星空中的N體問(wèn)題（上）

陳厚尊

成書于戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的《列子》上，有一則耐人尋味的小故事，說(shuō)的是杞國(guó)有個(gè)人擔(dān)心天會(huì)忽然塌下來(lái)，為此茶不思飯不想，每日輾轉(zhuǎn)反側(cè)。直到有位智者為他講解了天體構(gòu)成之后，他終于釋然，恢復(fù)了正常人的生活。這便是成語(yǔ)“杞人憂天”的來(lái)歷。這則小寓言在中國(guó)流傳了2000多年，我們總是以故事中那位不知名的杞國(guó)人為例教育后來(lái)者：不要總是為那些毫無(wú)根據(jù)或者沒(méi)有必要的事情擔(dān)憂。依我看，這則故事中的所謂智者，自然不可能懂得天體力學(xué)的知識(shí)，他之所以堅(jiān)信天不會(huì)塌下來(lái)，依據(jù)的無(wú)非是祖祖輩輩的經(jīng)驗(yàn)。是啊，太陽(yáng)照常升起了幾千年，如此朗朗乾坤，怎么可能說(shuō)塌就塌？然而，從現(xiàn)代天文學(xué)的角度看，這則小故事就別有一番趣味在其中。那個(gè)杞國(guó)人所擔(dān)憂的，不正是宇宙中的撞擊事件嗎？我們知道，這樣的天災(zāi)并非全無(wú)可能，大名鼎鼎的恐龍就是這么滅絕的嘛！照此說(shuō)來(lái)，那位2000多年前的杞國(guó)人還真是有先見(jiàn)之明。也許是越來(lái)越多的人品味到了這層含義，“杞人憂天”這個(gè)原本純貶義的成語(yǔ)，如今居然被國(guó)人解讀出了開(kāi)拓精神和憂患意識(shí)，更有甚者，還為“杞人憂天”的故事申請(qǐng)了國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)。

說(shuō)到底，天上的星星究竟為什么不會(huì)掉下來(lái)呢？或者更專業(yè)地說(shuō)，我們的太陽(yáng)系、銀河系，甚至我們寄居的宇宙，究竟是不是力學(xué)穩(wěn)定的？這涉及數(shù)學(xué)里大名鼎鼎的N體問(wèn)題（N-body Problem）。

N體問(wèn)題源于人們對(duì)世界穩(wěn)定性的詰問(wèn)，它其實(shí)是宇宙的一種極度簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型。它將宇宙諸星視作一群只有質(zhì)量、沒(méi)有體積的質(zhì)點(diǎn)（masspoint），將星體間的相互作用簡(jiǎn)化為純粹的萬(wàn)有引力關(guān)系。可即便如此，在絕大多數(shù)情況下，這樣的模型已足夠?qū)?shí)際的星體運(yùn)動(dòng)做出精確的預(yù)言。海王星的發(fā)現(xiàn)便是一樁佳例。1846年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒維耶僅僅依據(jù)天王星的軌道擾動(dòng)數(shù)據(jù)，便計(jì)算出了一顆未知大行星的軌道，并在隨后的觀測(cè)中得以證實(shí)。后人將這件事視作經(jīng)典力學(xué)的一次偉大成功，永載史冊(cè)。它證明太陽(yáng)系一切行為背后的主宰并非虛無(wú)的上帝，而是簡(jiǎn)潔的萬(wàn)有引力定律。正如拉普拉斯曾經(jīng)對(duì)拿破侖講出的那句話：“陛下，我們不需要上帝那個(gè)假設(shè)?！?/p>

既然N體模型是關(guān)于現(xiàn)實(shí)宇宙的一個(gè)足夠好的近似模型，那么它的穩(wěn)定性問(wèn)題在300多年間廣受關(guān)注便在情理之中了。只需看一眼曾投身于該問(wèn)題的那一長(zhǎng)串天才數(shù)學(xué)家的名字，便足以震撼人心：開(kāi)普勒、牛頓、約翰·伯努利、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、龐加萊、潘勒韋、伯克霍夫、柯?tīng)柲缏宸颉⑺姑窢?、阿諾德、夏志宏……盡管永恒的星空每天都會(huì)在窗外照常升起，不曾改變，但是，一代又一代的科學(xué)家依然通宵達(dá)旦地伏案工作，只為在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明繁星之永恒。你可以將其理解為我們?cè)谏系勖媲暗哪撤N可笑之處，可是換個(gè)角度看，它又何嘗不是人類理性認(rèn)知的偉大之處呢？

