基于拉蓋爾函數(shù)的電子節(jié)氣門(mén)模型預(yù)測(cè)控制研究＊

秦洋洋吳光強(qiáng),2郭曉曉

（1.同濟(jì)大學(xué)，上海 201804；2.東京大學(xué)，生產(chǎn)技術(shù)研究所，東京 153-8505）

基于拉蓋爾函數(shù)的電子節(jié)氣門(mén)模型預(yù)測(cè)控制研究＊

秦洋洋1吳光強(qiáng)1,2郭曉曉1

（1.同濟(jì)大學(xué)，上海 201804；2.東京大學(xué)，生產(chǎn)技術(shù)研究所，東京 153-8505）

建立面向電子節(jié)氣門(mén)控制器設(shè)計(jì)的線性模型，并在模型預(yù)測(cè)控制框架下設(shè)計(jì)了包含狀態(tài)變化和控制量變化的增廣狀態(tài)空間模型。在滿足電子節(jié)氣門(mén)的系統(tǒng)約束條件下，利用拉蓋爾函數(shù)特性，對(duì)控制量進(jìn)行拉蓋爾多項(xiàng)式近似轉(zhuǎn)化，從而消除控制時(shí)域，降低算法復(fù)雜性。仿真試驗(yàn)表明，基于拉蓋爾多項(xiàng)式的模型預(yù)測(cè)控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)電子節(jié)氣門(mén)的跟蹤控制，并降低系統(tǒng)計(jì)算量。

1 前言

電子節(jié)氣門(mén)是汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的重要控制部件，其控制系統(tǒng)基本目標(biāo)是節(jié)氣門(mén)開(kāi)度能夠快速精確且超調(diào)盡可能小地到達(dá)期望目標(biāo)位置，節(jié)氣門(mén)開(kāi)度的精確控制可以提高燃油經(jīng)濟(jì)性，減少排放，迅速的系統(tǒng)響應(yīng)，可獲得滿意的操控性能。因此，節(jié)氣門(mén)的控制對(duì)汽車(chē)的行駛安全性、動(dòng)力性、平穩(wěn)性及經(jīng)濟(jì)性具有重要影響。

電子節(jié)氣門(mén)通過(guò)傳感器、控制器和驅(qū)動(dòng)裝置實(shí)現(xiàn)加速踏板和節(jié)氣門(mén)之間的連接，替代了傳統(tǒng)的機(jī)械式連接。為了滿足節(jié)氣門(mén)的控制要求，文獻(xiàn)中提出了許多控制方法，主要包括模糊PID控制[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[2～3]、滑?？刂芠4～5]、反步法控制[6～7]、輸出反饋控制[8]、時(shí)間最優(yōu)控制等[9]。由于排放法規(guī)的日益嚴(yán)格和人們對(duì)車(chē)輛舒適性、動(dòng)力性的期望越來(lái)越高，因此進(jìn)一步研究提高電子節(jié)氣門(mén)控制性能的控制方法是很有必要的。

本文針對(duì)電子節(jié)氣門(mén)的控制要求，建立面向模型預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)的電子節(jié)氣門(mén)線性離散模型，針對(duì)傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)在線求解精度與速度矛盾問(wèn)題，采用拉蓋爾函數(shù)近似控制信號(hào)以降低在線優(yōu)化復(fù)雜度。

2 預(yù)測(cè)模型設(shè)計(jì)

2.1 電子節(jié)氣門(mén)系統(tǒng)模型

模型預(yù)測(cè)控制是基于模型的控制算法，因此需要建立電子節(jié)氣門(mén)的數(shù)學(xué)模型，以進(jìn)行模型預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)。電子節(jié)氣門(mén)主要由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、減速齒輪組、復(fù)位彈簧、節(jié)氣門(mén)體及節(jié)氣門(mén)開(kāi)度傳感器[10]組成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 電子節(jié)氣門(mén)結(jié)構(gòu)示意

根據(jù)基爾霍夫定律、電磁感應(yīng)定律、磁場(chǎng)對(duì)載流線圈的作用定律可得節(jié)氣門(mén)電機(jī)的電樞電路[1]方程為：

式中，Ra和ia分別為電機(jī)的電阻和電流；La為電機(jī)電感；Vb和kb分別為電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)和反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；Ea為電機(jī)輸入電壓；θm為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角度；Tm為電機(jī)轉(zhuǎn)矩；kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

式（1）經(jīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，并且考慮到電機(jī)的電感很小，可忽略不計(jì)，即La=0，則有：

忽略齒輪間隙的影響，則節(jié)氣門(mén)轉(zhuǎn)角θ與電機(jī)轉(zhuǎn)角θm之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

式中，n是減速齒輪組傳動(dòng)比。

由式（2）和式（3）可得電機(jī)轉(zhuǎn)矩表達(dá)式：

根據(jù)廣義牛頓定律，忽略負(fù)載扭矩、庫(kù)倫摩擦及其它非線性因素，可得節(jié)氣門(mén)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

