重力勢(shì)能確實(shí)與質(zhì)量和高度有關(guān)*
——糾正“對(duì)重力勢(shì)能影響因素的不同思考”一文中的錯(cuò)誤

蔡志東

(鎮(zhèn)江高等專(zhuān)科學(xué)校丹陽(yáng)師范學(xué)院 江蘇 丹陽(yáng) 212300)

重力勢(shì)能確實(shí)與質(zhì)量和高度有關(guān)*
——糾正“對(duì)重力勢(shì)能影響因素的不同思考”一文中的錯(cuò)誤

蔡志東*

(鎮(zhèn)江高等專(zhuān)科學(xué)校丹陽(yáng)師范學(xué)院 江蘇 丹陽(yáng) 212300)

中學(xué)教科書(shū)認(rèn)為：重力勢(shì)能和物體的質(zhì)量以及相對(duì)高度有關(guān)，其表達(dá)式為：E=mgh．有些教師認(rèn)為，教科書(shū)中的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，重力勢(shì)能的表達(dá)式應(yīng)當(dāng)寫(xiě)為：E=Gh，也即重力勢(shì)能不是和質(zhì)量成正比而是和重力成正比，這一觀點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的．本文詳細(xì)分析了其錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，并給出了重力勢(shì)能和質(zhì)量與相對(duì)高度有關(guān)而不是和重力與高度有關(guān)的嚴(yán)格證明．

能量 基本形式 重力勢(shì)能 引力勢(shì)能 表達(dá)式

物理通報(bào)2016年第5期(第103頁(yè))發(fā)表了“對(duì)重力勢(shì)能影響因素的不同思考”一文，文中兩人對(duì)現(xiàn)今中學(xué)教科書(shū)和百度百科中關(guān)于重力勢(shì)能的表述提出了異議，認(rèn)為傳統(tǒng)的觀點(diǎn)：“重力勢(shì)能和質(zhì)量與高度有關(guān)”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，重力勢(shì)能不是取決于質(zhì)量和高度而是取決于重力和高度，重力勢(shì)能的表達(dá)式不應(yīng)寫(xiě)成E=mgh而應(yīng)寫(xiě)成E=Gh，并說(shuō)這樣叫它“重力勢(shì)能”才是名副其實(shí)，順理成章的事[1]．

顯然，這一觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．由于這個(gè)問(wèn)題涉及到對(duì)勢(shì)能和勢(shì)等一些基本概念的理解，如果不加以澄清，將會(huì)誤導(dǎo)許多讀者，并對(duì)后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)電勢(shì)能和電勢(shì)帶了不利影響．

錯(cuò)誤的原因大致有兩個(gè)：首先是兩位作者對(duì)勢(shì)能的概念理解不深，不知道勢(shì)能是從能的角度來(lái)描述一個(gè)系統(tǒng)的物理量，它具有共有性和相對(duì)性；其次是不知道重力勢(shì)能本質(zhì)上是由引力(和慣性離心力)引起的，重力勢(shì)能的表達(dá)式E=mgh只是一個(gè)近似公式，只有在地面附近幾百米范圍內(nèi)才近似成立．

本文將詳細(xì)剖析產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的原因，并從理論上和邏輯上嚴(yán)格證明，重力勢(shì)能不是和重力成正比而是和質(zhì)量成正比，因此，我們不能把重力勢(shì)能的公式隨便寫(xiě)成E=Gh，并想當(dāng)然地認(rèn)為重力勢(shì)能的大小取決于重力和高度．

1 勢(shì)能的共有性和相對(duì)性

1.1 能量的基本形式

能量的基本形式大致有5種：機(jī)械能、內(nèi)能、化學(xué)能、核能、電磁能(光能)．這個(gè)次序不是隨便排列的而是逐步分層的．機(jī)械能是一種宏觀物體的有序能量，包括宏觀運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和宏觀相互作用的勢(shì)能(重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能)．而內(nèi)能是物體內(nèi)部所有分子的(無(wú)序)能量，包括分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和分子勢(shì)能．化學(xué)能本質(zhì)上是一種原子之間的結(jié)合能，而這種結(jié)合能主要涉及到電子的“軌道”動(dòng)能和電勢(shì)能(注：在量子力學(xué)中沒(méi)有軌道，這種結(jié)合能可以理解為電子在核外空間的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能和電勢(shì)能)；核能則主要包括核子之間的結(jié)合能(涉及到核子的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能和相互作用的核力勢(shì)能)，而電磁能或光能可以認(rèn)為是組成粒子的最基本的能量(按照愛(ài)因斯坦的看法，電子不過(guò)是電磁場(chǎng)的凝聚體，按照大統(tǒng)一理論，弱—電—強(qiáng)三者是統(tǒng)一的，因此夸克也可以認(rèn)為是一種特殊的電磁凝聚體)．通常，我們認(rèn)為電磁能是電磁振動(dòng)的能量(廣義動(dòng)能)．這樣，撇開(kāi)形式上的不同，就其本質(zhì)而言，我們可以認(rèn)為，自然界的能量歸根結(jié)底只有兩種：廣義動(dòng)能和廣義勢(shì)能．前者表示物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，后者表示物質(zhì)之間的相互作用．于是我們可以給能量下一個(gè)精確的定義．