1900年8月8日， 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特應(yīng)邀參加第二屆巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，并在會(huì)上做出了他人生中最重要的一次演講，題目是《數(shù)學(xué)問(wèn)題》。他根據(jù)過(guò)去，特別是19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)，提出了新世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的23個(gè)最重要的問(wèn)題。這些問(wèn)題如今被統(tǒng)稱為希爾伯特問(wèn)題。希爾伯特認(rèn)為，一個(gè)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具備兩種特質(zhì)：一是問(wèn)題本身簡(jiǎn)潔易懂;二是解決該問(wèn)題的過(guò)程需要?jiǎng)?chuàng)造新的數(shù)學(xué)思想。之后，希爾伯特以N體問(wèn)題為例進(jìn)一步闡述

自己的主張。首先，N體問(wèn)題具備鮮明的物理意義，問(wèn)題本身足夠簡(jiǎn)潔;其次，前輩們?cè)趪L試解決N 體問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)明了許許多多全新的數(shù)學(xué)工具，比如牛頓的微積分、拉格朗日的分析力學(xué)、龐加萊的微分方程定性理論、混沌學(xué)等等。用希爾伯特的話說(shuō)就是，困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題就像一只會(huì)下金蛋的母雞。這就難怪，1994年費(fèi)馬猜想最終被普林斯頓大學(xué)的安德魯·威爾斯解決后有人感嘆：一只會(huì)生金蛋的母雞被殺死了。

下面，我們就按照N體數(shù)目遞增的次序，追溯有關(guān)N體問(wèn)題的數(shù)學(xué)研究同天文學(xué)發(fā)展的密切聯(lián)系。

N=1

講述N體問(wèn)題，首先要從一體問(wèn)題開(kāi)始。這是個(gè)平凡的情況。初中物理的第一課多半是要介紹牛頓運(yùn)動(dòng)三定律的，其中的第一定律告訴我們：不受外力的物體總會(huì)沿著直線勻速運(yùn)動(dòng)。這個(gè)結(jié)論最早由伽利略總結(jié)得出，象征著現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)端。盡管它同人們的日常經(jīng)驗(yàn)相違背，卻是實(shí)實(shí)在在的實(shí)驗(yàn)和理性思維相結(jié)合得到的真理。這種實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)合的模式也是現(xiàn)代科學(xué)思想的精髓所在。如今，進(jìn)入太空的宇航員處處都能感受到牛頓第一定律，由此帶來(lái)的生活不便也是他們首先需要適應(yīng)的。

N=2

二體問(wèn)題是天文學(xué)中最普遍的一種情形，也是應(yīng)用最廣的一種模型。這是因?yàn)樵谖覀兊奶?yáng)系內(nèi)存在一個(gè)強(qiáng)大的引力中心——太陽(yáng)，它的質(zhì)量占據(jù)了太陽(yáng)系全部質(zhì)量的99.87%。相較之下，其余大行星和矮行星之間的相互作用的量級(jí)都要小得多。以太陽(yáng)為參照系，幾乎所有的行星都在橢圓軌道上繞著它運(yùn)轉(zhuǎn)，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。這一事實(shí)最早由丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫注意到，后被他的助手約翰內(nèi)斯·開(kāi)普勒總結(jié)為行星第一運(yùn)動(dòng)定律。1687年，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓發(fā)表了科學(xué)巨著《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》，利用萬(wàn)有引力定律直接推導(dǎo)出了開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律。盡管牛頓并沒(méi)有在書中系統(tǒng)地求解二體問(wèn)題，但后人普遍相信他具備這樣的能力。第一位在理論上詳細(xì)求解二體問(wèn)題的人，是瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利，他給出了兩個(gè)受萬(wàn)有引力影響的星體可能的運(yùn)動(dòng)軌跡。這類軌跡在數(shù)學(xué)上有個(gè)統(tǒng)一的名稱：圓錐曲線。如今，任何一位受過(guò)系統(tǒng)訓(xùn)練的大學(xué)物理系本科生，都能輕而易舉地推導(dǎo)出二體問(wèn)題的解析解。

試用一個(gè)平面去截兩個(gè)頂頭的圓錐體，就能得到全部的圓錐曲線：交叉直線、橢圓、拋物線和雙曲線。除了交叉直線象征著二體相撞的特殊情形外，其余三種曲線都可以在太陽(yáng)系內(nèi)找到實(shí)例。比如，所有的大行星、矮行星、小行星和周期彗星的軌道是橢圓;非周期彗星的軌道一般是拋物線;闖入太陽(yáng)系的銀河系塵埃和部分非周期彗星的軌道是雙曲線。學(xué)過(guò)高中數(shù)學(xué)的人都知道，橢圓是一類封閉曲線，而拋物線和雙曲線都不是，它們從無(wú)窮遠(yuǎn)來(lái)，又返回?zé)o窮遠(yuǎn)處。因此，