式中，J是折算后系統(tǒng)總的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Tsp為復(fù)位彈簧扭矩；Td為摩擦扭矩。

式中，ksp是復(fù)位彈簧系數(shù)，kd是粘性摩擦系數(shù)。

2.2 增廣狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)

由前文可知，電子節(jié)氣門(mén)系統(tǒng)實(shí)際為一單輸入單輸出系統(tǒng)，其輸入輸出離散傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式可設(shè)為：

引入積分環(huán)節(jié)以消除靜態(tài)誤差[11]，選擇增廣狀態(tài)變量：

則系統(tǒng)增廣狀態(tài)空間模型為：

3 預(yù)測(cè)模型拉蓋爾函數(shù)轉(zhuǎn)化

傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法是對(duì)式（9）所示系統(tǒng)，根據(jù)相應(yīng)性能指標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成以控制量為優(yōu)化變量的二次規(guī)劃求解過(guò)程，文獻(xiàn)[12]指出，預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域越大，所求解出的控制結(jié)果越精確，然而由于模型預(yù)測(cè)控制算法具有在線優(yōu)化的特點(diǎn)，其控制時(shí)域及預(yù)測(cè)時(shí)域并不能過(guò)大，否則系統(tǒng)實(shí)時(shí)性將迅速降低，因此利用拉蓋爾函數(shù)特性對(duì)控制量進(jìn)行近似轉(zhuǎn)化，從而取消控制時(shí)域，以降低算法復(fù)雜性。

對(duì)拉蓋爾函數(shù)性質(zhì)分析，n階離散拉蓋爾函數(shù)滿足[13]：

式中，0≤a＜1是比例因子。

對(duì)離散拉蓋爾函數(shù)進(jìn)行逆Z變換，得：

ln(m)滿足：

則控制信號(hào)變化量可用拉蓋爾函數(shù)近似表示[14]，隨著多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)增加，式（13）多項(xiàng)式收斂于實(shí)際控制信號(hào)變化量。

式中，N為多項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)數(shù)；是采樣k時(shí)刻的系數(shù)函數(shù)；

對(duì)于式（9）所示系統(tǒng)，其預(yù)測(cè)模型可轉(zhuǎn)化為：

4 模型預(yù)測(cè)控制求解

4.1 控制目標(biāo)函數(shù)分析

設(shè)系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)：

由式（13）可知：

l()m在時(shí)域內(nèi)同樣滿足正交性，即：

因此，式（15）性能指標(biāo)函數(shù)等價(jià)于：

式中，Q=CTC。

代入式（19）可得：

忽略與優(yōu)化變量無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)，則算法求解轉(zhuǎn)化為在每次預(yù)測(cè)時(shí)間域里的二次規(guī)劃問(wèn)題求解預(yù)測(cè)控制序列。

4.2 系統(tǒng)控制要求及約束處理

電子節(jié)氣門(mén)的具體量化控制要求為[6]：上升時(shí)間應(yīng)不超過(guò)100 ms，調(diào)節(jié)穩(wěn)定時(shí)間小于40 ms，即電子節(jié)氣門(mén)從上升到達(dá)穩(wěn)態(tài)的總時(shí)間不大140 ms，控制器應(yīng)使節(jié)氣門(mén)擋板不碰撞限位，即要求零超調(diào)，同時(shí)要求穩(wěn)態(tài)誤差在±2%內(nèi)。

由于電子節(jié)氣門(mén)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的飽和限制，電子節(jié)氣門(mén)系統(tǒng)輸入電壓必須限制在-12～+12 V，且電壓變化速率不能過(guò)大以確?？刂苿?dòng)作的平順性，即控制器必須滿足以下約束條件：

對(duì)以上約束條件，轉(zhuǎn)化成矩陣形式：

因此，在MPC的框架下，電子節(jié)氣門(mén)系統(tǒng)控制策略設(shè)計(jì)最終轉(zhuǎn)化為式（24）帶約束的在線二次優(yōu)化問(wèn)題。

求解式（24）可得預(yù)測(cè)控制時(shí)域下的控制序列，對(duì)于求出的控制序列，只選取其中第1個(gè)控制量作為當(dāng)前控制器輸出，下一時(shí)刻基于當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)重新求解上述約束優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)在線滾動(dòng)優(yōu)化計(jì)算。

5 仿真分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的節(jié)氣門(mén)位置跟蹤的線性模型預(yù)測(cè)控制器的功能和有效性，在MATLAB/Simulink中搭建節(jié)氣門(mén)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行離線仿真試驗(yàn)。節(jié)氣門(mén)系統(tǒng)的模型參數(shù)如表1所列。

表1 節(jié)氣門(mén)系統(tǒng)模型參數(shù)

