不確定輪式移動(dòng)機(jī)器人統(tǒng)一自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)H∞控制

葉錦華 吳海彬

福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州，350116

不確定輪式移動(dòng)機(jī)器人統(tǒng)一自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)H∞控制

葉錦華 吳海彬

福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州，350116

提出了一種基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和H∞控制的輪式移動(dòng)機(jī)器人光滑全局跟蹤和鎮(zhèn)定統(tǒng)一的控制器。首先采用橫截函數(shù)方法，擴(kuò)展系統(tǒng)控制輸入，建立與原系統(tǒng)等價(jià)的、輸入輸出完全解耦的無(wú)奇異全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，再對(duì)新系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)H∞控制器。自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制可有效補(bǔ)償系統(tǒng)的復(fù)雜不確定項(xiàng)。H∞控制器可同時(shí)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差進(jìn)行預(yù)定水平抑制，進(jìn)一步提高控制器的適應(yīng)性，優(yōu)化系統(tǒng)的控制性能。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

輪式移動(dòng)機(jī)器人；軌跡跟蹤與鎮(zhèn)定統(tǒng)一控制；自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；H∞控制；橫截函數(shù)

0 引言

非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人(wheeled mobile robots，WMR)是一類典型的多輸入、多輸出非完整系統(tǒng)，其控制器設(shè)計(jì)的困難一方面在于系統(tǒng)不滿足Brockett的必要條件[1]，不存在光滑時(shí)不變靜態(tài)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制律，另一方面在于系統(tǒng)存在控制輸入欠驅(qū)動(dòng)。解決這兩個(gè)困難的單一控制方法已取得較為豐富的研究成果[2-4]，但是只有少數(shù)學(xué)者進(jìn)行了WMR統(tǒng)一控制器的研究[5-13]。統(tǒng)一控制器可以避免實(shí)際應(yīng)用中采用單一控制器組合時(shí)的切換控制，有利于提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性。然而采用時(shí)變控制器[5]易產(chǎn)生控制輸入高頻震蕩，采用基于極坐標(biāo)方法[6]和動(dòng)態(tài)反饋控制方法[7]設(shè)計(jì)的控制器存在潛在的奇異，而鎮(zhèn)定控制往往需要額外的限制條件來(lái)解決奇異問(wèn)題。鑒于此，文獻(xiàn)[8]采用橫截函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)WMR的無(wú)奇異“實(shí)際線性化”，即通過(guò)擴(kuò)展控制輸入解決系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)問(wèn)題。但文獻(xiàn)[8]僅討論了理想系統(tǒng)，而實(shí)際的WMR系統(tǒng)總存在模型的不確定性，不可避免地受到外界干擾的影響。文獻(xiàn)[5]基于Lyapunov直接法和反演設(shè)計(jì)技術(shù)，在系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況下，設(shè)計(jì)了WMR全局時(shí)變輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)統(tǒng)一控制器，但該控制器適用于不確定參數(shù)為固定或慢時(shí)變的狀況。文獻(xiàn)[9]基于WMR的擴(kuò)展Heisenberg系統(tǒng)形式，采用滑?？刂萍夹g(shù)設(shè)計(jì)了一類統(tǒng)一控制器，但該控制器易產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[10]結(jié)合微分平坦和高維動(dòng)態(tài)擴(kuò)展方法設(shè)計(jì)了WMR的統(tǒng)一控制器，該控制器僅對(duì)WMR轉(zhuǎn)動(dòng)軸上的常值干擾具有魯棒性，魯棒性能有限。

為了彌補(bǔ)上述方法的不足，筆者基于橫截函數(shù)方法設(shè)計(jì)了WMR的統(tǒng)一控制器，提出一種結(jié)合自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(adaptive RBF neural network, ARBFNN)控制和H∞優(yōu)化控制的方法。通過(guò)H∞控制對(duì)外界未知擾動(dòng)和ARBFNN的逼近誤差進(jìn)行預(yù)定水平魯棒抑制，進(jìn)一步提高了控制器的控制性能。

1 問(wèn)題的描述

一般帶漂移項(xiàng)的非完整機(jī)械系統(tǒng)可表示為

(1)

