基于最大熵原理的順層邊坡地震模糊可靠度分析

龔文惠，鐘旭晗，陳訓(xùn)龍，邱金偉，李 逸

(華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

基于最大熵原理的順層邊坡地震模糊可靠度分析

龔文惠，鐘旭晗，陳訓(xùn)龍，邱金偉，李 逸

(華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

考慮地震作用和邊坡失穩(wěn)的模糊性，運(yùn)用最大熵方法對順層巖質(zhì)邊坡的地震模糊可靠度進(jìn)行計算；采用擬靜力法，將地震荷載簡化成水平方向和豎直方向的慣性力，考慮順層巖質(zhì)邊坡極限狀態(tài)的模糊性，建立順層巖質(zhì)邊坡的模糊極限狀態(tài)方程；運(yùn)用最大熵原理，通過數(shù)據(jù)樣本估計出最接近真實情況的概率密度分布，充分利用隨機(jī)變量的高階矩信息，推導(dǎo)地震作用下順層巖質(zhì)邊坡的模糊失效概率的表達(dá)式；結(jié)合工程實例，通過計算，得出模糊失效概率。計算結(jié)果表明：該方法收斂速度快，計算效率高，更加符合工程實際，能廣泛運(yùn)用于實際工程中的模糊可靠性分析。

巖土工程；最大熵原理；地震作用；順層巖質(zhì)邊坡；模糊可靠度

0 引 言

因地震引發(fā)的邊坡穩(wěn)定性問題一直受到巖土工程與地質(zhì)災(zāi)害防治領(lǐng)域的高度關(guān)注。20世紀(jì)50年代后期，邊坡穩(wěn)定性評價逐步形成了以極限平衡理論居主導(dǎo)、有限元和有限差分等數(shù)值方法為輔的定量評價體系?；诖_定性理論的這些方法，其缺點(diǎn)是沒有考慮巖土體物理力學(xué)性質(zhì)的不確定性，而以概率和統(tǒng)計分析為基礎(chǔ)的可靠度分析方法則更能合理地考慮邊坡穩(wěn)定性影響因素(包括地震作用)的不確定性和復(fù)雜性[1-2]。

邊坡問題的不確定性主要有兩種：隨機(jī)性和模糊性。隨機(jī)性表現(xiàn)為事件發(fā)生條件不充分，條件與結(jié)果之間沒有必然的因果關(guān)系，例如邊坡巖土參數(shù)的隨機(jī)性；模糊性表現(xiàn)為研究對象外延不明確，即一個對象是否符合既定概念是難以確定的，例如邊坡從“絕對安全”到“完全失效”，其間存在一段中間狀態(tài)，邊坡的失效具有模糊性；對于地震作用，其相互作用力的復(fù)雜性通常只能根據(jù)經(jīng)驗確定，也具有很強(qiáng)的模糊性。在邊坡工程中，模糊性是一種更為深刻、更為普遍的不確定性[3-5]。將概率理論和模糊數(shù)學(xué)理論相結(jié)合，可以較好地處理邊坡問題的隨機(jī)性和模糊性的影響。

國內(nèi)一些學(xué)者針對邊坡的隨機(jī)性和模糊性進(jìn)行了相關(guān)的研究。付士根[6]通過對影響邊坡穩(wěn)定的各個力學(xué)參數(shù)進(jìn)行模糊處理，然后應(yīng)用統(tǒng)計矩點(diǎn)估計方法估計邊坡的安全系數(shù)均值和可靠度。王廣月等[7]綜合考慮邊坡平面滑動的隨機(jī)性和模糊性，提出邊坡失穩(wěn)的模糊概率和邊坡穩(wěn)定性模糊隨機(jī)可靠度的計算方法。呂璽琳等[8]在一次二階矩法基礎(chǔ)上，推導(dǎo)基于瑞典條分法及畢肖普法計算模糊隨機(jī)可靠度的具體公式。這些方法均是在傳統(tǒng)的可靠度計算方法上考慮隨機(jī)性和模糊性的影響，傳統(tǒng)的可靠度計算方法需要依賴大量的統(tǒng)計資料，而且只使用基本變量的均值和方差信息，無法更好地與實際工程相符。

