高斯激勵(lì)黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)響應(yīng)特性

張四康，應(yīng)祖光

（浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

高斯激勵(lì)黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)響應(yīng)特性

張四康，應(yīng)祖光

（浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

黏彈性夾層梁的隨機(jī)振動(dòng)控制是一個(gè)重要的實(shí)際問題?；谛阅芸煽仞椥泽w的夾層梁具有無需改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可優(yōu)化性而倍受關(guān)注。雖然關(guān)于該可控黏彈性夾層梁的振動(dòng)已有一定研究，但所用的動(dòng)力學(xué)模型在幾何或物理上是線性的，而對(duì)于較強(qiáng)激勵(lì)情況則需要考慮非線性因素。首次考慮該黏彈性體的物理非線性，建立黏彈性夾層梁及其支承質(zhì)量系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，并離散化為多模態(tài)耦合的非線性振動(dòng)方程；對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法推導(dǎo)等價(jià)擬線性系統(tǒng)，并計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，得到黏彈性夾層梁非線性隨機(jī)振動(dòng)的均方位移，及等價(jià)的頻響函數(shù)和功率譜，用以評(píng)價(jià)可控黏彈性夾層梁的響應(yīng)抑制性能。

振動(dòng)與波；隨機(jī)振動(dòng)；非線性復(fù)合梁；統(tǒng)計(jì)線性化；高斯平穩(wěn)激勵(lì)；均方根響應(yīng)

梁是一個(gè)典型的工程結(jié)構(gòu)，其隨機(jī)振動(dòng)控制是重要的實(shí)際問題，采用黏彈性材料構(gòu)造復(fù)合梁是振動(dòng)控制的一個(gè)有效措施。關(guān)于不可控阻尼夾層梁的振動(dòng)抑制已有很多研究[1–3]。近年來發(fā)展了一種磁控的黏彈性體[4]，其模量或剛度及損耗因子等可通過外加磁場(chǎng)調(diào)節(jié)。該可控的黏彈性體已用于構(gòu)造復(fù)合梁以抑制振動(dòng)，它具有無需改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可優(yōu)化性、及對(duì)于較寬激勵(lì)頻帶的適應(yīng)性等優(yōu)點(diǎn)。關(guān)于該可控黏彈性夾層梁的頻響特性、周期振動(dòng)響應(yīng)、隨機(jī)微振動(dòng)響應(yīng)等已有一定研究[5–10]，但所用的動(dòng)力學(xué)模型在幾何和物理上都是線性的。然而，當(dāng)作用力與變形增大時(shí)，該黏彈性體首先表現(xiàn)出物理非線性[11]。因此，對(duì)于較強(qiáng)激勵(lì)下黏彈性夾層梁的振動(dòng)需要考慮其非線性因素。

高斯隨機(jī)激勵(lì)是較為普遍的環(huán)境載荷，對(duì)于這類寬頻帶激勵(lì)需要考慮黏彈性夾層梁的多模態(tài)耦合振動(dòng)，而多自由度(特別是高自由度)非線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)分析仍是目前一個(gè)復(fù)雜而困難的問題。對(duì)于該黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)外激振動(dòng)，統(tǒng)計(jì)線性化法是目前一個(gè)主要而有效的分析方法[12]。隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的分析解是評(píng)估黏彈性夾層梁振動(dòng)抑制效果的依據(jù)。

本文考慮可控黏彈性體的物理非線性，研究該黏彈性夾層梁在隨機(jī)支座運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下的非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)。先基于黏彈性體的非線性本構(gòu)關(guān)系，按照復(fù)合結(jié)構(gòu)理論，建立黏彈性夾層梁及其支承質(zhì)量系統(tǒng)關(guān)于縱橫位移的非線性耦合運(yùn)動(dòng)微分方程；再根據(jù)伽遼金法將該偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組，得到關(guān)于梁橫向位移的多自由度非線性振動(dòng)方程；然后根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法推導(dǎo)等價(jià)擬線性系統(tǒng)，并計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，得到黏彈性夾層梁非線性隨機(jī)振動(dòng)的均方位移，同時(shí)得到等價(jià)的頻響函數(shù)和功率譜；最后給出數(shù)值結(jié)果，說明可控黏彈性夾層梁的響應(yīng)抑制性能。