式中，廣義坐標(biāo)向量q屬于一個(gè)n維流形G；Xi為系統(tǒng)的光滑控制向量場(chǎng)；ui為控制輸入；P*(q，t)為系統(tǒng)的未知不確定漂移項(xiàng)；τd為未知外部擾動(dòng)。

當(dāng)Xi為左不變向量場(chǎng)時(shí)，稱系統(tǒng)(式(1))為左不變系統(tǒng)。

本文研究符合unicycle類型的(2，0)型WMR[14]，即m=2，n=3，定義q=[x y θ]T，u=[u1u2]T，u1、u2分別為WMR的前進(jìn)速度和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，則有

X1=[cosθsinθ0]T

X2=[0 0 1]T

向量場(chǎng)X1、X2滿足李代數(shù)的秩條件[8]，因此， unicycle型WMR是局部能控的。軌跡跟蹤控制時(shí)，為避免跟蹤誤差系統(tǒng)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)上的奇異，參考軌跡需要滿足隨時(shí)間變化的“持續(xù)激勵(lì)”條件[15]。鎮(zhèn)定點(diǎn)為與時(shí)間無(wú)關(guān)的固定常數(shù)，從而導(dǎo)致跟蹤控制器無(wú)法直接用于鎮(zhèn)定控制，這給跟蹤和鎮(zhèn)定統(tǒng)一控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)了障礙，文中通過(guò)橫截函數(shù)方法來(lái)解決這樣的問(wèn)題。

橫截函數(shù)方法首先構(gòu)造一個(gè)可微橫截函數(shù)：

f(α):Tn-m→μ

(2)

式中，“·”表示群運(yùn)算符。

注意到q∈SE(2)，且易驗(yàn)證unicycle型WMR為左不變系統(tǒng)，即?q1,q2∈G:dLq1(q2)X(q2)=X(q1q2)，其中，Lq1表示q1的群左平移操作，dLq1(q2)表示Lq1對(duì)q2的微分，則對(duì)式(2)求導(dǎo)，并將式(1)代入可得

(3)

D=P*(q，t)+τde=[0 0 0]T

其中， Rq表示q的群右平移操作；ur=[ur1ur2]T為軌跡參考速度。令z=[z1z2z3]T，進(jìn)一步引入橫截函數(shù)，并構(gòu)建新的誤差方程：

(4)

對(duì)(4)式求導(dǎo)可得

(5)

(6)

(7)

則式(5)可化為

(8)

式(8)是一個(gè)包含原系統(tǒng)等價(jià)不確定項(xiàng)的線性系統(tǒng)，可見，即使D為不匹配不確定項(xiàng)，在新系統(tǒng)下也實(shí)現(xiàn)了解耦匹配，這給控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)極大的方便。

橫截函數(shù)f(α)的存在與否是橫截函數(shù)方法的一個(gè)關(guān)鍵，可以通過(guò)式(6)的橫截條件來(lái)判定一個(gè)函數(shù)是否構(gòu)成橫截函數(shù)。同一系統(tǒng)橫截函數(shù)的構(gòu)造并不唯一，文中取橫截函數(shù)為

易驗(yàn)證該函數(shù)可以滿足橫截條件。對(duì)f(α)求導(dǎo)后可得

于是有

其中，ε1、ε2為設(shè)計(jì)參數(shù)，ε1>0，ε2>0。顯然ε1、ε2取值越小，f(α)越接近于平衡點(diǎn)e。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差越小，控制器的增益越大，這導(dǎo)致系統(tǒng)的控制量加大，這容易引起控制器飽和，因此應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要對(duì)ε1、ε2進(jìn)行合理取值。

文中的研究問(wèn)題是基于誤差系統(tǒng)(式(8))，設(shè)計(jì)WMR的統(tǒng)一控制器，實(shí)現(xiàn)WMR的全局漸進(jìn)穩(wěn)定跟蹤和鎮(zhèn)定控制，并消除系統(tǒng)未知不確定和擾動(dòng)的影響。

2 控制器設(shè)計(jì)與分析

本文將ARBFNN控制同H∞優(yōu)化控制結(jié)合起來(lái)，使控制器能適用于同時(shí)包含未知參數(shù)和非參數(shù)不確定性的復(fù)雜系統(tǒng)，提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的收斂速度。ARBFNN控制器用于補(bǔ)償不確定漂移項(xiàng)P；H∞控制器不僅保證系統(tǒng)控制性能，還能保證對(duì)擾動(dòng)τd和ARBFNN控制器補(bǔ)償誤差ε的預(yù)定水平抑制。

