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    例談一類排列組合問題建模

    2017-03-02 12:14:25許年堤
    儷人·教師版 2016年18期
    關(guān)鍵詞:解題分析模型

    許年堤

    排列組合問題解題方法獨(dú)特,結(jié)果不易驗(yàn)證,思維比較抽象靈活,在解題過程中,學(xué)生往往缺乏自信心,因此在課堂教學(xué)中如果我們能把一些常見的排列、組合問題歸納、類比到一組單一的學(xué)生能掌握且比較熟悉的模型上,無疑對(duì)解題是有益的。在此筆者談?wù)劙亚蚍湃牒凶訂栴}的幾種模型。

    1 、把5個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子(不限制盒子放球數(shù),每盒最多可放5個(gè))有幾種不同的放法?

    分析:5個(gè)小球分5次放(5步),每一個(gè)小球有5種放法。

    解:有分步計(jì)數(shù)原理得

    評(píng)述:本題是利用分步原理求解,模型為n個(gè)不同的球放入m個(gè)不同的盒子中(每盒可以放n個(gè))有mn

    2、把5個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子只能放一個(gè),有幾種不同的放法?

    分析:本題就是5個(gè)不同的元素按一定順序排列的排列個(gè)數(shù),是一個(gè)典型全排列問題。

    解:

    3、把3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子只能放一個(gè),有幾種不同的放法?

    解: 或

    評(píng)述:本題是球少盒子多(元素少,位置多),可以理解為從5個(gè)不同盒子中先取出3個(gè)盒子然后將3個(gè)小球一對(duì)一的放入每個(gè)盒子即為全排列

    模型:把m個(gè)不同的元素放入n個(gè)不同的對(duì)象( )(每一個(gè)對(duì)象只能放一個(gè)元素)其排列數(shù)為 ,其實(shí)就是對(duì)排列概念的真正理解。

    4、把7個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少放一個(gè),有幾種不同的放法?

    分析:先把7個(gè)小球分成5組,再把5組(5個(gè)元素)進(jìn)行全排列,分組有兩類:1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各組的組數(shù)分別為 , 因此:N=

    評(píng)述:本題是球多盒子少(元素多,位置少),且要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球,因此要先分組(把這些元素分成與位置一樣的組)后排列;要注意寫出有幾類不同的分組,同時(shí)分組要注意平均分組和局部平均分組的計(jì)算方法。(這里就不展開了)。

    5、若5個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)盒子,每個(gè)盒子放一個(gè),且要求乙球放入的盒子編號(hào)要比甲小,丙球放入的盒子編號(hào)要比乙球小,有幾種不同的放法?

    分析:先在5個(gè)盒子中選出兩個(gè)放入另外兩個(gè)球有 ,剩下的3個(gè)盒子中按號(hào)從大到小放甲、乙、丙,只有一種方法。因此,N=

    評(píng)述:本題對(duì)3個(gè)不同小球限制了條件??瓷先ビ许樞蛳拗?,事實(shí)上是變成了與順序無關(guān)的組合問題。

    6、把紅、黃、藍(lán)、白、黑5個(gè)小球放入5個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子只能放一個(gè):

    若要求紅黃相鄰,有幾種不同的放法;

    若紅、黃不相鄰,有幾種不同的放法;

    紅球不在1號(hào)盒子,黃球不在5號(hào)盒子,有幾種不同的放法?

    分析:(1)把紅黃兩個(gè)球看作一個(gè)整體與另外3個(gè)小球進(jìn)行全排列有 ,又紅黃兩個(gè)小球可以進(jìn)行全排列 ,故N=

    (2)因?yàn)榱硗?個(gè)小球能制造4個(gè)空檔,所以先3個(gè)小球的全排列有 ,而紅、黃兩球的排法有 ,故N=

    (3)本題可用間接法

    評(píng)述:(1)(2)兩題是常見的相鄰與不相鄰問題,分別采用捆綁法和插空法,學(xué)生應(yīng)該比較熟悉。而(3)是常見的對(duì)元素(或位置)進(jìn)行限制的問題。分別對(duì)兩個(gè)元素限制不能排在某兩個(gè)位置上的排列模型為: 或

    7、3個(gè)相同的小球放入到5個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子只能放一個(gè),有幾種不同的放法?

    分析:先從5個(gè)盒子中任取3個(gè)盒子有 種,由于放入的是相同的元素,故是無序問題,所以N= 。

    評(píng)述:本題突出了球相同,說的是把相同的元素放入到不同的位置,是組合問題,是對(duì)組合概念的具體化,不過其特點(diǎn)是球少盒子多。(元素少,位置多)

    8、把7個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子,要求每個(gè)盒子至少放一個(gè),有幾種不同的放法?

    分析:法一:先把7個(gè)小球分成5組有以下幾類:1、1、1、1、3或1、1、1、2、2,∵元素是相同的,故第一種有 (或 ),第二種有 (或 )∴N= + =15

    法二:相同元素分配用擋板法,故有 =15種

    評(píng)述:本題是相同小球m個(gè)放入n個(gè)不同的盒子(m>n),每個(gè)盒子中至少一個(gè)元素,用擋板法比較簡(jiǎn)練,類似的有名額分配問題。

    引申:若把12個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子,要求每個(gè)盒子至少放2個(gè),有幾種不同的放法?

    分析:先在每個(gè)盒子上先放上1個(gè)小球,再將剩下的7個(gè)小球用擋板法分別放入到5個(gè)盒子中,有 =15種

    評(píng)述:本題是先為利用擋板法創(chuàng)造條件,因?yàn)槭褂脫醢宸ǖ那疤嵋话闶潜WC“至少一個(gè)”,且“各元素是相同的”,要注意與不同元素的分組問題的區(qū)別。

    上述幾種類型基本涉及到了中學(xué)階段一些排列組合問題,學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練中若能有意識(shí)地對(duì)照這些類型尋找與之相同的題型,逐漸形成解題的模型。對(duì)提高學(xué)生的審題能力、思維的敏捷性和解題的自信心是有幫助的。

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