1 非線性黏彈性夾層梁的振動(dòng)方程

考慮黏彈性夾層梁及其支承集中質(zhì)量系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，上下兩層是彈性材料，其厚度、彈性模量、密度分別為h1、E1、ρ1，中間層是可控黏彈性材料(例如剪切模量可由外部磁場(chǎng)調(diào)節(jié))，其厚度、密度分別為h2、ρ2，其彈性模量相比彈性層小得多故而不計(jì)，剪切模量為G2，處于任意位置的支承物的單位面積質(zhì)量為m。夾層梁受隨機(jī)支座運(yùn)動(dòng)(垂直位移w0)激勵(lì)，設(shè)為高斯平穩(wěn)過程。

圖1 黏彈性夾層梁及質(zhì)量系統(tǒng)

對(duì)于較強(qiáng)振動(dòng)，考慮黏彈性體的物理非線性，其切應(yīng)力τ2與切應(yīng)變?chǔ)?的關(guān)系表示為[11]

式中G2k和Gck是常數(shù)，t是時(shí)間。

根據(jù)多層復(fù)合結(jié)構(gòu)理論與梁的基本假設(shè)，夾層梁的上、下層中任意點(diǎn)的縱向(x軸方向)位移u1與u3可分別表示為[1–3]

式中u10與u30分別是上、下層的中性層的縱向(x軸方向)位移，w是梁的橫向(z軸方向)位移，x與z坐標(biāo)如圖1所示。由幾何關(guān)系計(jì)算各層中點(diǎn)的縱向正應(yīng)變，再由物理關(guān)系得到相應(yīng)正應(yīng)力為

從而由單元體x方向的平衡可計(jì)算上下層的切應(yīng)力τ1和τ3。假設(shè)中間黏彈性層的橫截面始終保持平面，利用式(2)計(jì)算其切應(yīng)變，再由式(1)得到相應(yīng)切應(yīng)力為

式中ha=h1+h2。不計(jì)相對(duì)較小的梁縱向慣性效應(yīng)?；趭A層梁界面間切應(yīng)力的連續(xù)性，可得關(guān)于縱向位移的微分方程

式中u=u10=-u30。再基于夾層梁?jiǎn)卧獄方向的動(dòng)平衡，可得關(guān)于橫向位移的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中ρht=2ρ1h1+ρ2h2，x0是集中質(zhì)量的坐標(biāo)。式(5)和(6)組成夾層梁關(guān)于縱橫位移的非線性耦合運(yùn)動(dòng)微分方程?？紤]簡(jiǎn)支梁，其邊界條件為

梁縱向與橫向振動(dòng)位移無量綱化的級(jí)數(shù)解可表達(dá)為

式中Q=[q1，q2，…，qn]T，M、C、K分別是廣義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，CN、KN分別是非線性阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)是廣義激勵(lì)向量，來自式(6)中的慣性力。方程式(9)描述了黏彈性夾層梁的非線性多模態(tài)或多自由度系統(tǒng)受隨機(jī)外激的耦合振動(dòng)。

2 基于統(tǒng)計(jì)線性化的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)

黏彈性夾層梁在隨機(jī)支座運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下的振動(dòng)為隨機(jī)過程。對(duì)于受隨機(jī)外激的多自由度非線性系統(tǒng)式(9)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法[12]，設(shè)其等價(jià)擬線性系統(tǒng)為

式中Ceq、Keq分別是等價(jià)線性阻尼和剛度矩陣。根據(jù)式(9)與式(10)左邊之差的均方極小，可得關(guān)于Ceq與Keq的代數(shù)方程組為