因?yàn)槭?8)是一個(gè)線性系統(tǒng)，所以可對(duì)z中每個(gè)變量分別進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，定義

則下式成立：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，ψ為網(wǎng)絡(luò)輸入，ψ=[iZ1iZ2]；W為權(quán)重，W=[w1w2…wl]T∈Rl；l為連接節(jié)點(diǎn)數(shù)，l>0；徑向基ζ(ψ)=[c1c2…cl]T；μl=[μl1μl2]T為隱含層神經(jīng)元感應(yīng)區(qū)的中心點(diǎn);ηl為高斯函數(shù)的基寬；ω為RBFNN的逼近誤差。

當(dāng)W為最優(yōu)值時(shí)，ω的值最小。定義估計(jì)值為

(13)

對(duì)于H∞控制，是在讓系統(tǒng)穩(wěn)定的所有控制器中，選擇一個(gè)使得抑制信號(hào)到系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)最小的控制器，保證整個(gè)系統(tǒng)滿足H∞控制性能。對(duì)線性系統(tǒng)(式(9))而言，H∞控制器的設(shè)計(jì)可歸結(jié)為求解Riccati代數(shù)方程的過(guò)程，設(shè)計(jì)H∞魯棒控制項(xiàng)v為

v=-δTPB/γ

(14)

式中，γ為正的常數(shù)；B=[0 1]T；P為正定矩陣。

通過(guò)如下Riccati代數(shù)方程來(lái)求解P：

PA+ATP+Q+(1/μ2-2/γ)PBBTP=0

(15)

其中，Q為給定的正定矩陣。μ(μ>0)為預(yù)定抑制水平值，為了保證獲得半正定解P，應(yīng)滿足2μ2>γ，將式(10)、式(11)代入式(9)可得

(16)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

(17)

式中，λ為正常數(shù)。

(18)

T∈[0，∞) Ψ∈L2[0，T]

證明：選擇候選正定Lyapunov函數(shù)為

(19)

對(duì)式(19)求導(dǎo)，并將式(14)、式(16)代入可得

(20)

再將式(15)、(17)代入式(20)有

δTPBΨ)/2=

-[δTQδ+(BTPδ/μ-μΨ)T(BTPδ/μ-μΨ)-

μ2Ψ2]/2≤(μ2Ψ2-δTQδ)/2≤

(21)

(22)

因?yàn)閂(T)≥0，則有

(23)

而

(24)

將式(24)代入式(23)可得式(18)，定理證明完畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)MATLAB環(huán)境下的仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證文中控制器的有效性和控制效果。首先進(jìn)行控制器的控制參數(shù)配置，對(duì)Ui取k=[1 1]T，顯然可以使得矩陣A的特征根都在左半開平面，取Q為2×2的單位矩陣，γ=0.01，預(yù)定抑制水平μ=0.16，求解式(15)所示的Riccati代數(shù)方程可得到

橫截函數(shù)的設(shè)計(jì)參數(shù)取ε1=0.08，ε2=0.2，α(0)=0。假設(shè)WMR系統(tǒng)在8～10s內(nèi)受到輪子的側(cè)滑擾動(dòng)，定義打滑模型為

其中，打滑幅度?(t)=0.6，假設(shè)系統(tǒng)的不確定項(xiàng)為

首先對(duì)WMR使用文獻(xiàn)[8]提出的比例控制器。由圖1可知，由于受到不確定性的不利影響，普通控制器無(wú)法進(jìn)行有效補(bǔ)償，軌跡跟蹤過(guò)程存在較大的控制誤差，改變控制器增益時(shí)，控制效果仍不能得到改善。使用文中所提控制器，在關(guān)閉ARBFNN即僅使用H∞控制器時(shí)，軌跡跟蹤結(jié)果如圖2所示。通過(guò)H∞控制的魯棒抑制，跟蹤效果得到了一定的改善，但由于系統(tǒng)不確定性較為復(fù)雜，故仍存在較為明顯的跟蹤誤差。

