非緊致阻抗圓柱氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)與控制方法

宋亞輝，劉亞梅，劉秋洪

（1.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，西安 710089； 2.西安遠(yuǎn)方航空技術(shù)發(fā)展總公司，西安 710089；3.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072）

非緊致阻抗圓柱氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)與控制方法

宋亞輝1，劉亞梅2，劉秋洪3

（1.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，西安 710089； 2.西安遠(yuǎn)方航空技術(shù)發(fā)展總公司，西安 710089；3.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072）

為預(yù)測(cè)非定常流動(dòng)與非緊致阻抗固體邊界相互作用產(chǎn)生的氣動(dòng)噪聲，開(kāi)發(fā)一種基于精確格林函數(shù)和聲模擬理論的氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)方法。非緊致阻抗邊界對(duì)聲波的散射作用計(jì)入精確格林函數(shù)，遠(yuǎn)場(chǎng)噪聲采用FW-H方程計(jì)算。對(duì)具有任意幾何外形的非緊致阻抗邊界，采用邊界元方法計(jì)算滿(mǎn)足聲學(xué)硬邊界或聲學(xué)阻抗邊界條件的精確格林函數(shù)。同時(shí)，推導(dǎo)了具有阻抗邊界條件的二維非緊致圓柱精確格林函數(shù)的解析解用以驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算方法。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明數(shù)值解與解析解的結(jié)果一致，數(shù)值解要取得好的網(wǎng)格收斂效果需要在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)布置至少20個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)。圓柱繞流氣動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)結(jié)果表明，非緊致邊界的阻抗特性對(duì)聲傳播有顯著影響，采用合適的阻抗布置方式可以取得有效的噪聲控制效果。

聲學(xué)；氣動(dòng)噪聲；聲模擬；格林函數(shù)；阻抗邊界；非緊致邊界

氣動(dòng)噪聲的定量預(yù)測(cè)是航空航天領(lǐng)域眾多學(xué)者關(guān)注但又十分棘手的問(wèn)題。氣動(dòng)噪聲是氣流與固體相互作用產(chǎn)生，為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)噪聲的大小，需要考慮固體邊界對(duì)聲波的散射作用。計(jì)算流體力學(xué)和聲模擬理論相結(jié)合的方法(一般采用FW-H方程[1]和自由空間格林函數(shù))是迄今為止工程應(yīng)用中最受歡迎的氣動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)方法。盡管聲模擬理論在推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有要求固體邊界必須是緊致邊界(即邊界的幾何特征尺寸遠(yuǎn)小于聲波的波長(zhǎng))，但是當(dāng)流場(chǎng)求解精度不能獲取聲學(xué)變量的波動(dòng)時(shí)，直接應(yīng)用FW-H方程和自由空間格林函數(shù)求解非緊致結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)噪聲會(huì)無(wú)法考慮固體邊界對(duì)聲波的散射作用。

聲波輻射到結(jié)構(gòu)表面時(shí)，如果被結(jié)構(gòu)邊界全部反射掉，此結(jié)構(gòu)稱(chēng)為聲學(xué)硬邊界，如果被結(jié)構(gòu)邊界部分反射，則該結(jié)構(gòu)屬于阻抗邊界。聲襯[2]是一種在航空領(lǐng)域較常見(jiàn)的噪聲控制方法，當(dāng)聲源發(fā)出的聲波輻射到聲襯表面時(shí)，一部分聲波被聲襯散射，而另一部分聲波被聲襯吸收。因此聲襯是一種聲學(xué)阻抗邊界。若流場(chǎng)求解精度不能獲取聲學(xué)變量的波動(dòng)，采用自由空間格林函數(shù)求解FW-H方程同樣無(wú)法考慮阻抗固體邊界對(duì)聲波的散射和吸收作用。

