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    圓錐曲線(軌跡)方程的求法

    2017-02-20 14:58劉堅(jiān)吳自強(qiáng)
    高中生學(xué)習(xí)·高二版 2017年1期
    關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)焦點(diǎn)題意

    劉堅(jiān)+吳自強(qiáng)

    直接法

    例1 已知三點(diǎn)[O(0,0),A(-2,1),B(2,1),]曲線[C]上任意一點(diǎn)[M(x,y)]滿足[|MA+MB|=OM?(OA+OB)+2]. 求曲線[C]的方程.

    解析 由題意得,[MA=(-2-x,1-y),][MB=(2-x,1-y)].

    所以[|MA+MB|=(-2x)2+(2-2y)2,]

    [OM?(OA+OB)=(x,y)?(0,2)=2y].

    由題意得,[(-2x)2+(2-2y)2=2y+2].

    化簡得,曲線[C]的方程為[x2=4y].

    解讀 本題以平面向量為載體,通過向量的代數(shù)運(yùn)算,求出動(dòng)點(diǎn)所滿足的方程(或等式),化簡之后即可得到軌跡方程,此法稱為直接法. 注意:化簡時(shí),一定要具有等價(jià)性.

    定義法

    例2 已知圓[M]:[(x+1)2+y2=1],圓[N]:[(x-1)2+y2=9],動(dòng)圓[P]與[M]外切并且與圓[N]內(nèi)切,圓心[P]的軌跡為曲線[C]. 求曲線[C]的方程.

    解析 由題意得,圓[M]的圓心為[M](-1,0),半徑[r1=1];圓[N]的圓心為[N](1,0),半徑[r2]=3. 設(shè)動(dòng)圓[P]的圓心為[P(x,y)],半徑為[R].

    ∵圓[P]與圓[M]外切,且與圓[N]內(nèi)切,

    ∴[PM+PN=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4].

    由橢圓的定義可知,曲線[C]是以[M,N]為左右焦點(diǎn),實(shí)半軸長為2,短半軸長為[3]的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為[x24+y23=1(x≠-2)].

    解讀 通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種圖形,再求其軌跡方程,這種方法叫作定義法. 運(yùn)用定義法,求其軌跡,做到以下兩點(diǎn):一要熟練掌握常用軌跡的定義,如線段的垂直平分線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等;二要熟練掌握平面幾何中的一些性質(zhì)定理. 此種方法在高考中經(jīng)常出現(xiàn),如2016年全國卷I的第20題,就是這種類型.

    相關(guān)點(diǎn)法

    例 3 設(shè)點(diǎn)[A]是單位圓:[x2+y2=1]上的任意一點(diǎn),[l]是過點(diǎn)[A]與[x]軸垂直的直線,點(diǎn)[D]是直線[l]與[x]軸的交點(diǎn),點(diǎn)[M]在直線[l]上,且滿足[DM=mDA][(m>0,][且m≠1).] 當(dāng)點(diǎn)[A]在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)[M]的軌跡為曲線[C].求曲線[C]的方程,判斷曲線[C]為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

    解析 如圖,設(shè)[M(x,y)],[A(x0,y0)],

    由[DM=mDA(m>0,且m≠1)]得,

    [x=x0,y=my0].

    所以[x=x0,y0=1my].①

    因?yàn)辄c(diǎn)[A]在單位圓上運(yùn)動(dòng),所以[x02+y02=1].②

    將①式代入②式得,所求曲線[C]的方程為[x2+y2m2=1(m>0,且m≠1).]

    因?yàn)閇m∈(0,1)?(1,+∞)],

    所以當(dāng)[01]時(shí),曲線[C]是焦點(diǎn)在[y]軸上的橢圓, 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為[(0,-m2-1),(0,m2-1).]

    解讀 用相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程時(shí)一般有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),一個(gè)是主動(dòng)點(diǎn),另一個(gè)是被動(dòng)點(diǎn). 例如本題中的點(diǎn)[A]是主動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)[M]是被動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)題目中的條件同時(shí)具有以下特征時(shí),一般可用相關(guān)點(diǎn)法求其軌跡方程:(1)某個(gè)動(dòng)點(diǎn)[A]在已知方程的曲線上移動(dòng);(2)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)[M]隨點(diǎn)[A]的變化而變化;(3)在變化過程中點(diǎn)[A]和點(diǎn)[M]滿足一定的規(guī)律.

    參數(shù)法

    例4 過拋物線[y2=2px(p>0)]的頂點(diǎn)[O]作兩條互相垂直的弦[OA],[OB],再以[OA],[OB]為鄰邊作矩形[AOBM],如圖,求點(diǎn)[M]的軌跡方程.

    解析 設(shè)[M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)],

    [OA]的斜率為[k](顯然[k≠0]),則[OB]的斜率為[-1k].

    [OA]所在直線方程為[y=kx].

    代入[y2=2px]得,[x1=2pk2,y1=2pk],即[A(2pk2,2pk)].