圖1 文獻(xiàn)[8]控制器的軌跡跟蹤結(jié)果Fig.1 Track locus of controller in reference[8]

圖2 關(guān)閉ARBFNN時(shí)文中控制器的軌跡跟蹤結(jié)果Fig.2 Track locus of the proposed controller when ARBFNN is closed

開啟ARBFNN后的軌跡跟蹤如圖3所示。從圖3和表1可以看出，系統(tǒng)擾動(dòng)和不確定性項(xiàng)得到了有效補(bǔ)償，文中控制器取得良好的控制效果，保證WMR精確地跟蹤參考軌跡。

(a)文中控制器軌跡跟蹤結(jié)果

(b)軌跡跟蹤誤差

(c)新誤差系統(tǒng)狀態(tài)變化情況圖3 文中控制的軌跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of track locus of the proposed controller

文獻(xiàn)[8]控制器H∞控制器文中控制器Δx(mm)19.95.30.16Δy(mm)25.67.80.38Δθ(rad)0.12890.08780.0013

(a)點(diǎn)鎮(zhèn)定過(guò)程

(b)鎮(zhèn)定誤差變化情況

(c)新誤差系統(tǒng)狀態(tài)變化情況圖4 點(diǎn)鎮(zhèn)定仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of point stabilization

使用統(tǒng)一控制器對(duì)WMR進(jìn)行點(diǎn)鎮(zhèn)定控制，取q(0)=[8m8m0rad]T，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4a可以看出，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定后，盡管受到輪子打滑擾動(dòng)的干擾，WMR仍很快又恢復(fù)到平衡值，消除了系統(tǒng)不確定和外部擾動(dòng)的影響。由圖4b、圖4c可知，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的鎮(zhèn)定誤差為有界值(|Δx|≤1.9mm，|Δy|≤3.4mm，|Δθ|≤0.042rad)，這是橫截函數(shù)方法實(shí)際鎮(zhèn)定的結(jié)果。值得一提的是，鎮(zhèn)定誤差有界值可以通過(guò)調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)ε1和ε2來(lái)改變，以滿足不同系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用需求。

4 結(jié)語(yǔ)

研究了包含不確定和外部擾動(dòng)的WMR軌跡跟蹤和鎮(zhèn)定統(tǒng)一控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，針對(duì)WMR變量耦合和欠驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，利用原系統(tǒng)對(duì)群運(yùn)算的左不變性，采用橫截函數(shù)方法進(jìn)行解耦和控制輸入擴(kuò)展。橫截函數(shù)方法將鎮(zhèn)定控制的漸進(jìn)鎮(zhèn)定于原點(diǎn)放寬為實(shí)際有界鎮(zhèn)定，盡管僅獲得有界的控制精度，卻取消了對(duì)參考軌跡“持續(xù)激勵(lì)”條件的限制，讓光滑時(shí)不變反饋的統(tǒng)一控制律的設(shè)計(jì)成為可能，并保證控制器的全局性。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)系統(tǒng)存在的不確定性和外部擾動(dòng)，通過(guò)結(jié)合ARBFNN控制和H∞控制，在對(duì)系統(tǒng)復(fù)雜不確定性進(jìn)行有效補(bǔ)償?shù)耐瑫r(shí)，對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)和ARBFNN

逼近誤差進(jìn)行預(yù)定水平抑制，提高了控制器對(duì)高度不確定系統(tǒng)的適應(yīng)性，保證了控制器優(yōu)化的控制性能。對(duì)圓弧軌跡跟蹤控制和原點(diǎn)鎮(zhèn)定控制的仿真結(jié)果表明，該統(tǒng)一控制器可消除系統(tǒng)不確定性和外部擾動(dòng)的影響，提高軌跡跟蹤和鎮(zhèn)定效果。

[1] BROCKETT R W. Asymptotic Stability and Feedback Stabilization[M]. Boston：Birkhauser，1983.

[2] 葉錦華，李迪，葉峰. 輸入受限非完整移動(dòng)機(jī)器人的自適應(yīng)模糊控制[J].中國(guó)機(jī)械工程，2014，25(8)：1010-1016. YE Jinhua，LI Di，YE Feng. Adaptive Fuzzy Control of Nonholonomic Mobile Robots with Bounded Inputs[J]. China Mechanical Engineering，2014，25(8)：1010-1016

[3] Al-Araji A S，ABBOD M F，Al-RAWESHIDY H S. Applying Posture Identifier in Designing an Adaptive Nonlinear Predictive Controller for Nonholonomic Mobile Robot[J]. Neurocomputing, 2013, 99: 543-554.