隨著計(jì)算流體力學(xué)和計(jì)算聲學(xué)的快速發(fā)展，大量學(xué)者就非緊致結(jié)構(gòu)對(duì)聲波的散射開(kāi)展了卓有成效的研究工作，主要包括：計(jì)算氣動(dòng)聲學(xué)方法[3–4]、基于Lighthill聲模擬方程變分形式的有限元法[5–6]、基于聲模擬理論和自由空間格林函數(shù)的邊界積分方法[7–9]和尋求滿(mǎn)足邊界散射條件的精確格林函數(shù)方法[10–12,16]。上述氣動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)方法中的第二種和第三種方法都假定固體邊界為聲學(xué)硬邊界，不能考慮邊界阻抗特性對(duì)聲傳播的影響。計(jì)算氣動(dòng)聲學(xué)方法可以考慮阻抗邊界對(duì)聲傳播的影響，但需要將頻域阻抗邊界條件轉(zhuǎn)化為時(shí)域阻抗邊界條件[13]，同時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)邊界還須采用特殊方法處理[14]以保證聲學(xué)數(shù)據(jù)不被污染，因其計(jì)算量巨大而難以在工程中應(yīng)用。

本文在利用上述第四種方法研究氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)方法[15–16]過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，可以將頻域阻抗邊界條件直接施加到固體邊界上，從而將阻抗邊界對(duì)聲傳播的影響計(jì)入精確格林函數(shù)，這為解決聲學(xué)阻抗邊界的聲散射問(wèn)題提供了新思路。本文發(fā)展一種基于精確格林函數(shù)數(shù)值計(jì)算的非緊致阻抗邊界氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)方法，采用發(fā)展的數(shù)值預(yù)測(cè)方法對(duì)圓柱繞流的氣動(dòng)噪聲進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)在圓柱邊界上布置聲襯的方法對(duì)氣動(dòng)噪聲控制方法進(jìn)行分析。

1 氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)方法

當(dāng)固體邊界靜止時(shí)，F(xiàn)W-H方程在頻域下可寫(xiě)成

其中，x和y分別表示觀察點(diǎn)和源點(diǎn)位置，V是產(chǎn)生聲源的流動(dòng)區(qū)域，S是物體邊界，n是邊界上指向流動(dòng)區(qū)域的單位法向量，ph為單位面積物體邊界作用在流體上的力，pa為聲壓，ω是圓頻率，G(x,y,ω)是格林函數(shù)，滿(mǎn)足方程

對(duì)于非緊致阻抗邊界，G(x,y,ω)在邊界上滿(mǎn)足

其中β=0時(shí)為聲學(xué)硬邊界，時(shí)為聲學(xué)阻抗邊界，Z(ω)為邊界的阻抗，i為表示虛數(shù)單位。對(duì)靜止、均勻的聲傳播介質(zhì)，其密度為ρ0。

將式(3)代入式(1)，即可得到非緊致邊界氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)方法的基本方程

式(4)就是采用精確格林函數(shù)得到的考慮邊界散射和阻抗影響的FW-H方程。式(4)所用到的格林函數(shù)與自由空間格林函數(shù)不同，它需要滿(mǎn)足式(3)給定的非緊致阻抗邊界條件。因此，在利用式(4)進(jìn)行聲學(xué)積分之前，需要獲得精確格林函數(shù)的解。

2 精確格林函數(shù)數(shù)值計(jì)算方法

本文在文獻(xiàn)[15]中的聲學(xué)硬邊界精確格林函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，阻抗邊界精確格林函數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似，結(jié)合阻抗邊界精確格林函數(shù)在邊界上滿(mǎn)足的表達(dá)式(3)，可得其表達(dá)式為

式中，z為邊界S上的點(diǎn)。當(dāng)β=0時(shí)，式(5)退化為聲學(xué)硬邊界精確格林函數(shù)。根據(jù)式(5)可以看出，在求解G(x,y,ω)之前，需要先計(jì)算邊界上的G(x,z,ω)。可將源點(diǎn)y無(wú)限趨近于散射邊界，從而將方程(5)寫(xiě)為

式中，Φ(z)是邊界上點(diǎn)z處的內(nèi)固體角，S′是邊界S除去積分奇點(diǎn)后的部分。式(6)可離散為

式中，m,n=1,2,3,…M，M為邊界離散單元的數(shù)量。可采用Gauss-Legendre方法求解線(xiàn)性方程組(7)，將結(jié)果代入式(6)的右端，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)精確格林函數(shù)的數(shù)值計(jì)算。