    [OB]所在直線方程為[y=-1kx],代入[y2=2px]得,[x2=2pk2,y2=-2pk,]即[B(2pk2,-2pk)].

    [∴OB=(2pk2,-2pk),OA=(2pk2,2pk)].

    [OM=OA+OB=(2pk2+2pk2,2pk-2pk)].

    所以[x=2p(1k-k)2+4p,y=2p(1k-k).]

    消去[(1k-k)]得,[y2=2p(x-4p)(p>0),]即為點(diǎn)[M]的軌跡方程.

    解讀 在利用參數(shù)法求解時(shí),要選擇合適的參數(shù),并注意參數(shù)的取值范圍. 同時(shí),求軌跡方程的關(guān)鍵是消參.

    例5 如圖,橢圓方程為[x2a2+y2b2=1(a>b>0)],[O]為坐標(biāo)原點(diǎn),[A],[B]兩點(diǎn)均在橢圓上,且[OA⊥OB,OH⊥AB]于點(diǎn)[H],求點(diǎn)[H]的軌跡方程.

    解析 設(shè)[OA=r1,OB=r2],[∠AOx=θ,]設(shè)[H(x,y),]

    [則A(r1cosθ,r1sinθ),][B(r2cos(π2+θ),r2sin(π2+θ))].

    [∵A,B]均在橢圓上,

    [∴r21cos2θa2+r21sin2θb2=1,r22sin2θa2+r22cos2θb2=1.]

    [∴1r21=cos2θa2+sin2θb2,1r22=sin2θa2+cos2θb2.]

    相加得,[1r21+1r22=1a2+1b2.]

    又在[Rt△AOB]中,利用面積相等得,

    [12r1r2=12OH?AB].

    [∴OH2=r21r22r21+r22=a2b2a2+b2].

    [∴][x2+y2=a2b2a2+b2].

    [∴]點(diǎn)[H]的軌跡方程為[x2+y2=a2b2a2+b2].

    解讀 此題利用三角函數(shù)的定義,巧妙設(shè)置參數(shù),大大簡化了運(yùn)算量,這種技巧要多積累.

    交軌法

    例6 如圖,橢圓[C0:x2a2+y2b2=1(a>b>0)],[a,b]為常數(shù),動(dòng)圓[C1:x2+y2=t12],[b

    解析 設(shè)[A(x1,y1),]由對(duì)稱性可知,[B(x1,-y1).]

    又[A1(-a,0),A2(a,0),]

    則直線[A1A]的方程為[y=y1x1+a(x+a)],①

    直線[A2B]的方程為[y=-y1x1-a(x-a)].②

    由①②得,[y2=-y21x21-a2(x2-a2)].③

    又點(diǎn)[A(x1,y1)]在橢圓[C0]上,故[x21a2+y21b2=1].

    從而[y21=b2a2(a2-x12)].

    代入③得,[x2a2-y2b2=1][(x<-a,y<0)],即為所求軌跡方程.

    解讀 交軌法求軌跡方程,一般用于求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程,其過程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù),求出兩動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式,再消去參數(shù),即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程.

    待定系數(shù)法

    例7 設(shè)橢圓[E]的方程為[x2a2+y2b2=1(a>b>0)],點(diǎn)[O]為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[(a,0)],點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[(0,b)],點(diǎn)[M]在線段[AB]上,滿足[BM=2MA],直線[OM]的斜率為[510].

    (1)求橢圓[E]的離心率[e];

    (2)設(shè)點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[(0,-b)],點(diǎn)[N]為線段[AC]的中點(diǎn),點(diǎn)[N]關(guān)于直線[AB]的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為[72],求橢圓[E]的方程.

    解析 本題主要考查橢圓、平面幾何的性質(zhì),第(1)小題用待定系數(shù)法求橢圓的方程,第(2)小題可將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組求解.

    (1)如圖,由題意得,點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[(2a3,b3)],

    又[kOM=510],

    即[b2a=510],即[a=5b],所以[c=a2-b2=2b],

    故[e=ca=255.]

    (2)由題意和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線[AB]的方程為[x5b+yb=1],點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[(52b,-b2)].

    設(shè)點(diǎn)[N]關(guān)于直線[AB]的對(duì)稱點(diǎn)[S]的坐標(biāo)為[(x1,72)],

    則線段[NS]的中點(diǎn)[T]的坐標(biāo)為[(54b+x12,-b4+74)].

    又點(diǎn)[T]在直線[AB]上,且[kNS?kAB=-1],

    從而有[54b+x125b+-b4+74b=1,72+b2x1-5b2=5.]

    解得,[b=3],所以[a=35].

    故橢圓[E]的方程為[x245+y29=1].

    解讀 本題以橢圓的性質(zhì)和平面幾何的知識(shí)為依托,將方程中的系數(shù)與直線的斜率和對(duì)稱問題聯(lián)系在一起,充分考查了平面幾何的知識(shí)和數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想.

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