式中E[?]是期望算子。由式(11)和式(12)解得等價(jià)線性阻尼與剛度，代入式(10)即可確定等價(jià)擬線性系統(tǒng)。對(duì)于高斯過程，等價(jià)線性阻尼和剛度依賴于系統(tǒng)式(10)的均方響應(yīng)。由等價(jià)線性系統(tǒng)式(10)可得等價(jià)的頻響函數(shù)與響應(yīng)功率譜密度矩陣分別為

式中ω是振動(dòng)頻率，SF是激勵(lì)功率譜，*表示復(fù)共軛，j是虛數(shù)單位。再利用式(8)可計(jì)算黏彈性夾層梁的頻響函數(shù)與響應(yīng)功率譜密度，由此可進(jìn)一步計(jì)算響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量，例如無量綱均方位移為

式中ωg、ζg是常數(shù)，S0是激勵(lì)強(qiáng)度參數(shù)。計(jì)算過程如下：選取均方響應(yīng)初值，由式(11)和式(12)求解等價(jià)阻尼與剛度，再由式(13)和式(14)計(jì)算等價(jià)頻響函數(shù)與功率譜密度，然后計(jì)算均方響應(yīng)，迭代直至收斂，最后計(jì)算得到夾層梁的均方位移。

3 數(shù)值結(jié)果

選取黏彈性夾層梁及隨機(jī)激勵(lì)的參數(shù)為：L=4 m，h1=5 cm，h2=20 cm，ρ1=3 000 kg/m3，ρ2=1 200 kg/m3，m=80 kg/m2，E1=10 GPa，G21=2.0 MPa，G23=0.02G21，Gc1=0.2 MPa?s，Gc3=0.02Gc1，S0=1.0，ωg=23 rad/s，ζg= 0.3，wa=1，x0=0，y=0。按照上述方法計(jì)算得到數(shù)值結(jié)果，如圖2－圖4所示。

圖2 均方根位移()隨激勵(lì)強(qiáng)度(S0)變化（點(diǎn)線：線性振動(dòng)；實(shí)線：非線性振動(dòng)；點(diǎn)：數(shù)值模擬）

圖3 均方根位移()隨非線性與線性參數(shù)比值(G23/G21或Gc3/Gc1)變化（點(diǎn)線：變剛度比G23/G21，Gc3=0.02Gc1；實(shí)線：變阻尼比Gc3/Gc1，G23=0.02G21）

圖4 均方根位移()隨激勵(lì)強(qiáng)度(S0)變化（點(diǎn)線：無夾層梁；實(shí)線：夾層梁）

圖2展示了夾層梁中點(diǎn)的均方根橫向位移響應(yīng)(無量綱)隨隨機(jī)支座垂直運(yùn)動(dòng)激勵(lì)強(qiáng)度(無量綱)的變化，其中點(diǎn)線為線性振動(dòng)情形(G23=0，Gc3=0)的響應(yīng)，實(shí)線為非線性振動(dòng)情形的響應(yīng)，離散點(diǎn)為數(shù)值模擬結(jié)果，可見數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了本文的分析方法。比較兩條曲線知，硬非線性剛度(G23＞0)導(dǎo)致黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)低于線性振動(dòng)響應(yīng)，這是由于非線性系統(tǒng)剛度大于相應(yīng)線性系統(tǒng)所致，而且非線性與線性隨機(jī)響應(yīng)之差隨激勵(lì)強(qiáng)度或振動(dòng)幅值而增大，因此由于非線性效應(yīng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的大振動(dòng)響應(yīng)將低于按線性情形計(jì)算的結(jié)果。

