2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試平面幾何題的證明賞析

●謝圣英 沈文選 吳仁芳 (湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 湖南長(zhǎng)沙 410081)

2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試平面幾何題的證明賞析

●謝圣英 沈文選 吳仁芳 (湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 湖南長(zhǎng)沙 410081)

2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試平面幾何題,以三角形和圓等圖形為載體，圖形簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富.文章列舉并賞析該題的多種證明方法,啟發(fā)我們數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題注重提煉通性通法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題鑒賞水平.同時(shí)，研究往屆聯(lián)賽試題，也便于把握試題的發(fā)展方向．

平面幾何題；高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽；證明賞析

題目 如圖1，在△ABC中，X,Y是直線BC上的2個(gè)點(diǎn)(點(diǎn)X,B,C,Y順次排列)，使得BX·AC=CY·AB.設(shè)△ACX，△ABY的外心分別為O1,O2,直線O1O2與AB，AC分別交于點(diǎn)U，V,證明：△AUV是等腰三角形.

(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題)

圖1 圖2

這道平面幾何題是加試卷的第2道題，滿分40分,該題仍然延續(xù)了之前聯(lián)賽幾何題的考查傳統(tǒng)：以三角形和圓等圖形為載體，圖形簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富.下面列舉此題的幾種證明方法，供大家賞析.

證法1 如圖2，作出△ACX與△ABY的外接圓⊙O1,⊙O2，2個(gè)圓相交于點(diǎn)A,D，聯(lián)結(jié)AD,且與O1O2,BC交于點(diǎn)E,F.由于AD為2個(gè)圓的公共弦，O1O2為連心線，可知AD⊥O1O2,即AE⊥UV.由相交弦定理知

XF·FC=AF·FD，

BF·FY=AF·FD，

于是

XF·FC=BF·FY，

2016-10-20；

2016-11-22基金項(xiàng)目：湖南省教育廳一般項(xiàng)目(15C0873)作者簡(jiǎn)介：謝圣英(1981-),女,湖南華容人,副教授.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123

A

1003-6407(2017)02-48-03