3 二維阻抗圓柱格林函數(shù)解析解

數(shù)值方法的正確性可以采用理論解析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證?？疾熳杂煽臻g中半徑為a的二維圓柱，在圓柱坐標(biāo)系下，源點(diǎn)和觀察點(diǎn)坐標(biāo)分別為(ry,θy)和(rx,θx)。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，自由空間格林函數(shù)為

式中，當(dāng)m=0時(shí)，εm=1，當(dāng)m＞0時(shí)是m階Bessel函數(shù)，是m階Hankel函數(shù)，

假設(shè)散射格林函數(shù)具有如下表達(dá)形式

那么解析解可以表示為GA=G0+GS。則在圓柱表面rx=a處，邊界條件為

將(12)和(13)代入(14)，可得

當(dāng)觀察點(diǎn)位于遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)，二維圓柱阻抗邊界精確格林函數(shù)的解析解表達(dá)式可以寫(xiě)成

當(dāng)β=0時(shí)，式(12)可以退化為聲學(xué)硬邊界圓柱精確格林函數(shù)的解析解。

4 非緊致阻抗圓柱氣動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)

4.1 精確格林函數(shù)數(shù)值計(jì)算方法的驗(yàn)證

采用二維圓柱對(duì)單位點(diǎn)聲源的聲散射算例來(lái)驗(yàn)證本文提出的精確格林函數(shù)數(shù)值計(jì)算方法。本文作者在文獻(xiàn)[15]中對(duì)圓柱硬邊界條件下的非緊致精確格林函數(shù)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，得到了與相應(yīng)的解析解一致的結(jié)果，因此本文僅對(duì)圓柱阻抗邊界條件下的非緊致格林函數(shù)數(shù)值計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓柱中心，X軸方向與自由來(lái)流相同，圓柱半徑a=0.05m，點(diǎn)源位于觀察點(diǎn)位于直徑為256a的圓上。因二維圓柱繞流具有對(duì)稱(chēng)性，僅給出半圓上的觀察點(diǎn)的結(jié)果。

邊界阻抗由以下表達(dá)式給出

阻抗是復(fù)數(shù)，其實(shí)部R稱(chēng)為聲阻，虛部X稱(chēng)為聲抗，這兩部分均依賴(lài)于聲波頻率、媒質(zhì)等因素，實(shí)際應(yīng)用中一般采用經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)確定阻抗的值。本文采用的聲阻和聲抗的解析表達(dá)式為

式中ρ0c0為空氣的特性阻抗。

采用沿圓周均勻分布的線(xiàn)網(wǎng)格對(duì)二維圓柱進(jìn)行離散，為研究網(wǎng)格密度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，考慮了四種網(wǎng)格，網(wǎng)格數(shù)量分別為45、90、180和360。k=185時(shí)，四種網(wǎng)格相當(dāng)于在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)分別有5、10、20和40個(gè)網(wǎng)格單元。圖1為圓柱聲學(xué)硬邊界條件下的精確格林函數(shù)指向性數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解析解的對(duì)比，可以看出，后三種細(xì)致網(wǎng)格的數(shù)值解與理論解比較一致。從放大圖可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)布置20個(gè)點(diǎn)時(shí)，才能滿(mǎn)足邊界元噪聲計(jì)算結(jié)果的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性要求。