擁有橢圓軌道的天體一定是周期性的，而擁有拋物線和雙曲線軌道的天體一定是非周期性的，后者現(xiàn)身星空的機(jī)會(huì)只有一次。說(shuō)來(lái)也巧，圓錐曲線正是古希臘數(shù)學(xué)家最喜歡鉆研的數(shù)學(xué)對(duì)象，尤其是公元前3世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯。他曾出版過(guò)一本名叫《圓錐曲線論》的巨著，是古代數(shù)學(xué)最輝煌的科學(xué)成果之一。書中網(wǎng)羅了幾乎所有關(guān)于圓錐曲線的數(shù)學(xué)定理，令后人難以超越。我們每年高考中數(shù)學(xué)的壓軸大題，大概都是從這兒獲取靈感。

在理論上，不難證明行星受外力偏離原橢圓軌道后，只能在原軌道附近做小幅度的振蕩，軌道參數(shù)的誤差也不會(huì)隨著時(shí)間流逝而發(fā)生積累。這說(shuō)明二體系統(tǒng)是力學(xué)穩(wěn)定的。因此，即便在遙遠(yuǎn)的恒星世界里，二體系統(tǒng)也普遍存在，那便是所謂的雙星體系，即兩顆恒星圍繞它們共同的質(zhì)量中心旋轉(zhuǎn)而形成的系統(tǒng)。習(xí)慣上，人們稱質(zhì)量較大的一顆為主星，質(zhì)量較小的為伴星。比如著名的天狼雙星。我們?nèi)庋勰芸吹降娜熳蠲髁恋暮阈恰炖切?，即為天狼A。它是一顆主序星，視星等-1.47等，呈現(xiàn)出迷人的藍(lán)白色。1844年，德國(guó)天文學(xué)家貝塞爾發(fā)現(xiàn)天狼星的移動(dòng)軌跡呈現(xiàn)出不尋常的波浪狀，并據(jù)此推斷天狼星的旁邊有一顆隱匿的伴星，繞轉(zhuǎn)周期約為50年。1862年，美國(guó)天文學(xué)家克拉克利用自制的4.7米口徑折射望遠(yuǎn)鏡，直接觀察到了這顆7等的伴星。后來(lái)的觀測(cè)表明，天狼B的質(zhì)量同太陽(yáng)相當(dāng)，半徑卻不到太陽(yáng)的1%。如此高的密度說(shuō)明天狼B 是一顆白矮星。這也是天文學(xué)家確認(rèn)的第一顆白矮星。天狼雙星間的角距離一直在緩慢變化中，變化范圍為3角秒至11角秒。如今，只需一架口徑254毫米的業(yè)余光學(xué)望遠(yuǎn)鏡，配以高靈敏度的數(shù)碼相機(jī)，即可分辨出暗淡的天狼B。

除了天狼雙星外，還有一些非常著名的亮恒星也是雙星系統(tǒng)，比如天蝎座的心宿二、獵戶座的參宿七、天鵝座的輦道增七、小犬座的南河三、半人馬座的南門二、御夫座的五車四，等等。實(shí)際上，像太陽(yáng)這樣孑然一身的單星在銀河系里并不多見(jiàn)，絕大多數(shù)恒星都從屬于某個(gè)雙星，甚至是多星系統(tǒng)。能被光學(xué)望遠(yuǎn)鏡直接分辨出來(lái)的雙星被稱為光學(xué)雙星。光學(xué)雙星間的距離通常都在幾百，甚至上千天文單位。至于那些間距小于10天文單位的雙星，雖然常見(jiàn)，但它們之間的角距離往往都超出了地面望遠(yuǎn)鏡的分辨能力，只能依靠靈敏的分光儀來(lái)分辨。這樣的雙星被稱為分光雙星。光學(xué)雙星系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)通常比較松散，主星和伴星間距很遠(yuǎn)，它們各自很可能也都是分光雙星，從而構(gòu)成一個(gè)復(fù)雜的聚星系統(tǒng)。比如北斗七星勺柄的第二顆——開(kāi)陽(yáng)，人們很早就知道它的旁邊有一顆暗淡的小星，古代阿拉伯人曾用它檢驗(yàn)士兵的視力。開(kāi)陽(yáng)旁的小星在中國(guó)被稱為“輔”，天文學(xué)家將它編為大熊座第80號(hào)星。天文望遠(yuǎn)鏡發(fā)明以后，人們發(fā)現(xiàn)開(kāi)陽(yáng)本身就是一顆光學(xué)雙星，開(kāi)陽(yáng)A和開(kāi)陽(yáng)B的角距離約為14.4角秒。分光儀發(fā)明后，人們又發(fā)現(xiàn)開(kāi)陽(yáng)A和開(kāi)陽(yáng)B分別是一對(duì)分光雙星。如此一來(lái)，再加上“輔”星以及旁邊的另一顆暗星，開(kāi)陽(yáng)星實(shí)際上是一個(gè)六合星系統(tǒng)。與之類似，雙子座的北河二在業(yè)余天文望遠(yuǎn)鏡的視野里是一顆美麗的光學(xué)雙星，但分光儀證明它是一個(gè)六合星系統(tǒng)。如此種種，推動(dòng)著數(shù)學(xué)家繼續(xù)討論更多N體系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

