非勻質(zhì)車輛隊(duì)列的分布式控制*

秦曉輝,王建強(qiáng),謝伯元,2,胡滿江,李克強(qiáng)

(1.清華大學(xué)汽車工程系,北京 100084; 2.總裝汽車試驗(yàn)場,南京 210028)

非勻質(zhì)車輛隊(duì)列的分布式控制*

秦曉輝1,王建強(qiáng)1,謝伯元1,2,胡滿江1,李克強(qiáng)1

(1.清華大學(xué)汽車工程系,北京 100084; 2.總裝汽車試驗(yàn)場,南京 210028)

提出了對稱通信拓?fù)湎戮哂胁煌瑓?shù)攝動(dòng)的非勻質(zhì)車輛隊(duì)列魯棒穩(wěn)定性分析方法和分布式控制器設(shè)計(jì)方法。通過反饋線性化技術(shù)求得隊(duì)列節(jié)點(diǎn)的線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng),結(jié)合分布式控制策略和靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律,建立了具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性的車輛隊(duì)列高維狀態(tài)方程。利用矩陣不等式將隊(duì)列系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為線性方程的H∞性能,證明了隊(duì)列系統(tǒng)在不同參數(shù)攝動(dòng)下保證魯棒穩(wěn)定性的充分條件,并給出了控制器增益的低維度求解方法。最后,基于非線性車輛模型進(jìn)行了數(shù)值仿真,驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

非勻質(zhì)車輛隊(duì)列;通信拓?fù)?分布式控制;參數(shù)不確定性

前言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展,智能駕駛輔助系統(tǒng)將逐漸向集成化程度更高、安全輔助能力更強(qiáng)的方向發(fā)展[1]。作為智能駕駛輔助系統(tǒng)的典型應(yīng)用場景之一,與傳統(tǒng)的自適應(yīng)巡航系統(tǒng)相比,車輛隊(duì)列跟馳因能夠在保證安全性的基礎(chǔ)上采用更短的跟馳間距而有望進(jìn)一步提高交通效率和燃油經(jīng)濟(jì)性__[2],得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-4]。

基于無線通信的車輛隊(duì)列系統(tǒng)涉及4個(gè)基本要素:車輛動(dòng)力學(xué),跟馳策略,分布式控制策略和通信拓?fù)鋄5]。帶1階慣性延遲的雙積分器模型是該領(lǐng)域使用最為廣泛的車輛模型[6],恒定距離和恒定時(shí)距的跟馳策略被學(xué)者廣為采納[7],分布式控制策略因具有較好的擴(kuò)展性而成為主流選擇[8],通信拓?fù)涞慕Y(jié)構(gòu)對隊(duì)列的性能有著重要影響[9]。隊(duì)列控制通?？疾?方面性能:內(nèi)穩(wěn)定性、隊(duì)列穩(wěn)定性和可擴(kuò)展性。內(nèi)穩(wěn)定性要求跟馳誤差隨時(shí)間衰減到零[7],隊(duì)列穩(wěn)定性要求輸入干擾在向隊(duì)尾傳遞的過程中不斷衰減[10],而可擴(kuò)展性則期望隊(duì)列的內(nèi)穩(wěn)定性不會(huì)隨隊(duì)列規(guī)模的增大而迅速惡化[7]。

另一個(gè)必須強(qiáng)調(diào)的重要性能是隊(duì)列控制的魯棒穩(wěn)定性。在實(shí)際應(yīng)用中,因外界干擾、高頻建模不確定性等因素,不可避免地存在模型失配現(xiàn)象。現(xiàn)有研究討論了如下兩種因素引起的魯棒性問題:通信拓?fù)洳淮_定性和節(jié)點(diǎn)模型不確定性。涉及通信拓?fù)洳淮_定性的研究工作通常從通信時(shí)延不確定性[11]、通信拓?fù)錁?gòu)型不確定性[12]和通信權(quán)重不確定性[13]3個(gè)方面展開討論。對節(jié)點(diǎn)模型不確定性的研究則考慮外界干擾項(xiàng)[14]和建模不確定性[15]兩個(gè)方面。現(xiàn)有研究對非勻質(zhì)隊(duì)列的穩(wěn)定分析仍存在著計(jì)算量隨隊(duì)列規(guī)模增大而不斷增長的問題。

本文中針對對稱通信拓?fù)湎戮哂杏薪鐓?shù)不確定性的非勻質(zhì)隊(duì)列控制問題,通過結(jié)合分布式控制策略和靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律,建立了高維狀態(tài)方程,給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的低維度充分條件,并提出了計(jì)算量不隨隊(duì)列規(guī)模增長的控制器增益計(jì)算方法。最后基于非線性模型進(jìn)行仿真,驗(yàn)證了所提出的方法。