控制系統(tǒng)中，a=0.7，N=4，rw=0.3，Np=46，采樣步長(zhǎng)為1 ms，為驗(yàn)證該算法可行性與優(yōu)越性，采用傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法[15]作對(duì)比，控制時(shí)域Nc=4。

圖2～圖5所示為期望節(jié)氣門(mén)角度作幅值θd=1rad階躍變化的跟蹤響應(yīng)，基于拉蓋爾函數(shù)模型預(yù)測(cè)控制算法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)改進(jìn)算法）與傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)傳統(tǒng)方法）在響應(yīng)、控制量、控制量增量及系統(tǒng)求解時(shí)間等方面的對(duì)比情況。

圖2 階躍信號(hào)系統(tǒng)響應(yīng)

圖3 階躍信號(hào)控制量曲線

圖4 階躍信號(hào)控制量增量曲線

圖5 階躍信號(hào)系統(tǒng)求解時(shí)間曲線

由圖2可知，應(yīng)用改進(jìn)算法沒(méi)有超調(diào)，而傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法系統(tǒng)卻發(fā)生超調(diào)現(xiàn)象。改進(jìn)算法能更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在40 ms左右穩(wěn)定，而傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法在100 ms左右才達(dá)到穩(wěn)定。由圖3和圖4可知，兩種算法都滿足約束條件，傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法控制量更平滑，但可以通過(guò)改變控制量速率的上下限來(lái)提升改進(jìn)算法控制動(dòng)作的平滑性。由圖5可知，改進(jìn)算法求解時(shí)間相對(duì)傳統(tǒng)算法穩(wěn)定，而傳統(tǒng)算法求解時(shí)間波動(dòng)較大，這不利于實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，而兩者求解時(shí)間數(shù)值差別不大是因?yàn)閭鹘y(tǒng)算法控制時(shí)域及預(yù)測(cè)時(shí)域不大，要取得和改進(jìn)算法相同的效果，需要增加控制時(shí)域和預(yù)測(cè)時(shí)域，加長(zhǎng)求解時(shí)間。

圖6～圖9所示為期望節(jié)氣門(mén)頻率1 Hz、幅值θd=1rad正弦信號(hào)時(shí)的跟蹤響應(yīng)。

圖6 正弦信號(hào)系統(tǒng)響應(yīng)

圖7 正弦信號(hào)控制量曲線

圖8 正弦信號(hào)控制量增量曲線

由圖6～圖9正弦信號(hào)系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)比進(jìn)一步顯示改進(jìn)算法的優(yōu)越性，在動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面（圖6），改進(jìn)算法優(yōu)于傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法，其正弦跟蹤響應(yīng)誤差在2%以內(nèi)，而傳統(tǒng)算法誤差較大；動(dòng)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)求解時(shí)間波動(dòng)情況（圖9）方面，改進(jìn)算法也優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

圖9 正弦信號(hào)系統(tǒng)求解時(shí)間曲線

6 結(jié)束語(yǔ)

建立節(jié)氣門(mén)系統(tǒng)模型，并設(shè)計(jì)包含狀態(tài)量變化及控制量變化的增廣狀態(tài)空間模型以使控制系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差，針對(duì)傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法求解時(shí)間和控制精度矛盾問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于拉蓋爾多項(xiàng)式近似的模型預(yù)測(cè)控制算法，取消了控制時(shí)域，改善了控制系統(tǒng)性能。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制算法能很好的滿足電子節(jié)氣門(mén)控制需求，且相較于傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制算法得到了改善。

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（責(zé)任編輯 晨 曦）

修改稿收到日期為2016年7月20日。

Model Predictive Control Study of Electronic Throttle Based on Laguerre Functions

Qin Yangyang1,Wu Guangqiang1,2,Guo Xiaoxiao1
（1.Tongji University,Shanghai 201804;2.Institute of Industrial Science,the University of Tokyo,Tokyo 153-8505）

To meet the needs of following control of electronic throttle and improve the efficiency of control algorithms,a linear model facing controller design has been built,meanwhile an augmented state space model including changes of state and controlled values on the basis of model predictive control has also been designed.On the restrictions of electronic throttle,controlled variable has been approximately converted using the characteristic of Laguerre functions, which can eliminate control horizon and reduce complexity of control algorithms.Besides,an optimal control sequence using model predictive control based on Laguerre functions was created,which in this way can not only guarantee the dynamic performance of following control,but also reduce the amount of calculation.The simulation showed that the approach of model predictive control using Laguerre functions can better fulfill the following control of electronic throttle and at the same time the calculation amount of the whole system has been decreased.

Laguerre functions,Electronic throttle,Model predictive control

拉蓋爾函數(shù) 電子節(jié)氣門(mén) 模型預(yù)測(cè)

U464.11+2

A

1000-3703（2017）01-0033-05

上海汽車(chē)工業(yè)科技發(fā)展基金會(huì)項(xiàng)目（1526）。