許年堤
排列組合問題解題方法獨特,結(jié)果不易驗證,思維比較抽象靈活,在解題過程中,學(xué)生往往缺乏自信心,因此在課堂教學(xué)中如果我們能把一些常見的排列、組合問題歸納、類比到一組單一的學(xué)生能掌握且比較熟悉的模型上,無疑對解題是有益的。在此筆者談?wù)劙亚蚍湃牒凶訂栴}的幾種模型。
1 、把5個不同的小球放入5個不同的盒子(不限制盒子放球數(shù),每盒最多可放5個)有幾種不同的放法?
分析:5個小球分5次放(5步),每一個小球有5種放法。
解:有分步計數(shù)原理得
評述:本題是利用分步原理求解,模型為n個不同的球放入m個不同的盒子中(每盒可以放n個)有mn
2、把5個不同的小球放入5個不同的盒子,每個盒子只能放一個,有幾種不同的放法?
分析:本題就是5個不同的元素按一定順序排列的排列個數(shù),是一個典型全排列問題。
解:
3、把3個不同的小球放入5個不同的盒子,每個盒子只能放一個,有幾種不同的放法?
解: 或
評述:本題是球少盒子多(元素少,位置多),可以理解為從5個不同盒子中先取出3個盒子然后將3個小球一對一的放入每個盒子即為全排列
模型:把m個不同的元素放入n個不同的對象( )(每一個對象只能放一個元素)其排列數(shù)為 ,其實就是對排列概念的真正理解。
4、把7個不同的小球放入5個不同的盒子,每個盒子至少放一個,有幾種不同的放法?
分析:先把7個小球分成5組,再把5組(5個元素)進行全排列,分組有兩類:1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各組的組數(shù)分別為 , 因此:N=
評述:本題是球多盒子少(元素多,位置少),且要求每個盒子至少放一個球,因此要先分組(把這些元素分成與位置一樣的組)后排列;要注意寫出有幾類不同的分組,同時分組要注意平均分組和局部平均分組的計算方法。(這里就不展開了)。
5、若5個不同的小球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子,每個盒子放一個,且要求乙球放入的盒子編號要比甲小,丙球放入的盒子編號要比乙球小,有幾種不同的放法?
分析:先在5個盒子中選出兩個放入另外兩個球有 ,剩下的3個盒子中按號從大到小放甲、乙、丙,只有一種方法。因此,N=
評述:本題對3個不同小球限制了條件??瓷先ビ许樞蛳拗疲聦嵣鲜亲兂闪伺c順序無關(guān)的組合問題。
6、把紅、黃、藍、白、黑5個小球放入5個不同的盒子中,每個盒子只能放一個:
若要求紅黃相鄰,有幾種不同的放法;
若紅、黃不相鄰,有幾種不同的放法;
紅球不在1號盒子,黃球不在5號盒子,有幾種不同的放法?
分析:(1)把紅黃兩個球看作一個整體與另外3個小球進行全排列有 ,又紅黃兩個小球可以進行全排列 ,故N=
(2)因為另外3個小球能制造4個空檔,所以先3個小球的全排列有 ,而紅、黃兩球的排法有 ,故N=
(3)本題可用間接法
評述:(1)(2)兩題是常見的相鄰與不相鄰問題,分別采用捆綁法和插空法,學(xué)生應(yīng)該比較熟悉。而(3)是常見的對元素(或位置)進行限制的問題。分別對兩個元素限制不能排在某兩個位置上的排列模型為: 或
7、3個相同的小球放入到5個不同的盒子,每個盒子只能放一個,有幾種不同的放法?
分析:先從5個盒子中任取3個盒子有 種,由于放入的是相同的元素,故是無序問題,所以N= 。
評述:本題突出了球相同,說的是把相同的元素放入到不同的位置,是組合問題,是對組合概念的具體化,不過其特點是球少盒子多。(元素少,位置多)
8、把7個相同的小球放入5個不同的盒子,要求每個盒子至少放一個,有幾種不同的放法?
分析:法一:先把7個小球分成5組有以下幾類:1、1、1、1、3或1、1、1、2、2,∵元素是相同的,故第一種有 (或 ),第二種有 (或 )∴N= + =15
法二:相同元素分配用擋板法,故有 =15種
評述:本題是相同小球m個放入n個不同的盒子(m>n),每個盒子中至少一個元素,用擋板法比較簡練,類似的有名額分配問題。
引申:若把12個相同的小球放入5個不同的盒子,要求每個盒子至少放2個,有幾種不同的放法?
分析:先在每個盒子上先放上1個小球,再將剩下的7個小球用擋板法分別放入到5個盒子中,有 =15種
評述:本題是先為利用擋板法創(chuàng)造條件,因為使用擋板法的前提一般是保證“至少一個”,且“各元素是相同的”,要注意與不同元素的分組問題的區(qū)別。
上述幾種類型基本涉及到了中學(xué)階段一些排列組合問題,學(xué)生在平時訓(xùn)練中若能有意識地對照這些類型尋找與之相同的題型,逐漸形成解題的模型。對提高學(xué)生的審題能力、思維的敏捷性和解題的自信心是有幫助的。