1.2 能量的最精確定義

能量是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的量度(即廣義動(dòng)能)，同時(shí)也是物質(zhì)之間相互作用的方式、作用的強(qiáng)度以及物質(zhì)在空間分布狀況的量度(廣義勢(shì)能)．迄今為止，包括諾貝爾獎(jiǎng)金獲得者費(fèi)因曼在內(nèi)，全世界尚沒(méi)有任何一個(gè)人能對(duì)能量下如此普遍而又精確的定義(復(fù)旦大學(xué)的力學(xué)教科書(shū)中僅僅說(shuō)“能是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的量度”，顯然這是片面的)．通常，在高中，一般認(rèn)為能是做功的本領(lǐng)，這個(gè)定義顯然過(guò)于粗糙而不全面(做功涉及到力和位移，一杯水散熱的時(shí)候，何來(lái)的力，又何來(lái)的位移？能的概念遠(yuǎn)比功的概念來(lái)得基本，用做功來(lái)計(jì)算勢(shì)能勉強(qiáng)可以，定義一般的能量是不科學(xué)的，但是在中學(xué)可以這樣籠統(tǒng)地說(shuō))．

1.3 勢(shì)能的最一般定義

因相互作用(力)而引起的，與相對(duì)位置有關(guān)的能(更確切的說(shuō)法是與物質(zhì)在空間上的分布有關(guān)的能)．傳統(tǒng)意義上，勢(shì)能主要包括引力(或重力)勢(shì)能，電磁勢(shì)能(彈性勢(shì)能和分子勢(shì)能本質(zhì)上讓是電磁勢(shì)能)，實(shí)際上，還有強(qiáng)作用勢(shì)能和弱作用勢(shì)能．簡(jiǎn)單地說(shuō)，自然界有4種基本的相互作用力，就有4種基本的勢(shì)能．

1.4 勢(shì)能的共有性和相對(duì)性

任何勢(shì)能都是因?yàn)橄嗷プ饔枚?，而相互作用至少必須包含兩個(gè)物體，因此勢(shì)能是一個(gè)系統(tǒng)所共有而非一個(gè)物體所具有．勢(shì)能不僅能表示作用的方式(通常我們規(guī)定引力系統(tǒng)勢(shì)能為負(fù)，斥力系統(tǒng)勢(shì)能為正)，也能表示作用的強(qiáng)弱(在同一參考點(diǎn)下，作用越強(qiáng)，勢(shì)能絕對(duì)值越大)；還能表示系統(tǒng)之間物質(zhì)的分布狀況(對(duì)于一個(gè)斥力系統(tǒng)而言，物質(zhì)分布越密集，相互作用越強(qiáng)，因而系統(tǒng)的勢(shì)能越大；對(duì)于一個(gè)引力系統(tǒng)而言，分布越密集，引力越強(qiáng)，勢(shì)能越小，但是絕對(duì)值越大)．

由于勢(shì)能是表示一個(gè)特定系統(tǒng)的物質(zhì)分布以及各部分之間作用狀況的一個(gè)物理量，因此其數(shù)值本身沒(méi)有絕對(duì)的意義而只有相對(duì)的意義．打個(gè)比方，一棵樹(shù)各個(gè)樹(shù)枝和樹(shù)葉之間的相對(duì)位置或空間結(jié)構(gòu)是確定的，你用眼睛直接觀察和你用望遠(yuǎn)鏡觀察，其空間結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系不會(huì)變化，變化的僅僅是每一個(gè)部分的大小，用望遠(yuǎn)鏡觀察時(shí)，每個(gè)部分都變大了．同樣，你取不同的勢(shì)能零點(diǎn)，只會(huì)影響各點(diǎn)勢(shì)能的數(shù)值，而不會(huì)影響各部分之間物質(zhì)的分布和作用情況．因此，比較勢(shì)能時(shí)，只有對(duì)于同一個(gè)參考點(diǎn)才有意義．

