周東瓊
【摘要】級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具,在理論上和實(shí)際應(yīng)用中它都處于重要地位。級(jí)數(shù)能表示某些非初等函數(shù),微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示;同時(shí),可將函數(shù)表為級(jí)數(shù),從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù),如用冪級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù),以及進(jìn)行近似計(jì)算等。因此我們有必要學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)這個(gè)概念,本文對(duì)級(jí)數(shù)思想的起源與發(fā)展、級(jí)數(shù)的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行探究。
【關(guān)鍵詞】函數(shù) 級(jí)數(shù) 起源 發(fā)展 斂散性
那么,什么是級(jí)數(shù)呢?看下面兩個(gè)例子。
例1.“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”。如果把每一天截下的那一部分的長(zhǎng)度加起來(lái),則得到下面的式子:
該式子中有無(wú)限個(gè)數(shù)相加。從直觀上看,它的和顯然是1。
例2.將 與 無(wú)限循環(huán)相加,得到下面的式子:
若將它寫成: 則結(jié)果無(wú)疑等于0
但是,若寫成 則結(jié)果又等于1。
有限個(gè)常數(shù)相加一定有和,但是無(wú)窮個(gè)常數(shù)相加(數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))或無(wú)窮個(gè)函數(shù)相加(函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))的結(jié)果就不盡然了。
1.級(jí)數(shù)的萌芽
歷史上級(jí)數(shù)出現(xiàn)得很早,早在公元前4世紀(jì)就知道公比小于1(大于零)的幾何級(jí)數(shù)具有和數(shù)。14世紀(jì),N.奧爾斯姆證明了調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到+∞。但是直到接近于微積分發(fā)明的年代,我們才能脫離幾何表示而達(dá)到級(jí)數(shù)和的純算術(shù)概念,進(jìn)一步把級(jí)數(shù)視為獨(dú)立的算術(shù)運(yùn)算并正式使用收斂與發(fā)散兩詞。級(jí)數(shù)收斂概念的逐漸明確有力地幫助了微積分基本概念的形成。
2.級(jí)數(shù)的發(fā)展及理論形成
微積分在創(chuàng)立的初期就為級(jí)數(shù)理論的開展提供了基本的素材。它通過(guò)自己的基本運(yùn)算與級(jí)數(shù)運(yùn)算的純形式的結(jié)合,達(dá)到了一些初等函數(shù)的(冪)級(jí)數(shù)展開。在此以后,級(jí)數(shù)便作為分析函數(shù)的等價(jià)物,用來(lái)計(jì)算函數(shù)的值,代表函數(shù)參加運(yùn)算,同時(shí)所得結(jié)果闡釋函數(shù)的性質(zhì)。在運(yùn)算過(guò)程中,級(jí)數(shù)被視為多項(xiàng)式的直接的代數(shù)推廣。這些基本觀點(diǎn)的運(yùn)用一直持續(xù)到19世紀(jì)初年,獲得了豐碩的成果。這些成果主要?dú)w功于歐拉、雅各布第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里葉等。
同時(shí),悖論性等式的不時(shí)出現(xiàn)(如1/2=1-1+1-1+…,-1=1+2+4+8+…之類)促使人們逐漸地自覺到級(jí)數(shù)的無(wú)限多項(xiàng)之和有別于有限多項(xiàng)之和這一基本事實(shí),注意到函數(shù)的級(jí)數(shù)展開的有效性表現(xiàn)為級(jí)數(shù)的部分和無(wú)限趨近于函數(shù)值這一收斂現(xiàn)象,提出了收斂定義的確切陳述,從而開始了分析學(xué)的嚴(yán)密化運(yùn)動(dòng)(B.波爾查諾1817、柯西1821、阿貝爾1826)。
微積分基本運(yùn)算與級(jí)數(shù)運(yùn)算相結(jié)合,引導(dǎo)人們加強(qiáng)或縮小收斂性而提出一致收斂的概念[K.(T.W.)外爾斯特拉斯(1841)、G.G.斯托克斯(1847)、 P.L.von賽德爾(1848)]。然而(在天文學(xué)、物理學(xué)中,甚至在柯西本人的研究工作中)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開,作為一整個(gè)函數(shù)的分析等價(jià)物,在收斂范圍以外的不斷的成功的使用,則又迫使人們推廣或擴(kuò)大收斂概念而提出漸近性與可和性(龐加萊,1886;切薩羅,1890;波萊爾,1895)。
級(jí)數(shù)理論中的基本概念總是在其樸素意義獲得有效使用的過(guò)程中形成及發(fā)展的。高等數(shù)學(xué)對(duì)于級(jí)數(shù)的研究,級(jí)數(shù)求和問(wèn)題是級(jí)數(shù)理論中相當(dāng)重要的內(nèi)容,由于級(jí)數(shù)求和的方法很多而且難度大,因此是數(shù)學(xué)分析學(xué)中的難點(diǎn)之一。目前,系統(tǒng)講解級(jí)數(shù)求和的論著相對(duì)較少,但相關(guān)的文獻(xiàn)資料還是非常豐富。我了解到可以利用子列極限求部分和、微分方程法、歐拉常數(shù)法、利用復(fù)數(shù)求級(jí)數(shù)和等等方法。 我們很有必要了解簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)斂散性的判定及特殊級(jí)數(shù)的展開方式。
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