解排列組合題時(shí)常見的幾類錯(cuò)誤

■江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

解排列組合題時(shí)常見的幾類錯(cuò)誤

■江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

一、因沒有理解兩個(gè)基本原理而致錯(cuò)

排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理,即加法原理和乘法原理,“分類用加,分步用乘”是解決排列組合問題的基礎(chǔ)。

從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái),則不同的取法有____種。

錯(cuò)解:因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī),所以只有2種取法。

剖析:錯(cuò)解的原因在于沒有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法,但每類辦法中還有不同的取法。

正解:由剖析知,完成任務(wù)有兩類辦法,完成第一類辦法還可以分成兩步:第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái),有種方法;第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái),有種方法,據(jù)乘法原理共有·種方法。同理,完成第二類辦法中有·種方法。綜上,選法共有

二、因判斷不出是排列還是組合而致錯(cuò)

在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí),主要看元素的組成有沒有順序性,有順序的是排列,無順序的是組合。

把大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球排成一排,共有多少種不同的排法?

剖析:錯(cuò)解中沒有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的,5個(gè)白色小球也是完全相同的,同色球之間互換位置是同一種排法。

正解:8個(gè)小球排好后對應(yīng)著8個(gè)位置,題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球,剩下的位置給白球,由于這3個(gè)紅球完全相同,所以沒有順序差別,是組合問題,這樣共有=56(種)排法。

三、因重復(fù)計(jì)算而致錯(cuò)

在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題等,這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)而產(chǎn)生錯(cuò)誤。

某交通崗共有3人,從周一到周日的7天中,每天安排1人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有____種。

錯(cuò)解:第一個(gè)人先挑選2天,第二個(gè)人再挑選2天,剩下的3天給第3個(gè)人,這三個(gè)人再進(jìn)行全排列,共有=1260(種)不同排法。

剖析:這里是均勻分組問題。比如:第一人挑選的是周一、周二,第二人挑選的是周三、周四;也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四,第二人挑選的是周一、周二,所以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了。

四、因忽視題設(shè)條件而致錯(cuò)

在解決排列組合問題時(shí),一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào),不然就可能多解或者漏解。

已知ax2-b=0是關(guān)于x的一元二次方程,其中a,b∈{1,2,3,4},求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù)。

錯(cuò)解:從集合{1,2,3,4}中任意取2個(gè)元素作為a、b,方程有個(gè),當(dāng)a、b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè),共有+1=13(個(gè))方程。

剖析:錯(cuò)解中沒有注意到題設(shè)中:“求解集不同

正解:由分析知,共有13-2=11(個(gè))解集不同的一元二次方程。

(責(zé)任編輯 徐利杰)