為了使結(jié)果更加精確可靠，筆者運(yùn)用最大熵方法進(jìn)行可靠度分析。最大熵原理的實質(zhì)就是，當(dāng)我們需要對一個隨機(jī)事件的概率分布進(jìn)行預(yù)測時，我們的預(yù)測滿足全部已知的條件，而對未知的情況不要做任何主觀假設(shè)，在這種情況下，概率分布最均勻，預(yù)測的風(fēng)險最小，不僅能考慮樣本參數(shù)的均值和方差，樣本參數(shù)的偏度、對稱性、峰度和其他高階中心矩等信息也參與計算，可以更好地擬合出功能函數(shù)的概率密度函數(shù)，構(gòu)造“最佳”概率分布，與工程實際更加相符。

筆者通過建立地震作用下順層巖質(zhì)邊坡的模糊極限狀態(tài)方程，運(yùn)用最大熵原理，推導(dǎo)地震作用下順層巖質(zhì)邊坡模糊失效概率的計算表達(dá)式，從而能進(jìn)行地震作用下的順層巖質(zhì)邊坡的模糊可靠度分析。

1 模糊極限狀態(tài)方程

1.1 地震作用下順層巖質(zhì)邊坡力學(xué)分析

基本假定：

1)順層巖質(zhì)邊坡變形破壞模式為順層滑移破壞，選取貫穿坡腳到坡頂?shù)能浫踅Y(jié)構(gòu)面為最危險滑動面，如圖1。

圖1 邊坡計算斷面Fig.1 Slope profile for calculation

2)滑裂面上恰好達(dá)到極限平衡狀態(tài)且滿足莫爾-庫倫屈服準(zhǔn)則。

采用擬靜力法，將地震作用簡化為水平方向或垂直方向不變的慣性力，根據(jù)極限平衡法或有限元強(qiáng)度折減法計算得到邊坡擬靜力安全系數(shù)。水平向地震慣性力可按式(1)計算：

QH=KHCZαiW

(1)

式中：QH為作用于滑動體中心點(diǎn)的水平向地震慣性力；KH為水平向地震系數(shù)，按文獻(xiàn)[9]采用；CZ為綜合影響系數(shù)，取0.25；αi為地震加速度分布系數(shù)；W為滑動體的重力。

在分析地震作用下的邊坡受力中，一般可只考慮水平向地震作用，但對于設(shè)計烈度為8、9度的大型工程，則應(yīng)同時考慮水平向和豎直向的地震慣性力作用。但由于水平向最大地震力與垂直向最大地震力很少同時發(fā)生，故對于垂直向地震力建議乘以0.5的系數(shù)[9]。垂直向地震慣性力按式(2)計算：

QV=0.5KVCZαiW

(2)

式中：QV為作用于滑動體中心點(diǎn)的豎向地震慣性力；KV為垂直向地震系數(shù)，KV=2KH/3。

式中地震加速度分布系數(shù)αi的取值如圖2[10]，圖中，αm在設(shè)計烈度為7，8，9度時，分別取為3.0，2.5，2.0。由圖2可見，αi是分段線性的，其中H為邊坡的坡高，h為滑動體重心到坡底的垂直高度。

圖2 地震加速度分布系數(shù)Fig.2 Distribution coefficient of seismic acceleration

根據(jù)以上原理考慮地震作用，對順層巖質(zhì)邊坡滑動體進(jìn)行如圖3的力學(xué)分析。圖3中，QH為作用于滑動體中心點(diǎn)的水平向地震慣性力，QV為作用于滑動體中心點(diǎn)的豎向地震慣性力，W為滑動體的重力；N為坡面的法向支撐力，T′為切向的摩擦阻力。

圖3 滑動體受力分析Fig.3 Force analysis of sliding block

由圖3受力分析，根據(jù)靜力平衡條件，∑Fx=0，∑Fy=0，可求得邊坡下滑力和抗滑力分別為

(3)

式中：c為巖土體的黏聚力；L為滑動面的長度；φ為巖土體的內(nèi)摩擦角。

1.2 邊坡穩(wěn)定的功能函數(shù)

根據(jù)極限平衡理論，邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)FS在此處定義為抗滑力與下滑力之比。根據(jù)實際工程特點(diǎn)及邊坡的重要性，一般要求FS≥1.2，筆者取FS=1.2為臨界狀態(tài)。當(dāng)FS>1.2時，邊坡處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)FS<1.2時，邊坡處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