為方便表述,本文中默認(rèn)如下約定:eN,i表示第i個(gè)元素為1,其余元素均為0的N維列向量。A＜0表示方陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。He(A)= A+AT。R表示實(shí)數(shù)域,C表示復(fù)數(shù)域。符號(hào)?表示Kronecker積。

1 系統(tǒng)建模

1.1 車輛模型

隊(duì)列由N+1輛車組成,包括1輛領(lǐng)頭車和N輛跟馳成員車。領(lǐng)頭車編號(hào)為0,其余成員車依次編號(hào)為1,2,…,N。

本文中僅討論縱向跟馳問題,涉及車輛縱向動(dòng)力學(xué)控制。許多非線性因素會(huì)對車輛縱向動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生影響,如發(fā)動(dòng)機(jī)非線性轉(zhuǎn)矩響應(yīng)、變速器有級(jí)速比、空氣動(dòng)力學(xué)等。為簡化車輛模型做出如下假設(shè):

(1)車身對稱,且視為剛體;

(2)忽略輪胎滑移;

(3)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣歧管溫度恒定,進(jìn)氣過程可用理想氣體模型描述,發(fā)動(dòng)機(jī)功率特性可用經(jīng)驗(yàn)MAP圖描述;

(4)液力變矩器鎖定,動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)滯可用1階慣性延遲描述。

基于上述假設(shè),通過反饋線性化技術(shù)[16],可將車輛模型簡化為如下線性狀態(tài)方程:

其中

式中:pi為車輛位置;vi為車輛速度;ai為車輛加速度;κi＞0為時(shí)間常數(shù),表征車輛動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)延遲,下標(biāo)i表示車輛的序號(hào)。

1.2 隊(duì)列模型

隊(duì)列成員車之間的信息交流關(guān)系由通信拓?fù)鋱D描述,即g=(V,ε)。其中V={1,2,…,N}為通信拓?fù)鋱D的節(jié)點(diǎn),ε=V×V為通信拓?fù)鋱D的邊。節(jié)點(diǎn)間的信息交流由鄰接矩陣M=[mij]∈RN×N描述,mij=1表示節(jié)點(diǎn)i從節(jié)點(diǎn)j獲取通信信息,mij=0表示節(jié)點(diǎn)i不從節(jié)點(diǎn)j獲取通信信息。本文中考慮對稱通信拓?fù)?所以mij=mji。

在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步定義拉普拉斯陣LG=[lij]∈RN×N為

隊(duì)列成員車與領(lǐng)頭車之間的通信關(guān)系由牽引矩陣描述:

式中:pGi=1為節(jié)點(diǎn) i能從領(lǐng)頭車獲取通信信息; pGi=0表示節(jié)點(diǎn)i不能從領(lǐng)頭車獲取通信信息。

隊(duì)列控制的目標(biāo)是跟蹤領(lǐng)頭車的車速,并與前車保持適當(dāng)間距,如式(4)所示[5]。

為推導(dǎo)方便,令Di,i-1=[di,i-10 0]T,選取分布式控制律為

式中:K=(k1k2k3),為靜態(tài)反饋增益。節(jié)點(diǎn)i相對于領(lǐng)頭車的跟馳誤差可表示為

對式(6)兩邊求導(dǎo),可得

式中:Bi=[0 0 κi-κ0]T;a0為領(lǐng)頭車的加速度。

式中0和1分別為所有元素為0和1的向量。Ei包含了每輛車不同的時(shí)間常數(shù),它們在一定的區(qū)間范圍內(nèi)取值。為將不確定性分離開,令κi=κ+κΔi,κ表示時(shí)間常數(shù)標(biāo)稱值,κΔi為不確定性。于是有

N=I3N;E=diag[1,1,κ]

Δ中集中包含了隊(duì)列成員車的參數(shù)不確定性,由于成員車的參數(shù)攝動(dòng)有界,故存在正常數(shù)ρ,使得

其中AC=IN?A-H?(BK)

式(10)即為帶范數(shù)有界參數(shù)不確定性非勻質(zhì)隊(duì)列系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程。可以看出,系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定性不僅取決于控制增益的選擇,也受到了通信拓?fù)涞挠绊?。?duì)列中的所有成員車通過通信拓?fù)湎嗷ヂ?lián)系起來,成員車輛的表現(xiàn)可能會(huì)影響整個(gè)隊(duì)列的性能。