圖3展示了夾層梁中點(diǎn)的均方根橫向位移響應(yīng)(無量綱)隨非線性與線性參數(shù)比值的變化，其中點(diǎn)線為位移響應(yīng)隨非線性與線性剛度比G23/G21的變化(Gc3=0.02Gc1)，實(shí)線為位移響應(yīng)隨非線性與線性阻尼比Gc3/Gc1的變化(G23=0.02G21)，可見夾層梁的非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)隨非線性剛度或非線性阻尼的增大而減小，當(dāng)非線性阻尼增加時(shí)振動(dòng)響應(yīng)非線性地減小，非線性阻尼較小時(shí)的一定增加對(duì)于響應(yīng)的降低作用較顯著(其他參數(shù)相同的情況下)。因此對(duì)于一定范圍內(nèi)性能可控的黏彈性材料(例如阻尼與剛度可由外部磁場(chǎng)調(diào)節(jié))，其夾層梁可無需改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，僅通過性能控制即可實(shí)現(xiàn)非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)降低的優(yōu)化。

圖4展示了夾層梁與無夾層梁中點(diǎn)的均方根橫向位移響應(yīng)(無量綱)隨隨機(jī)支座垂直運(yùn)動(dòng)激勵(lì)強(qiáng)度(無量綱)的變化，其中點(diǎn)線為無中間黏彈性層情形的響應(yīng)，實(shí)線為有中間黏彈性層情形的響應(yīng)(其中參數(shù)如上所述)，可見與無夾層梁相比，黏彈性夾層梁能夠大大降低支座運(yùn)動(dòng)激勵(lì)產(chǎn)生的非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)。因此黏彈性夾層設(shè)計(jì)可用于梁等結(jié)構(gòu)受基礎(chǔ)激勵(lì)的非線性隨機(jī)振動(dòng)控制，性能可控的黏彈性材料為該夾層結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制提供了不改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可優(yōu)化性、及對(duì)于較寬激勵(lì)頻帶的適應(yīng)性。

4 結(jié)語

本文研究了可控黏彈性夾層梁在支座運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下的非線性隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)?？紤]黏彈性體的物理非線性，建立了黏彈性夾層梁及其支承質(zhì)量系統(tǒng)關(guān)于縱橫位移的非線性耦合運(yùn)動(dòng)微分方程，根據(jù)伽遼金法導(dǎo)出關(guān)于梁橫向位移的多自由度非線性振動(dòng)方程。然后運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法推導(dǎo)出等價(jià)擬線性系統(tǒng)，并計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，得到了夾層梁非線性隨機(jī)振動(dòng)的均方位移、及等價(jià)頻響函數(shù)和功率譜等。最后通過數(shù)值結(jié)果說明了可控黏彈性夾層梁非線性隨機(jī)響應(yīng)的抑制性能、及物理非線性的影響。

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Nonlinear Random Response Characteristics of Viscoelastic Sandwich Beams under Gaussian Excitations

ZHANG Si-kang,YING Zu-guang
(Department of Mechanics,School ofAeronautics andAstronautics,Zhejiang University, Hangzhou 310027,China)

The random vibration control of viscoelastic sandwich beams is an important subject in engineering.The sandwich beams with property-controllable viscoelastic core are concerned since they can be optimized without structural change.There are some publications of studies on vibration responses of the controllable viscoelastic sandwich beams. However,the viscoelastic material dynamics in these studies were described by linear models only.Particularly,the physical nonlinearity of the viscoelastic core needs to be considered for vibration analysis under strong excitations.In this paper,a nonlinear dynamic model is employed for describing the viscoelastic constitutive relation.The differential equations of motion of a viscoelastic sandwich beam with supported mass under stationary random support excitations are derived and converted into nonlinear multi-mode coupling vibration equations by using the Galerkin method.The equivalent quasi-linear system is derived by using the statistic linearization method.The random responses such as MS displacement,the equivalent frequency response function and power spectral density of the nonlinear random vibration are obtained,which are used for evaluating the vibration suppression efficiency of the viscoelastic sandwich beam.

vibration and wave;random vibration;nonlinear sandwich beam;statistic linearization;Gaussian stationary loading;RMS response

O324；O328

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2017.01.001

1006-1355(2017)01-0001-04

2016-09-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11572279)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY15A020001)

張四康（1992－），男，湖北省仙桃市人，碩士生，主要研究方向?yàn)榉蔷€性隨機(jī)振動(dòng)。

應(yīng)祖光，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:yingzg@zju.edu.cn