“錯(cuò)位相減法”在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用研究

湖南省瀏陽(yáng)市第一中學(xué) 黎 湘

“錯(cuò)位相減法”在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用研究

湖南省瀏陽(yáng)市第一中學(xué) 黎 湘

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列問(wèn)題是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)的難點(diǎn)。具體體現(xiàn)在數(shù)列問(wèn)題涉及的公式較多，公式的變換也比較復(fù)雜。此外，出題的模式多樣化，做題的技巧也是多變的。因此，要學(xué)好數(shù)列問(wèn)題，必須充分掌握每一種做題技巧，并能熟練運(yùn)用。本文就“錯(cuò)位相減法”在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用做出幾點(diǎn)闡述。

錯(cuò)位相減法；高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；

在數(shù)列問(wèn)題運(yùn)算中，首先要對(duì)數(shù)列有明確的定義，對(duì)相關(guān)公式準(zhǔn)確記憶，并把數(shù)列的有關(guān)分類和不同的分類下所對(duì)應(yīng)題目的特點(diǎn)和運(yùn)算方法進(jìn)行有效掌握，并通過(guò)實(shí)際的訓(xùn)練鍛煉對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力和對(duì)新知識(shí)的轉(zhuǎn)化能力。

一、對(duì)數(shù)列的介紹

數(shù)列（sequence of number）是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫作首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)……排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常用an表示。數(shù)列相當(dāng)于一種特殊的函數(shù)，因?yàn)樗幸欢ǖ亩x域和值域。數(shù)列的定義域是正整數(shù)或者是它的有限子集。在解決數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，用函數(shù)的思想進(jìn)行思考，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解。其思想方法包括列表法、圖象法和解析法。對(duì)于邏輯關(guān)系較簡(jiǎn)單的數(shù)列，可以用列表法和圖象法解決，這種方法比較直觀，能看出變化的趨勢(shì)以及數(shù)列的走向。而當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜，所包含的不僅僅是簡(jiǎn)單的數(shù)值，還有未知數(shù)甚至函數(shù)關(guān)系時(shí)，就要用解析法來(lái)解決問(wèn)題，通過(guò)總結(jié)推理出數(shù)列的遞推關(guān)系式解決數(shù)列問(wèn)題。

再將數(shù)列進(jìn)行細(xì)分，可分為等差數(shù)列和等比數(shù)列。等差數(shù)列，就是一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都與前一項(xiàng)相差同一個(gè)常數(shù)。而這個(gè)相同的常數(shù)就是等差數(shù)列的公差。相同的，等比數(shù)列就是數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值都相同，為一個(gè)固定的常數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為公比。在計(jì)算與應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列和等比數(shù)列都有相應(yīng)的求和公式。等差數(shù)列的求和公式為：而等比數(shù)列的求和公式為雖然運(yùn)用公式對(duì)等差等比數(shù)列求和很方便，但是，當(dāng)出現(xiàn)公式不適用的情況時(shí)，就需要用特殊的求和方法。

二、對(duì)“錯(cuò)位相減法”的介紹

“錯(cuò)位相減法”是一種特殊的數(shù)列求和方法，它適用于一般的等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘時(shí)的求和運(yùn)算，即適用于的形式的數(shù)列運(yùn)算。在運(yùn)算時(shí)，分別列出Sn（把公式中的n從1到n分別帶入，中間部分可以省略），再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比q，即q·Sn；然后錯(cuò)開(kāi)一位，兩個(gè)式子相減。這種數(shù)列求和方法叫作錯(cuò)位相減法。

三、應(yīng)用“錯(cuò)位相減法”解決數(shù)列問(wèn)題

1．對(duì)出題形式良好把握

在講課過(guò)程中，老師要將每一種題型進(jìn)行有效的分類，讓同學(xué)們對(duì)出題形式進(jìn)行良好的把握。此外，老師在講課時(shí)也要幫助學(xué)生理解，而不是把知識(shí)“硬塞”給學(xué)生。要將“錯(cuò)位相減法”的適用題型、思維方式、應(yīng)用的具體步驟以及每一步驟的應(yīng)用思路都講給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行充分的理解。只有對(duì)思路和方法有了良好掌控，才能在真正意義上理解這種做題方法，在以后的運(yùn)用中才能更加方便靈活。

比如，在計(jì)算求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）·xn-1（x≠0，n∈N＊）時(shí)，老師應(yīng)該先帶領(lǐng)同學(xué)觀察題目，發(fā)現(xiàn)Sn的每一項(xiàng)都是兩部分相乘，再將這兩部分分別對(duì)比來(lái)看，前一項(xiàng)分別是：1、3、5、7、……n，是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列；而后一項(xiàng)分別為：x、x2、x3、x4、……xn-1，是一個(gè)以x為公比的等比數(shù)列。顯然，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘的數(shù)列，求和時(shí)應(yīng)該運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”進(jìn)行求和運(yùn)算。但是，老師要提醒學(xué)生等比數(shù)列的公比要進(jìn)行討論，分為x=1和x≠1兩種情況，再進(jìn)行接下來(lái)的運(yùn)算。

當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2。此時(shí)不需要運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”，直接就可得出結(jié)果。

當(dāng)x≠1時(shí)，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1，此時(shí)考慮“錯(cuò)位相減法”，等式兩側(cè)同時(shí)乘以公比x：

∴ xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn，

兩式相減得（1-x）Sn=1+2（x+x2+x3+x4+…+xn-1）-（2n-1）xn，

最后將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)得Sn=（1/1-x）+2x-2/（1-x）2

老師帶領(lǐng)著學(xué)生對(duì)每一步進(jìn)行分析，一起運(yùn)算。整個(gè)過(guò)程，老師只負(fù)責(zé)板書(shū)示范，學(xué)生負(fù)責(zé)思考，通過(guò)具體的舉例，加深學(xué)生對(duì)“錯(cuò)位相減法”的理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)此運(yùn)算方法的有效運(yùn)用。

2．巧妙將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生們逐漸掌握了每種題型所用的具體解決方法，在做題時(shí)，學(xué)生可以根據(jù)具體問(wèn)題做出迅速反應(yīng)，找到解題方法。但是，這也導(dǎo)致我們?cè)谒伎紗?wèn)題時(shí)過(guò)度模式化，看到問(wèn)題直接急著去給它下定義，然后找解決思路?？涩F(xiàn)在很多數(shù)列問(wèn)題都沒(méi)有明確的等差或者等比數(shù)列的標(biāo)志，需要我們進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后進(jìn)行答題。

再好的理論，沒(méi)有實(shí)踐的訓(xùn)練也是沒(méi)有實(shí)際意義的，因此，要通過(guò)具體題目進(jìn)行公式和運(yùn)算方法的練習(xí)，通過(guò)訓(xùn)練來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用能力，讓學(xué)生在主動(dòng)思考中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，在不斷練習(xí)中爭(zhēng)搶學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)。

[1]賈士代．漫談錯(cuò)位相減法的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究．1986．

[2]黃光鑫．解向量問(wèn)題的錯(cuò)位相減法[J]．?dāng)?shù)學(xué)大世界（高中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版），2005．