基于數(shù)據(jù)自然規(guī)律的不同擬合方法比較研究

任淑紅+李武選

摘 要：目的：尋找最優(yōu)的數(shù)據(jù)擬合方法；方法：以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別用統(tǒng)計(jì)方法中的趨勢(shì)法、分段法、AID法（Automatic Interaction Detection）進(jìn)行擬合，通過(guò)比較擬合值與實(shí)際值，并計(jì)算各方法的均方誤差，分析上述3種方法的擬合精度；結(jié)果：分段法所擬合的數(shù)據(jù)誤差最小，擬合精度最高；結(jié)論：對(duì)于收集的可靠數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，須采用多個(gè)適用的擬合方法分別擬合，并進(jìn)行比較后選擇一個(gè)模型顯著，精度高的作為最終決策模型，效果會(huì)更好。

關(guān)鍵詞：擬合方法比較；趨勢(shì)法；分段法；AID法；應(yīng)用條件；擬合精度

中圖分類號(hào)： C37 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1673-1069（2017）04-122-2

1 概述

擬合方法是統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的前提，擬合模型建立的不好，何談?lì)A(yù)測(cè)效果？鑒于近30年來(lái)的各種規(guī)劃涉及的預(yù)測(cè)方法應(yīng)有盡有，但這些預(yù)測(cè)存在的一個(gè)嚴(yán)重問(wèn)題是相差幾百萬(wàn)、幾千萬(wàn)都絲毫沒(méi)有影響到“規(guī)劃”的所謂科學(xué)性、合理性，這正是做課題人員的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)知識(shí)缺乏，而導(dǎo)致規(guī)劃中預(yù)測(cè)結(jié)果的“寬范圍”特殊性，使的規(guī)劃?rùn)z查執(zhí)行進(jìn)度時(shí)出現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果與后期實(shí)際結(jié)果相差得經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)的時(shí)間才有可能，甚至永遠(yuǎn)不可能實(shí)現(xiàn)的困境。這里基于數(shù)據(jù)本身的特征進(jìn)行擬合效果比較，進(jìn)而達(dá)到擬合效果高精度實(shí)現(xiàn)。關(guān)于數(shù)據(jù)本身的規(guī)律大體上表現(xiàn)為兩大類，一類是橫截面數(shù)據(jù)的擬合，這一類大多涉及到多元回歸問(wèn)題，更多的是對(duì)所建模型利用樣本區(qū)間以外的影響因素?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)；另一類是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，更注重于趨勢(shì)預(yù)測(cè)。本文主要研究時(shí)間序列數(shù)據(jù)的擬合問(wèn)題。

在時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，當(dāng)序列存在明顯的趨勢(shì)成分時(shí)，需要使用趨勢(shì)預(yù)測(cè)法[1]進(jìn)行預(yù)測(cè)。然而有時(shí)候單一形式曲線的預(yù)測(cè)效果并不是很好。對(duì)此，李武選通過(guò)對(duì)旅游外匯收入數(shù)據(jù)采用分段擬合技術(shù)[2]建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，取得比單一形式曲線更好的擬合精度；方開(kāi)泰使用AID法[3]將數(shù)據(jù)分區(qū)間進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)AID法在有異常數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)中比單一形式曲線有更好的效果。錢曉莉[4]將AID法應(yīng)用于通過(guò)企業(yè)的廣告費(fèi)用預(yù)測(cè)銷售收入的實(shí)例中，指出該法適宜于對(duì)含有特異值的樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文通過(guò)對(duì)某地的有關(guān)預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，用這3種擬合方法進(jìn)行擬合，并比較三者的擬合效果。

2 研究方法及其應(yīng)用條件

2.1 趨勢(shì)擬合法

在趨勢(shì)擬合法中主要有線性趨勢(shì)和非線性趨勢(shì)兩種方法。線性趨勢(shì)是指研究現(xiàn)象隨著時(shí)間的推移而呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長(zhǎng)或下降的線性變化規(guī)律，其線性擬合方程為yt=b1+b1t，其中待定系數(shù)和可根據(jù)最小二乘法求解。當(dāng)所要研究現(xiàn)象呈現(xiàn)出某種非線性趨勢(shì)，則需要擬合適當(dāng)?shù)内厔?shì)曲線。這種方法應(yīng)用要求時(shí)間序列數(shù)據(jù)本身具有明顯的趨勢(shì)特征，如線性或者非線性特征。

2.2 分段擬合法

分段擬合法根據(jù)所要研究對(duì)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出不同類型的趨勢(shì)變化將其分段，針對(duì)每段進(jìn)行擬合，最后整合出整體數(shù)據(jù)的擬合情況。此法應(yīng)用條件是數(shù)據(jù)自然的規(guī)律要具有線性及非線性或者拐點(diǎn)等特征。

2.3 AID擬合法

AID擬合法是將有序樣本數(shù)據(jù)合理分類，劃分各類的原則是最優(yōu)分割原則，最后根據(jù)要擬合的值所屬類的平均值作為其擬合值。該法的應(yīng)用條件是數(shù)據(jù)本身應(yīng)具有明顯的波動(dòng)聚集特征。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文研究方法使用的實(shí)際數(shù)據(jù)（見(jiàn)表1）：

該數(shù)據(jù)具有適用于上述3種擬合方法的基本要求，可以使用上述方法建立擬合模型并可以進(jìn)行擬合。

3.2 趨勢(shì)擬合法

用SPSS20.0軟件中11 種常用的趨勢(shì)曲線進(jìn)行擬合，依據(jù)最大作為選擇標(biāo)準(zhǔn)，可得較滿意S曲線擬合。

結(jié)果說(shuō)明：以上兩個(gè)p值均小于0.05，表明模型中變量之間的關(guān)系在統(tǒng)計(jì)意義上是顯著的；統(tǒng)計(jì)量F=10.120，Sig=0.011<0.05，表明S曲線模型整體上是統(tǒng)計(jì)顯著的，即模型可用。