邊坡的穩(wěn)定安全系數(shù)的表達(dá)式為

(4)

(5)

(6)

1.3 模糊極限狀態(tài)方程的建立

邊坡失穩(wěn)的模糊隨機(jī)事件可表示為

(13)

于是式(13)為邊坡破壞失穩(wěn)的功能函數(shù)，以式(11)和式(12)為補(bǔ)充條件，根據(jù)式(6)可得本文采取的計算模型在地震作用下的等效功能函數(shù)為

1.2-X3

(14)

式中：黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ為隨機(jī)變量；X3為新的隨機(jī)變量。

為表示邊坡極限狀態(tài)的模糊性，引入一個在“零”附近的不確定區(qū)間，即模糊臨界區(qū)間，以此代替?zhèn)鹘y(tǒng)極限狀態(tài)臨界點(diǎn)。模糊臨界區(qū)間用[a,b]表示(a，b為待定常數(shù))，分析計算時，[a,b]可近似地取以“零”點(diǎn)為對稱的區(qū)間，即a=-b。將隸屬函數(shù)取作降半梯形分布，即：

(15)

由式(11)和(12)可得，X3服從區(qū)間(a，b)上的均勻分布，其概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為

(16)

(17)

因此，地震作用下順層巖質(zhì)邊坡的模糊極限狀態(tài)方程為

(18)

2 最大熵原理及求解模糊可靠度方法

1948年，SHANNON將熱力學(xué)熵的概念引入信息論中，首次提出信息熵的概念，把熵作為一個隨機(jī)事件的“不確定性”或信息量的量度，從而奠定現(xiàn)代信息論的科學(xué)理論基礎(chǔ)[12-14]。

2.1 最大熵原理

對于某一特定的信息源，其信息熵只有一個。不同的信息源，其信息熵是不同的。SHANNON自定義信息的數(shù)學(xué)期望為信息熵，即為信息源的平均信息量，SHANNON引入下列函數(shù)：

(19)

若隨機(jī)事件服從概率密度為fX(x)的連續(xù)分布，SHANNON熵為

(20)

在已知的信息附加約束條件下使信息熵最大，所得到的概率分布是最符合實際情況的，由此可得到一種構(gòu)造“最佳”概率分布的途徑。當(dāng)數(shù)據(jù)或條件不夠時，最大熵原理的意義就在于，在所有可行解中，滿足一定約束條件時，應(yīng)該選擇熵最大的一個。因為熵可以表示一個系統(tǒng)的不確定程度，此時的解包含的主觀成分最少，因而是最客觀的[15]。

將隨機(jī)變量X的前m階原點(diǎn)vXi(i=0，1，…，m)作為約束條件，即在下列條件下使式(20)取到最大值：

(21)

隨機(jī)變量X的中心矩為

i=0，1，…，m

(22)

式中：μX=vX1為X的均值。

利用Lagrange乘子法，建立拉格朗日函數(shù)如式(23)：

(23)

整理后可得最大熵概率密度函數(shù)為

(24)

應(yīng)用約束條件可以得到λ0，λ1，…，λm所滿足的方程：

(25)

為了便于數(shù)值求解，將式(25)改寫為

(26)

為了便于建立優(yōu)化函數(shù)表達(dá)式，令

(27)

2.2 模糊可靠度的求解方法

(28)

約束條件為

(29)

(30)

(31)

(32)

則邊坡失穩(wěn)的模糊失效概率為

(33)

因此，只要求得拉格朗日乘子λ0，λ1，…，λm，利用相關(guān)數(shù)學(xué)程序?qū)崿F(xiàn)，就可以求得邊坡的模糊失效概率。

3 算例分析

3.1 工程概況

以文獻(xiàn)[16]的邊坡為例，如圖4，地震設(shè)防烈度為8度，依據(jù)有關(guān)試驗資料進(jìn)行統(tǒng)計，順層巖質(zhì)邊坡的有關(guān)參數(shù)如表1。

圖4 邊坡計算模型(單位：m)Fig.4 Slope calculation model

巖體參數(shù)重度γ/(kN·m-3)黏聚力c/kPa平均值標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)摩擦角φ/(°)平均值標(biāo)準(zhǔn)差參量2022212．0715451．21