2 系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析

2.1 魯棒穩(wěn)定性條件分析

為分析非勻質(zhì)隊(duì)列跟馳的魯棒穩(wěn)定性,利用相似變換進(jìn)行動(dòng)力學(xué)解耦,將高維狀態(tài)方程的穩(wěn)定性問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)低維度子模態(tài)的穩(wěn)定性問題,進(jìn)而得出保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的判定條件。為此,需要如下引理。

引理1(Lyapunov定理)[15]:

方陣A滿足A＜0的充分必要條件為:存在對稱正定陣P使He(AP)＜0。

引理2[15]:

存在正定陣P＞0使得式(11)成立的充要條件為:存在正定陣～P＞0使得式(12)成立。

式中:ΔTΔ＜γ2I;P與之間是線性數(shù)乘關(guān)系。

線性系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定性要求閉環(huán)特征多項(xiàng)式的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部[5]。下面的定理給出了系統(tǒng)保證魯棒穩(wěn)定性的判定條件。

定理1:

對于具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性的式(10)非勻質(zhì)隊(duì)列系統(tǒng),令H的特征值為λi,1≤i≤N,若存在對稱正定陣序列Pi∈R3×3,使得式(13)矩陣不等式成立,則系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性得到保證。

證明:

系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定性實(shí)際上要求閉環(huán)狀態(tài)矩陣的所有特征值具有正實(shí)部。由于式(10)隊(duì)列方程的狀態(tài)矩陣是分塊下三角陣,故內(nèi)穩(wěn)定性等價(jià)于

由引理1,式(14)等價(jià)于存在正定陣P,使得

將AC,M和N的具體表達(dá)式帶入上式,得

由于H=HT,故H可對角化,即存在正交陣QT=Q-1使得

式中:J=diag(λi)∈RN×N;λi為H的特征值。

用Q?I3對式(17)做相似變換,得

利用Schur定理[17],即可將式(21)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式形式:

實(shí)際上,式(22)與定理中所述的式(13)等價(jià),故而定理得到證明。

定理1將高維非勻質(zhì)車輛隊(duì)列的魯棒穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為了若干低維矩陣不等式的求解問題,并且適用于所有對稱通信拓?fù)?大大降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的計(jì)算量。但由于在推導(dǎo)過程中假定了具有特殊結(jié)構(gòu),帶入了保守性,所以本定理給出的條件是充分非必要的。

2.2 魯棒控制器求解

前面提出的魯棒穩(wěn)定性條件,本小節(jié)提出一種計(jì)算量獨(dú)立于隊(duì)列規(guī)模的控制器求解方法。為此,需要下面的引理。

引理3(圓盤定理)[18]:

方陣H=[hij]∈RN×N的所有特征值均位于如下的圓盤集合中:

定理2:

對于具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性的式(10)非勻質(zhì)隊(duì)列系統(tǒng),令H的特征值為λi,1≤i≤N,若det(H)≠0,對任給正數(shù)δ＞0,若存在對稱正定陣P∈R3×3＞0,使得式(24)和式(25)矩陣不等式組中任意一個(gè)成立,則式(26)控制器增益能保證隊(duì)列的魯棒穩(wěn)定性。

式中符號(hào)“*”表示矩陣的分塊對稱部分,且

證明:

由于H為對角占優(yōu)陣,故根據(jù)引理3,H的特征值滿足如下約束:

因det(H)≠0,所以

故有:0＜λmin,所以zfm和zfM總存在。

假設(shè)P為滿足定理2中矩陣不等式的解,只需驗(yàn)證該解能滿足定理1中所給出的穩(wěn)定性條件即可。為此將P帶入不等式(13)中,并利用Schur定理將之展開,得

將K=BTP-1/2帶入式(34),整理后得到

根據(jù)引理2,式(35)成立等價(jià)于存在正數(shù)δ＞0,使得式(36)成立[15]。

注意到 EBBT=κBBT,所以上式可以進(jìn)一步寫為

其中

f(λi)為二次多項(xiàng)式,兩個(gè)零點(diǎn)分別為zf1=0和zf2=4κ/(2δ+1)。

當(dāng)λmax＜zf2時(shí),由多項(xiàng)式性質(zhì)有

所以式(37)被滿足的一個(gè)充分條件是下式成立。

利用Schur定理即可將式(40)進(jìn)一步寫為式(24)。

當(dāng)λmax≥zf2時(shí),由多項(xiàng)式性質(zhì)有

此時(shí)式(37)被滿足的一個(gè)充分條件是式(42)成立。

同樣由Schur定理可知,式(42)等價(jià)于式(25)。

綜上所述,定理2中給出的控制器設(shè)計(jì)方法能保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,定理得到證明。