圖1 精確格林函數(shù)的指向性分布隨網(wǎng)格的變化

圖2(a)為圓柱硬邊界和阻抗邊界條件下k=1時(shí)的精確格林函數(shù)指向性的數(shù)值解與解析解的對(duì)比。此時(shí)，聲波波長(zhǎng)與圓柱直徑的比為63，聲波的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于圓柱直徑，圓柱邊界是聲學(xué)緊致邊界。圖2(b)為圓柱阻抗邊界和阻抗邊界條件下k=20時(shí)的精確格林函數(shù)指向性的數(shù)值解與解析解的對(duì)比。此時(shí)聲波波長(zhǎng)與圓柱直徑的比約為3，圓柱邊界是聲學(xué)非緊致邊界?？梢钥闯?，精確格林函數(shù)的數(shù)值解在各觀察點(diǎn)和波數(shù)下均與解析解一致。對(duì)緊致圓柱邊界，由于聲波可以繞過(guò)圓柱，因此邊界阻抗對(duì)聲的傳播沒(méi)有影響。而對(duì)非緊致圓柱邊界，圓柱阻抗對(duì)聲波的傳播存在顯著影響。

4.2 氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果與分析

4.2.1 流動(dòng)計(jì)算結(jié)果

流動(dòng)計(jì)算參數(shù)為：圓柱直徑D=0.1 m，雷諾數(shù)ReD=90 000，均勻來(lái)流馬赫數(shù)Ma=0.2。采用二維非定常不可壓縮流體的雷諾時(shí)均Naiver-Stokes方程求解，湍流模型采用k-ωSST。

圖2 圓柱硬邊界和阻抗邊界精確格林函數(shù)指向性結(jié)果對(duì)比

圖3 升力系數(shù)和阻力系數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖3為圓柱壁面升力系數(shù)Cl和阻力系數(shù)Cd隨時(shí)間的變化歷程，可以看出，二維圓柱繞流具有明顯的周期性。

本文的重點(diǎn)在于提出和驗(yàn)證氣動(dòng)噪聲計(jì)算方法，這里不再對(duì)流動(dòng)做進(jìn)一步的計(jì)算分析。氣動(dòng)噪聲數(shù)值方法的正確性可以采用理論解析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

4.2.2 聲學(xué)硬邊界條件下氣動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)結(jié)果

圖4是分別采用精確格林函數(shù)和自由空間格林函數(shù)求解FW-H方程得到的圓柱硬邊界聲壓指向性圖。當(dāng)頻率f=f0時(shí)，聲波波長(zhǎng)為21.6D，兩種方法得到的結(jié)果基本一致，圓柱對(duì)聲波的散射作用可以忽略。而隨著頻率增高，當(dāng)頻率f=4f0時(shí)，聲波波長(zhǎng)為5.4D，兩種方法得到的結(jié)果出現(xiàn)了較為明顯的差異。隨著波長(zhǎng)和圓柱邊界特征尺寸的接近，圓柱呈現(xiàn)明顯的非緊致特性，對(duì)聲波的散射作用不可忽略。

圖4 圓柱硬邊界的聲壓指向性圖

4.2.3 聲學(xué)阻抗邊界條件下氣動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)結(jié)果

通過(guò)在圓柱表面不同位置施加阻抗邊界條件來(lái)考察對(duì)邊界阻抗對(duì)聲傳播的影響。設(shè)計(jì)3種方案，如圖5所示。

圖5 圓柱阻抗邊界條件的施加三種方式

圓柱施加阻抗邊界條件的聲壓指向性如圖6所示。施加阻抗邊界條件之后，噪聲的指向性有明顯的變化。在渦脫落頻率，3種方案的各方向上的觀察點(diǎn)聲壓均有所降低。在兩倍渦脫落頻率，3種方案在右半平面范圍內(nèi)的觀察點(diǎn)有明顯的消聲效果，而方案1和3在左半平面觀察點(diǎn)的聲壓和聲壓級(jí)反而增加。這表明，采用布置消聲襯墊的方法消聲，應(yīng)充分考慮消聲襯墊的阻抗特性和布置位置以及需要控制的噪聲的頻段。綜合來(lái)看，方案2的消聲效果較為理想。

圖6 圓柱阻抗邊界的聲壓指向性圖

選取四個(gè)位于直角坐標(biāo)軸上的觀察點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為 ：點(diǎn) 1(128D,0)、點(diǎn) 2(0,128D)、點(diǎn) 3 (-128D，0)、點(diǎn)4(0，-128D)。表1是圓柱表面施加阻抗邊界條件后相比于聲學(xué)硬邊界的總聲壓級(jí)降噪量，正的降噪量表示相比于硬邊界總聲壓級(jí)降低，負(fù)的降噪量表示總聲壓級(jí)增加。