[4] AROGETI S A, BERMAN N. Path Following of Autonomous Vehicles in the Presence of Sliding Effects[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology，2012，61(4)：1481-1491.

[5] HUANG J S, WEN C Y, JIANG Z P. Adaptive Stabilization and Tracking Control of a Nonholonomic Mobile Robot with Input Saturation and Disturbance[J]. System & Control Letters, 2013, 62: 234-241.

[6] SUM S L, CUI P Y. Path Tracking and a Practical Point Stabilization of Mobile Robot[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2004, 20: 29-34.

[7] MA M M, HONG C, LIU X J. Tracking and Stabilization Control of WMR by Dynamic Feedback Linearization[C]//Chinese Control and Decision Conference. Beijing，2011: 3430-3435.

[8] MORIN P，SAMSON C. Control of Nonholonomic Mobile Robots Based on the Transverse Function Approach[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2009, 25(5): 1058-1073.

[9] DEFOORT M, DJEMAI M. Finite-time Controller Design for Nonholonomic Mobile Robot Using the Heisenberg Form[C]//IEEE International Confer-ence on Control Applications. Lille，F(xiàn)rance，2010: 1269-1274.

[10] BUCCIERI D, PERRITAZ D, MULLHAUPT, et al. Velocity-scheduling Control for a Unicycle Mobile Robot-theory and Experiments[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2009, 25(2): 451-458.

[11] MICHALEK M, KOZLOWSKI K. Unified Approach to Trajectory Tracking and Set-point Control for a Front-axle Driven Car-like Mobile Robot[C]//IEEE American Control Conference. Poznan，Polan，2011: 1112-1117.

[12] MA M M, LI S, LIU X J. Tracking Control and Stabilization of Wheeled Mobile Robots by Non-linear Model Predictive Control[C]//Proceeding of the 31st Chinese Control Conference. Hefei，China, 2012: 4056- 4061.

[13] ZHU X C, DONG G H, CAI Z X，et al. Robust Simultaneous Tracking and Stabilization of Wheeled Mobile Robots not Satisfying Nonholonomic Constr-aint [J]. J. Cent. South Univ. Techno., 2007, 14(4): 537-545.

[14] YU W, CHUY O Y, COLLINS E G, et al. Analysis and Experimental Verification for Dynamic Modeling of a Skid-steered Wheeled Vehicle[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2010, 26(2): 340-353.[15] LEE T C, LEE C H, TENG C C. Tracking Control of Unicycle-modeled Mobile Robots Using a Saturation Feedback Controller[J]. IEEE Transactions on Cont-rol Systems Technology,2001,9(2):305-318.

(編輯 張 洋)

Unified Adaptive Neural NetworkH∞Control of Uncertain Wheeled Mobile Robots

YE Jinhua WU Haibin

School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University,Fuzhou，350116

A smooth global unified controller of trajectory tracking and stabilization was proposed for nonholomomic wheeled mobile robots based on adaptive neural network control andH∞control. Firstly, the system control inputs were expanded by transverse function method, a nonsingular full drive system which was equivalent to original system was established with decoupled input-output. Then an adaptive neural networkH∞controller was designed for the new system, such that the complex system uncertainty was compensated effectively by the adaptive neural network. Disturbances and approximation errors were attenuated with a prescribed disturbance lever by theH∞control. Adaptability of the controller were further improved, and the control performance was optimized. The effectiveness of the algorithm were verified by simulation results.

wheeled mobile robot; unified control of trajectory tracking and stabilization; adaptive neural network;H∞control; transverse function

2015-12-29

2016-09-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175084)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J05121)；福州大學(xué)科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(510078)；福州大學(xué)科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目(650053)

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.02.005

葉錦華，男，1982年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院講師。主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)。發(fā)表論文10余篇。E-mail:yejinhua@fzu.edu.cn。吳海彬，男，1973年生。福州大學(xué)學(xué)院機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。