定理2給出了一種低維度的控制器設(shè)計(jì)方法,只須求解與車輛模型維度相當(dāng)?shù)木仃嚥坏仁郊纯傻玫奖ＷC系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的控制器增益。與現(xiàn)有文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]中提出的方法相比,本文中提出的方法計(jì)算量不隨隊(duì)列規(guī)模增長,且適用于任意對稱通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),更便于工程實(shí)踐。

定理中的參數(shù)δ是一個(gè)需要設(shè)計(jì)者確定的參數(shù),它并不對穩(wěn)定性產(chǎn)生本質(zhì)的影響,但會(huì)影響線性矩陣不等式的求解難度。

3 仿真驗(yàn)證

圖1 仿真配置

3.1 仿真配置

仿真中的車輛模型為非線性模型,通過逆模型補(bǔ)償?shù)姆绞綄?shí)現(xiàn)車輛模型的線性化,由于成員車的參數(shù)不一致(車輛質(zhì)量和傳動(dòng)系統(tǒng)時(shí)延不同)而形成了具有模型不確定性的非勻質(zhì)車輛隊(duì)列系統(tǒng)。仿真的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。通過模型識(shí)別的方式可以驗(yàn)證車輛模型的時(shí)間常數(shù)標(biāo)稱值為κ=1.67,參數(shù)攝動(dòng)范圍為κ+κΔi∈[1.33,2.22]。仿真的隊(duì)列規(guī)模為10輛跟馳車輛,1輛領(lǐng)頭車。

3.2 控制器求解

如圖1所示,仿真中使用的通信拓?fù)錇長BPF (leader bidirectional predecessor following)。根據(jù)定理2,選取δ=0.17,可以驗(yàn)證λmax＜zf2,根據(jù)車輛模型,取ρ=0.50,于是使用式(24)不等式組求解,得到如下結(jié)果:

于是可以根據(jù)式(26)求取控制增益:

由于定理2中給出的是線性矩陣不等式,所以控制器可使用 Matlab軟件中的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)工具箱求解。

3.3 仿真結(jié)果

根據(jù)前面求取的控制器增益,導(dǎo)入仿真模型中進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真中,領(lǐng)頭車車速按下式所示規(guī)律變化[5],單位為 m/s。仿真通過 Matlab/Simulink工具箱完成。

仿真結(jié)果如圖2所示。圖2(b)和圖2(c)中5號(hào)車與10號(hào)車的曲線較接近,在局部放大圖中可以看到二者的差別。

可以看出,本文中所提出的方法能夠保證隊(duì)列的魯棒穩(wěn)定性。此次仿真的誤差收斂時(shí)間較長,這是由于控制器增益系數(shù)選擇較小導(dǎo)致的,可通過適當(dāng)加大增益系數(shù)來減小收斂時(shí)間和最大跟馳誤差。

4 結(jié)論

基于具有1階慣性延遲的線性車輛模型,針對對稱通信拓?fù)浣⒘司哂杏薪鐓?shù)不確定性的高階隊(duì)列線性方程,分析了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,研究了控制器的求解方法,并通過仿真驗(yàn)證了所提出的方法。

(1)提出了非勻質(zhì)線性隊(duì)列系統(tǒng)保證魯棒穩(wěn)定性的充分條件,該條件的矩陣維數(shù)僅與車輛模型相當(dāng),復(fù)雜度低。

(2)提出了保證非勻質(zhì)線性隊(duì)列系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的控制器求解方法。該方法的計(jì)算量不隨隊(duì)列規(guī)模增長,便于實(shí)施。

圖2 仿真結(jié)果

[1] 李克強(qiáng).汽車技術(shù)的發(fā)展動(dòng)向及我國的對策[J].汽車工程, 2009,31(11):1005-1016.

[2] NUNEN E,KWAKKERNAAT M,PLOEG J,et al.Cooperative competition for future mobility[J].IEEE Trans.Intell.Transp. Syst.,2012,13(3):1018-1025.

[3] MICHAEL J,et al.Capacity analysis of traffic flow over a singlelane automated highway system[J].Journal of Intelligent Transportation System,1998,4(1-2):49-80.

[4] ONCU S,PLOEG J,WOUW N,et al.Cooperative adaptive cruise control:network-aware analysis of string stability[J].IEEE Trans.Intell.Transp.Syst.,2014,13(4):1527-1537.