不同的阻抗施加方案取得的降噪效果不同，方案2在4個(gè)觀察點(diǎn)處均取得了有效的降噪效果。表1中的數(shù)據(jù)是根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)而得，是否與工程實(shí)際一致還有待于實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步驗(yàn)證。

表1 阻抗邊界的消聲效果 dB

5 結(jié)語(yǔ)

本文發(fā)展了一種基于精確格林函數(shù)數(shù)值計(jì)算的非緊致阻抗邊界氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)方法，適用于幾何外形復(fù)雜的邊界與非定常流動(dòng)相互作用誘發(fā)的氣動(dòng)噪聲的數(shù)值預(yù)測(cè)。通過(guò)對(duì)圓柱繞流誘發(fā)的氣動(dòng)噪聲的數(shù)值預(yù)測(cè)，對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證分析。所得結(jié)論如下：

(1)推導(dǎo)了阻抗邊界條件下二維非緊致圓柱空間的精確格林函數(shù)解析解，聲學(xué)硬邊界條件下的解析解是該解的一種特殊情況；

(2)采用邊界元方法數(shù)值計(jì)算滿(mǎn)足相應(yīng)邊界條件的精確格林函數(shù)，結(jié)果顯示數(shù)值解和解析解一致，數(shù)值解要取得好的網(wǎng)格收斂效果需要在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)布置20個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)；

(3)與采用自用空間格林函數(shù)求解FW-H方程的方法相比，本文提出的氣動(dòng)噪聲數(shù)值預(yù)測(cè)方法不僅能夠考慮非緊致邊界對(duì)聲波的散射，還能考慮阻抗邊界對(duì)聲傳播的影響，能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)流動(dòng)誘發(fā)的氣動(dòng)噪聲；

(4)噪聲預(yù)測(cè)結(jié)果顯示在圓柱表面施加阻抗邊界條件能有效控制噪聲，為今后噪聲的實(shí)際控制提供了理論基礎(chǔ)。

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Numerical Prediction and Control Method ofAerodynamic Noise from a Non-compact Circular Cylinder with Impedance Boundaries

SONG Ya-hui1,LIU Ya-mei2,LIU Qiu-hong3
(1.China Flight Test Establishment,Xi’an 710089,China; 2.Xi’an Yuan Fang GeneralAviation Technology Development Corporation,Xi’an 710089,China; 3.School ofAeronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

In order to predict the noise induced by the interaction between the unsteady flow and the solid boundaries, an aerodynamic noise prediction method is proposed based on the exact Green’s function and acoustic simulation theory. The scattering effect from the non-compact bodies with impedance boundaries is evaluated by the exact Green’s function. The sound far-fields are predicted with the FW-H equation.For the boundaries of arbitrarily shaped non-compact bodies,the BEM is used to calculate the exact Green’s function which satisfies the acoustic hard boundary condition or impedance boundary condition.Meanwhile,the analytical solution of the exact Green’s function for a two-dimensional non-compact cylinder with an impedance boundary condition is derived for validation.The results show that the numerical solution and the analytical solution are in excellent agreement when the number of the grid points per acoustic wavelength reaches 20. Moreover,the impedance of the non-compact body has a strong impact on the sound propagation.An effective noise reduction can be achieved if the impedance is properly distributed.

acoustics;aerodynamic noise;acoustic analogy;Green’s function;impedance boundary;non-compact boundary

O42；O355

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2017.01.008

1006-1355(2017)01-0035-05+48

2016-08-31

宋亞輝（1985－），男，河南省鹿邑縣人，碩士，工程師，主要研究方向?yàn)轱w機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。E-mail:songyahuilym@163.com

劉秋洪（1978－），男，湖南省茶陵人，副教授，主要研究方向?yàn)橛?jì)算液體力學(xué)和氣動(dòng)聲學(xué)。E-mail:qhliu@nwpu.edu.cn