1.5 勢(shì)能計(jì)算中采用同一參考點(diǎn)和特殊參考點(diǎn)的優(yōu)缺點(diǎn)

比如單擺的勢(shì)能零點(diǎn)通常選為最低點(diǎn)，在計(jì)算地面上方物體的重力勢(shì)能時(shí)選地面為勢(shì)能零點(diǎn)，計(jì)算平行板電容器內(nèi)部某點(diǎn)的電勢(shì)能時(shí)選負(fù)極板為勢(shì)能零點(diǎn)．這樣做的好處是計(jì)算方便，但是其缺點(diǎn)是不能進(jìn)行不同系統(tǒng)之間的勢(shì)能大小的比較(不同系統(tǒng)參考點(diǎn)不同，比較勢(shì)能的大小是無(wú)意義的)．

2 “重力勢(shì)能取決于重力和高度”這一錯(cuò)誤觀點(diǎn)的由來(lái)

文獻(xiàn)[1]的兩位作者所犯的最致命的錯(cuò)誤在于，他們忽視了勢(shì)能的相對(duì)性．他們認(rèn)為相同的物體質(zhì)量m相同，高度h相同時(shí)，由于地球和月球表面的重力加速度g不同，所以重力不同，導(dǎo)致重力勢(shì)能不同，這樣似乎有重力勢(shì)能與重力成正比而非質(zhì)量成正比，重力勢(shì)能與重力和高度有關(guān)而非質(zhì)量和高度有關(guān)，所以應(yīng)當(dāng)寫(xiě)成E=Gh而非E=mgh．

這里最關(guān)鍵的問(wèn)題是：地球-物體系統(tǒng)和月球-物體系統(tǒng)是兩個(gè)不同的系統(tǒng)．參考點(diǎn)不同(前者為地面，后者為月面)，比較他們的勢(shì)能是無(wú)意義的，因而這一推論是荒謬的．這就好比你用一只眼睛看一棵大樹(shù)，另外一只眼睛通過(guò)望遠(yuǎn)鏡看一棵小樹(shù)，然后得出結(jié)論說(shuō)：那棵小樹(shù)比大樹(shù)還要高大(顯然這是荒謬的)．

3 獨(dú)立變量和非獨(dú)立變量

4 重力勢(shì)能與引力勢(shì)能的關(guān)系及其公式E=mgh的由來(lái)

在不考慮地球自傳引發(fā)的慣性離心力的情況下，通常我們認(rèn)為重力近似等于引力(相差不是很大)．選取無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零點(diǎn)，我們可以導(dǎo)出引力勢(shì)能的公式

(1)

(2)

所以地面附近的物體的引力勢(shì)能為

E≈mU0+mgh

因?yàn)橹挥兄亓?shì)能的變化量才有意義，所以mU0這一項(xiàng)在計(jì)算過(guò)程中會(huì)消去，因此一般不予考慮，于是我們有：E≈mgh，這就是重力勢(shì)能公式的由來(lái)．顯然，其精確表達(dá)式是

也就是說(shuō)，在地球質(zhì)量和半徑一定的情況下，物體的重力勢(shì)能僅與其質(zhì)量和高度有關(guān)，教科書(shū)中的表述完全正確！

5 重力勢(shì)能與質(zhì)量成正比是邏輯的必然

如前所述，重力勢(shì)能的精確表達(dá)式(即引力勢(shì)能)為

它和物體的質(zhì)量成正比，和物體到地心的距離成反比．類(lèi)似地，我們可以導(dǎo)出電勢(shì)能的公式為

它與檢驗(yàn)電荷的電荷量q成正比，與檢驗(yàn)電荷到場(chǎng)源電荷Q的距離r成反比．事實(shí)上，任意大、小兩個(gè)物體(或電荷，磁體等)所組成的兩體系統(tǒng)(x,X)，如果檢驗(yàn)物體x所產(chǎn)生的場(chǎng)不影響場(chǎng)源物體X

*系“鎮(zhèn)江高等專(zhuān)科學(xué)校品牌專(zhuān)業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目”的研究成果.作者簡(jiǎn)介:蔡志東(1962- ),男,教授,主要從事相對(duì)論和物理教學(xué)及研究工作.

2016-10-08)