

【摘要】本文討論了多方過程的定義，以及與準(zhǔn)靜態(tài)過程的關(guān)系；然后推導(dǎo)了理想氣體多方過程方程；最后分析了在T-S圖中，理想氣體四個(gè)等值過程和一般的多方過程曲線的特點(diǎn)。與多方過程的P-V圖相比，T-S圖更加直觀地反應(yīng)了多方過程中能量的變化規(guī)律，同時(shí)根據(jù)P-V圖也很容易計(jì)算出熱機(jī)效率和制冷系數(shù)。

【關(guān)鍵詞】多方過程 準(zhǔn)靜態(tài)過程 T-S圖 多方指數(shù)

一、引言

多方過程在很多領(lǐng)域中都有十分重要的應(yīng)用價(jià)值。比如在氣象學(xué)、熱工學(xué)中的過程基本上都是多方過程。但是對(duì)多方過程的定義，不同教材[1，2]和文獻(xiàn)[3，4]里并不完全相同。在大多數(shù)物理學(xué)教材中的定義是：如果在某一過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)參量 和 滿足：

常量 （1）

其中多方指數(shù)n為常數(shù)，此過程稱為多方過程。大多數(shù)教材都是在討論熱力學(xué)第一定律的應(yīng)用（主要是應(yīng)用于氣體，特別是理想氣體）時(shí)引出的多方過程，因而通常就把研究對(duì)象局限于氣態(tài)；其實(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的其它聚集狀態(tài)，也同樣存在著多方過程。

有一些教材定義的多方過程為滿足（1）式，但將多方指數(shù)n局限于取1與 （絕熱指數(shù)，即定壓熱容量與定容熱容量之比）之間的數(shù)值，這樣準(zhǔn)靜態(tài)的等壓過程和準(zhǔn)靜態(tài)的等容過程都不是多方過程。另外一些教材，將“在過程中外界和系統(tǒng)之間有熱交換的過程”（甚至包括非靜態(tài)過程）都稱為多方過程。還有一些教材，將“系統(tǒng)的熱容量為常量的過程”稱為多方過程；事實(shí)上，等熱容量過程和多方過程是兩個(gè)不同的概念。

二、多方過程和準(zhǔn)靜態(tài)過程

根據(jù)“ 常量”的定義，對(duì)于多方過程所經(jīng)歷的任意一個(gè)中間狀態(tài)而言，其狀態(tài)參量P和V都有確定的值，是平衡態(tài)，因此多方過程必定是準(zhǔn)靜態(tài)過程；但是準(zhǔn)靜態(tài)過程中的狀態(tài)參量P和 V不一定都滿足關(guān)系式“ 常量”，因而準(zhǔn)靜態(tài)過程不一定是多方過程。所以多方過程只是準(zhǔn)靜態(tài)過程的特例。

但是無限小的準(zhǔn)靜態(tài)過程又都是無限小的多方過程[5]。對(duì)于任意一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程，都可以視為是許多個(gè)甚至無窮多個(gè)連貫的無限小的準(zhǔn)靜態(tài)過程組成的；一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程，即便不是多方過程，但也可以看成是許多個(gè)無限小的多方過程（其多方指數(shù)n是可以不相等的）組成的。所以準(zhǔn)靜態(tài)過程又具有多方過程的某些屬性，可以利用多方過程的這些性質(zhì)來研究討論這些準(zhǔn)靜態(tài)過程的問題。

三、理想氣體多方過程的過程方程

對(duì)于多方過程，用狀態(tài)參量“ 常量”表示其過程方程，并用P-V狀態(tài)圖來描述是很常見的[1，5]；但是用狀態(tài)參量T，S，和T-S狀態(tài)圖來研究多方過程并不多見。下面以理想氣體為例，推導(dǎo)用狀態(tài)參量T，S來表示多方過程的過程方程。

假設(shè)系統(tǒng)為1mol的理想氣體，多方過程中的熱容量為Cm，如果系統(tǒng)的溫度升高dT，則系統(tǒng)吸收的熱量為 ，根據(jù)熵的微分形式[6] 可得

（2）

熱容量通常情況下都是溫度T的函數(shù)，當(dāng)溫度變化不大時(shí)，可將理想氣體的熱容量當(dāng)成是一個(gè)與溫度無關(guān)的常量，積分可得

（3）

其中T0和Sm0為系統(tǒng)初態(tài)的溫度和熵， 。（3）式就是所求的用溫度T和熵S表示的理想氣體多方過程的過程方程。

根據(jù)文獻(xiàn)資料[6]，理想氣體的多方指數(shù)n與摩爾熱容量Cm的關(guān)系如下：

（4）

絕熱指數(shù)γ表示定壓熱容與定容熱容之比。將（4）式代入（3）式，整理得

（5）

則在T-S圖中多方過程曲線的斜率為： （6）

四、理想氣體多方過程T-S圖的特點(diǎn)

理想氣體多方過程的T-S圖，如右圖所示，假設(shè)P點(diǎn)代表系統(tǒng)的初態(tài)，過P點(diǎn)的等溫線（n=1）和絕熱線（n=γ）將T-S圖分成4個(gè)區(qū)域。在區(qū)域①和③內(nèi)的多方過程曲線的斜率為正，表示系統(tǒng)吸收熱量，溫度升高；而在區(qū)域②和④內(nèi)的多方過程曲線的斜率為負(fù)，表示系統(tǒng)放出熱量時(shí)，溫度反而升高。