N=3

前段時(shí)間，由于劉慈欣的科幻小說(shuō)《三體》的熱賣，數(shù)學(xué)里的三體問(wèn)題在中國(guó)一夜之間變得火熱起來(lái)，網(wǎng)上的科普文章也多了許多。小說(shuō)將“三體問(wèn)題”的不可解性升級(jí)為三體文明生存下去的一個(gè)命門，緊緊抓住讀者的神經(jīng)，不斷推動(dòng)故事情節(jié)的發(fā)展。然而，這其中有個(gè)小小的漏洞：三體行星的運(yùn)動(dòng)在數(shù)學(xué)上應(yīng)該屬于四體問(wèn)題，而不是三體問(wèn)題。當(dāng)然，這樣的漏洞無(wú)傷大雅，況且現(xiàn)實(shí)的情形與小說(shuō)的出入還不止于此。首先，三體文明所在的半人馬座α星并不是一個(gè)純粹的三合星系統(tǒng)，而是兩組近似的雙星系統(tǒng)。南門二A和南門二B首先構(gòu)成了一組相距較近的光學(xué)雙星，軌道半長(zhǎng)軸約為23.5天文單位（比太陽(yáng)到天王星的距離稍遠(yuǎn)）。而比鄰星與南門二雙星的距離差不多有15000天文單位（合0.24光年），是前者的600多倍！所以，比鄰星只是一顆在遙遠(yuǎn)的外圍軌道圍繞南門二雙星旋轉(zhuǎn)的暗弱的紅矮星。另外，《三體》里描述的那種純粹的三星系統(tǒng)的實(shí)際演化時(shí)間一般不超過(guò)幾千年，之后就會(huì)瓦解（瓦解的方式分兩種：一種是兩顆星體發(fā)生碰撞;另一種是一顆星體被甩出三體系統(tǒng)）。而恒星的年齡都以億年計(jì)。所以，小說(shuō)里的那種三星系

統(tǒng)可被認(rèn)為是不穩(wěn)定的。那么，真正穩(wěn)定的三體系統(tǒng)是怎樣的呢？

事實(shí)上，每天徘徊在地球家門口的月球就是一個(gè)活生生的三體系統(tǒng)的例子。月亮同時(shí)受到地球和太陽(yáng)引力的牽制，在宇宙空間中沿著一條類似于擺線的復(fù)雜軌跡運(yùn)行不息。作為地球的天然衛(wèi)星，月球在自己的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行了幾十億年，其間不曾發(fā)生碰撞，也不曾被甩出日地系統(tǒng)。雖然我們常說(shuō)月球圍著地球轉(zhuǎn)，但實(shí)際上，月球圍繞地球的運(yùn)動(dòng)與地球圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)是不能相比的，前者的復(fù)雜性要遠(yuǎn)高于后者。我們前面介紹的許多二體問(wèn)題的結(jié)論都無(wú)法應(yīng)用在月球上，譬如行星星歷表的計(jì)算。若要獲得任意時(shí)刻地球在繞日軌道上的二維坐標(biāo)，只需用牛頓迭代法求解一個(gè)開(kāi)普勒方程即可，而且它是人們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中最早接觸到的超越方程之一。然而對(duì)月球來(lái)說(shuō)，它的軌道參數(shù)在不斷變化之中，根本不可能只求解一個(gè)超越方程便得出月球的位置。19世紀(jì)60年代，天體力學(xué)的攝動(dòng)理論逐漸發(fā)展成熟，法國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家查爾斯·德勞奈于1860年和

1867年分別發(fā)表了兩部長(zhǎng)達(dá)900多頁(yè)的論著，專門討論月球的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。為了計(jì)算月球在任意時(shí)刻的坐標(biāo)，德勞奈在書中給出了一種無(wú)窮級(jí)數(shù)逼近的算法。理論上，這能使月球的星歷計(jì)算達(dá)到比較高的精度，但級(jí)數(shù)逼近算法所需的龐大計(jì)算量又令人頭疼不已。好在計(jì)算機(jī)的誕生將星歷編纂者從浩繁的計(jì)算中拯救了出來(lái)。如今，就連一部不起眼的小手機(jī)，都能在一瞬間算出上下幾千年的月球星歷表，甚至將幾千年后日、月食的發(fā)生時(shí)刻精確到零點(diǎn)幾秒。這不能不說(shuō)是人類對(duì)抗不可解的三體問(wèn)題所取得的一種勝利。（待續(xù)）