3.3 分段擬合法

通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)做散點(diǎn)圖可看出將該時(shí)間序列分為三段較好，第一段包括前四個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，第二段包括接下來(lái)的中間的三個(gè)數(shù)據(jù)，第三段包括剩下的四個(gè)數(shù)據(jù)，然后針對(duì)每段建立模型進(jìn)行擬合。在對(duì)每段進(jìn)行擬合時(shí)，通過(guò)SPSS20.0軟件中11 種常用的趨勢(shì)曲線進(jìn)行擬合，根據(jù)擬合優(yōu)度系數(shù)最大以及模型中系數(shù)與模型整體的統(tǒng)計(jì)顯著性選擇最優(yōu)的擬合模型。

結(jié)果說(shuō)明：以上三個(gè)模型，對(duì)系數(shù)的t檢驗(yàn)以及對(duì)整個(gè)模型的F檢驗(yàn)結(jié)果都是統(tǒng)計(jì)顯著的，故模型均是合理的，可以用來(lái)擬合。

3.4 AID擬合法

先將該時(shí)間序列數(shù)據(jù)分類。最優(yōu)分割原則是使組內(nèi)離差平方和達(dá)到極小，并且每次分類時(shí)都將一組數(shù)據(jù)只分成兩類。由總離差平方和=組內(nèi)離差平方和+組間離差平方和可知，要使組內(nèi)離差平方和極小化，則要使組間離差平方和極大化。計(jì)算可得總體均值=6.91。組間平方和QA=n1（·1-）2+n2（·2-）2，其中nj為第j（j=1，2）類包含的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，·j為第j（j=1，2）類的均值。分別以t=1，2…10為分割點(diǎn)計(jì)算QA，得QA在以t=4為分割點(diǎn)時(shí)最大，故將t=4作為分割點(diǎn)，把數(shù)據(jù)分成兩類{y1～y4}，{y5～y11}。相對(duì)于全部數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，第二類包含的數(shù)據(jù)仍較多，故將第二類{y5～y11}繼續(xù)分類，重復(fù)上述步驟，得以t=7作為分割點(diǎn)，將{y5～y11}分為{y5～y7}，{y8～y11}。因此，最終將該數(shù)據(jù)分為三類，分別是{y1～y4}，{y5～y7}，{y8～y11}。t也相應(yīng)地分成三個(gè)區(qū)間：[1，4]， [5，7]， [8，11] ，每一類的平均值分別為2.3， 14.5， 5.8。然后進(jìn)行擬合，根據(jù)將要擬合的值所屬類的平均值作為其最終擬合值。

3.5 3種擬合方法的比較

在比較擬合精度時(shí)，可選取的評(píng)價(jià)指標(biāo)有均方誤差、絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差等，本文采用均方誤差來(lái)評(píng)價(jià)擬合方法的優(yōu)劣。根據(jù)MSE=（yt-t）2/n，通過(guò)計(jì)算可得：趨勢(shì)擬合法的均方誤差；分段擬合法的均方誤差；AID擬合法的均方誤差。

比較均方誤差的大小，可看出分段法的效果最好，AID法次之，最后是趨勢(shì)法；從個(gè)性離差值上比較來(lái)看，分段擬合也同樣有最好的預(yù)測(cè)效果；同時(shí)，通過(guò)3種方法殘差個(gè)值的絕對(duì)值大小比較，也可得到相同的結(jié)論。

4 結(jié)論

預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是基于樣本數(shù)據(jù)的擬合模型最優(yōu)，本文研究的結(jié)論是對(duì)于本預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)而言，基于上述3種方法擬合模型的結(jié)果，分段法是將時(shí)間序列數(shù)據(jù)分段進(jìn)行擬合，可以更好地根據(jù)每段的變化趨勢(shì)擬合曲線，使每段的擬合值誤差減小，進(jìn)而提高整體的擬合效果；AID法是將時(shí)間序列數(shù)據(jù)按最優(yōu)分割原則分類，將相近的樣本數(shù)據(jù)分到了一類，對(duì)于有異常數(shù)據(jù)的樣本擬合能達(dá)到更好的效果。

在實(shí)踐中，我們可以用AID法中的最優(yōu)分割原則將時(shí)間序列數(shù)據(jù)分類，并將該分類結(jié)果作為分段法的分段依據(jù)，然后在每一段內(nèi)使用趨勢(shì)法進(jìn)行擬合，以達(dá)到更好的擬合效果。

另外，還可以用加權(quán)組合的方法來(lái)擬合，通過(guò)賦予上述3種擬合方法合理的權(quán)重，然后對(duì)3組擬合值進(jìn)行加權(quán)組合得到新的擬合值。

參 考 文 獻(xiàn)

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[2] 李武選，王小建，李源，等基于30年入境旅游外匯收入的最佳建模與預(yù)測(cè)[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2009，24（4）：21-26.

[3] 方開(kāi)泰.實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1989：246-252.

[4] 錢曉莉.AID法在回歸分析中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)科學(xué)與實(shí)踐，1999（9）：16-17.

[5] 沈世偉，佴磊，徐燕.準(zhǔn)等時(shí)距QGM（1，1）模型分段預(yù)測(cè)法及其在草炭土路基沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，41（4）：1099-1103.