而區(qū)域①和③，又被等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）分成了三個(gè)區(qū)域，分別記為a，b，c?，F(xiàn)在以區(qū)域③為例加以討論：

⒈ 等壓線（n=0）和等容線（n=±∞）都是具有指數(shù)規(guī)律的曲線，等容線的斜率為 ，比等壓線的斜率

大，參見表1，從T-S圖上也能直觀地看到這一點(diǎn)。這也可以從物理本質(zhì)的角度加以分析，當(dāng)理想氣體系統(tǒng)（1mol）從P點(diǎn)代表的初態(tài)出發(fā)，分別經(jīng)過等壓過程和等容過程使其溫度T降低1K時(shí)，根據(jù)熱力學(xué)第一定律 得，等壓過程放出的熱量 （Cp，m），要比等容過程放出的熱量（Cv，m）多R，這些多放出的熱量來自外界對(duì)系統(tǒng)所作的功（系統(tǒng)體積減小， ），而內(nèi)能的減少卻是相同的。曲線下面的面積就代表在該過程中理想氣體放出的熱量，由圖中也能看出等壓線下方的面積比等容線下方的面積大。

⒉ 等溫線（n=1）的斜率為 ，絕熱線（n=γ）的斜率為 ，參見表1，分別是平行于橫軸和縱軸的直線。

⒊ ，多方過程曲線介于等壓線（n-0）和等容線（n=±∞）之間，也即位于 區(qū)，當(dāng)系統(tǒng)從 點(diǎn)代表的初態(tài)出發(fā)經(jīng)多方過程變化為另一狀態(tài)的過程中， ， ， ，此過程要比等容過程多放出一些熱量，這多放出的熱量來自外界對(duì)系統(tǒng)所作的功（系統(tǒng)體積減?。?，因而 ，dV<0。即系統(tǒng)放出的熱量，來自系統(tǒng)內(nèi)能的減少和外界對(duì)系統(tǒng)所作的功，熱容量 ，與曲線的斜率（ ）為正是相符的。

⒋ ，多方過程曲線介于等壓線（n=0）和等溫線（n=1）之間，即位于b區(qū)，與a區(qū)的分析討論類似。系統(tǒng)放出的熱量，來自內(nèi)能的減少和外界對(duì)系統(tǒng)所作的功，外界對(duì)系統(tǒng)作的功比等壓過程更多，熱容量 ，曲線的斜率介于 。

⒌ ，多方過程曲線介于絕熱線（n=γ）和等容線（n=±∞）之間，即位于c區(qū)，當(dāng)系統(tǒng)從P點(diǎn)代表的初態(tài)出發(fā)經(jīng)多方過程變化為另一狀態(tài)的過程中， ， ， ，該過程要比等容過程少放出一些熱量，但內(nèi)能減少卻是相等的，少放出的這部分熱量用于系統(tǒng)對(duì)外界作功（系統(tǒng)體積增大），因而

， 。即系統(tǒng)減少的內(nèi)能，用于系統(tǒng)放出的熱量，以及系統(tǒng)對(duì)外界作的功，熱容量 ，與曲線的斜率 （ ）為正是相符的。

在區(qū)域④內(nèi)， ，多方過程曲線介于等溫線（n=1）和絕熱線（n=γ）之間。系統(tǒng)從P點(diǎn)代表的初態(tài)出發(fā)經(jīng)多方過程變化為另一狀態(tài)的過程中， ，而 ， ，即吸收熱量，內(nèi)能減少，根據(jù)熱力學(xué)第一定律 ，因而

， 。即系統(tǒng)對(duì)外界作的功（系統(tǒng)體積膨脹），一部分來自系統(tǒng)內(nèi)能的減少，另一部分來自系統(tǒng)吸收的熱量，因而熱容量 ，與曲線的斜率（ ）為負(fù)是相符合的。

以上詳細(xì)討論了多方過程曲線位于區(qū)域③、④內(nèi)的變化過程中能量轉(zhuǎn)變的特點(diǎn)，而在區(qū)域①、②內(nèi)的過程與其變化方向恰好相反，此處不再一一描述。

以上即為理想氣體系統(tǒng)多方過程 圖的特點(diǎn)。相比于P-V狀態(tài)圖，T-S狀態(tài)圖更加直觀地表示了多方過程中能量變化的特點(diǎn)；另外，根據(jù)T-S圖也更為容易地計(jì)算出循環(huán)過程中熱量的變化，熱機(jī)的效率，以及制冷系數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程？熱學(xué)[M].高等教育出版社，1999.

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[6] 汪志誠.熱力學(xué)？統(tǒng)計(jì)物理（第五版）[M].北京：高等教育出版杜.2013.

重慶三峽學(xué)院第七屆教學(xué)骨干項(xiàng)目。

作者簡介：舒純軍（1974--），男，重慶萬州人，碩士，副教授，主要從事《大學(xué)物理》、《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》等課程的教學(xué)和研究工作。