[5] ZHENG Y,LI S,et al.Stability and scalability of homogeneous vehicular platoon:study on the influence of information flow topologies[J].IEEE Trans.Intell.Transp.Syst.,2016,17(1):14-26.

[6] SEILER P,PANT A,HEDRICK K.Disturbance propagation in vehicle strings[J].Automatic Control,IEEE Trans.Autom.Control,2004,49(10):1835-1841.

[7] ZHENG Y,LI S,WANG J,et al.Influence of information flow topology on closed-loop stability of vehicle platoon with rigid formation[C].Intelligent Transportation Systems(ITSC),2014 IEEE 17th International Conference on,2014:2094-2100.

[8] BERNARDO M,SALVI A,SANTINI S.Distributed consensus strategy for platooning of vehicles in the presence of time-varying heterogeneous communication delays[J].IEEE Trans.Intell.Transp. Syst.,2015,16(1):102-112.

[9] GHASEMI A,KAZEMI R,AZADI S.Stable decentralized control of a platoon of vehicles with heterogeneous information feedback [J].IEEE Trans.Veh.Technol.,2013,62(9):4299-4308.

[10] LIANG C,PENG H.String stability analysis of adaptive cruise controlled vehicles[J].JSME International Journal Series C, 2000,43(3):671-677.

[11] MENG Z,REN W,CAO Y,et al.Leaderless and leader-following consensus with communication and input delays under a directed network topology[J].IEEE Trans.Systems,Man and Cybernetics,2011,41(1):75-88.

[12] HAN D,CHESI G,HUNG Y.Robust consensus for a class of uncertain multi-agent dynamical systems[J].IEEE Trans.Industrial Informatics,2013,9(1):306-312.

[13] TIAN Y,LIU C.Robust consensus of multi-agent systems with diverse input delays and asymmetric interconnection perturbations [J].Automatica,2009,45:1347-1353.

[14] KHOO S,XIE L,MAN Z.Robust finite-time consensus tracking algorithm for multirobot systems[J]. IEEE/ASME Trans. Mechatronics,2009,14(2):219-228.

[15] LI Z,DUAN Z,et al.Distributed robust control of linear multi-agent systems with parameter uncertainties[J].International Journal of Control,2012,85(8):1039-1050.

[16] XIAO L,GAO F.Practical string stability of platoon of adaptive cruise control vehicles[J].IEEE Trans.Intell.Transp.Syst., 2011,12(4):1184-1194.

[17] BOYD S,et al.Matrix inequalities in system and control theory [J].Philadelphia,PA:SIAM,1994.

[18] HORN R,JOHNSON C.Matrix analysis[M].Cambridge U. K.:Cambridge Univ.Press,2012.

[19] NI W,CHENG D.Leader-following consensus of multi-agent systems under fixed and switching topologies[J].Systems&Control Letters,2010,59(3):209-217.

[20] GUO G,YUE W.Sampled-data cooperative adaptive cruise control of vehicles with sensor failures[J].IEEE Trans.Intell. Transp.Syst.,2014,15(6):2401-2418.

Distributed Control of Heterogeneous Vehicular Platoons

Qin Xiaohui1,Wang Jianqiang1,Xie Boyuan1,2,Hu Manjiang1&Li Keqiang1
1.Department of Automotive Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084; 2.Automotive Proving Ground of the General Armament Department,Nanjing 210028

The robust stability analysis method and distributed controller design scheme for the heterogeneous vehicle platoons with different parameters perturbation under symmetric communication topology are proposed. The linear dynamics responses of platoon nodes are obtained by using feedback linearization technique,and the high-dimensional state equations for vehicle platoons,whose some parameters having bounded norms are uncertain, are established by combining distributed control strategy and static state feedback control rule.Then the internal stability of platoon system is transformed into the H∞performance of linear equations with matrix inequality technique, by which the sufficient condition for ensuring the robust stability of platoon system under different parameters perturbation is proved,with the low-dimensional solving scheme for controller gain given.Finally a numerical simulation is performed on nonlinear vehicle model,verifying the effectiveness of the method proposed.

heterogeneous vehicle platoon;communication topology;distributed control;parameter uncertainty

10.19562/j.chinasae.qcgc.2017.01.012

*國家自然科學(xué)基金(51505247)資助。

原稿收到日期為2016年1月6日,修改稿收到日期為2016年3月8日。

李克強(qiáng),教授,博士生導(dǎo)師,E-mail:likq@tsinghua.edu.cn。