3.2 可靠度計算

則取值。

為了說明基于最大熵方法可靠度分析結(jié)果的可靠性，采用蒙特卡洛法進(jìn)行驗證。地震作用下順層巖質(zhì)邊坡的模糊可靠度的蒙特卡洛法和本文方法計算結(jié)果進(jìn)行比較，如表2。

表2 模糊可靠度計算結(jié)果

3.3 結(jié)果對比分析

根據(jù)計算結(jié)果，可以看出，考慮極限狀態(tài)的模糊性的影響后，邊坡失效概率比不考慮模糊性時的計算結(jié)果大，這是符合理論與實際的，兩者誤差為7.3%，說明了考慮極限狀態(tài)的模糊性在保證邊坡工程安全方面的重要性。

運(yùn)用最大熵原理計算出的模糊失效概率和可靠度指標(biāo)與蒙特卡洛法模擬100萬次的計算結(jié)果比較接近，說明利用最大熵原理進(jìn)行可靠度計算的結(jié)果具有一定的精度，有實際應(yīng)用價值。在計算過程中，最大熵方法的收斂速度明顯優(yōu)于蒙特卡洛法，具有較高的計算效率。

3.4 巖體力學(xué)參數(shù)對邊坡模糊可靠度的影響

通過改變順層巖質(zhì)邊坡巖體的主要物理力學(xué)參數(shù)即內(nèi)摩擦角和黏聚力值，進(jìn)一步驗證最大熵方法的可行性，可以得到內(nèi)摩擦角和黏聚力與模糊失效概率的關(guān)系曲線如圖5，以及內(nèi)摩擦角和黏聚力與可靠度指標(biāo)的關(guān)系曲線如圖6。

圖5 內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c與模糊失效概率pf關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between angle of friction φ and cohension c and fuzzy failure probability pf

圖6 內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c與可靠度指標(biāo)β關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between angle of friction φ and cohension c and reliability index β

從圖5、圖6中可以看出，邊坡巖體力學(xué)參數(shù)內(nèi)摩擦角和黏聚力對地震作用下順層巖質(zhì)邊坡的模糊可靠度有很大的影響，內(nèi)摩擦角和黏聚力越大，邊坡的模糊失效概率越低，可靠度指標(biāo)越高。通過改變參數(shù)進(jìn)行計算和對比，可以看出最大熵方法在計算地震作用下順層巖質(zhì)邊坡的模糊可靠度的實用性和可靠性。

最大熵方法在求解計算時克服了傳統(tǒng)可靠度計算方法中只考慮隨機(jī)變量均值和方差的缺陷，在計算過程中考慮樣本的均值和方差外，它的偏度、對稱性、峰度和其他高階中心矩等信息也參與計算，從而使得結(jié)果更加合理可靠，精度更高。

4 結(jié) 論

將模糊理論與最大熵原理結(jié)合，充分利用高階矩信息，計算順層巖質(zhì)邊坡在地震作用下的模糊可靠度。結(jié)合具體算例，得出以下結(jié)論：

1)邊坡工程由于其模糊性和隨機(jī)性這兩種不確定性廣泛存在，忽略任何一種都將使邊坡的穩(wěn)定性分析結(jié)果偏離實際。模糊性對邊坡的可靠度有較大的影響，常規(guī)的可靠度計算方法所求的失效概率偏小，不利于判斷邊坡的安全狀態(tài)。因此，必須特別重視模糊性對邊坡穩(wěn)定的影響。

2)運(yùn)用最大熵方法進(jìn)行可靠度計算時，與蒙特卡洛法相比，收斂速度快，計算效率高。對于基本隨機(jī)變量可以不考慮其實際概率分布，比傳統(tǒng)的方法更有應(yīng)用價值。

3)最大熵方法充分地利用樣本參數(shù)的各階矩、偏態(tài)系數(shù)、峰度系數(shù)等信息，直接反映了真實信息，更好地擬合出功能函數(shù)的概率密度函數(shù)，更加符合工程實際。本文方法采用的數(shù)據(jù)直接來源于樣本，減少了對已有數(shù)據(jù)和經(jīng)典概率分布的依賴，為邊坡的模糊可靠性分析開拓新的思路。

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(責(zé)任編輯 譚諸凱)

Seismic Fuzzy Reliability Analysis of Bedding Slope Based on the Maximum Entropy Principle

GONG Wenhui, ZHONG Xuhan, CHEN Xunlong, QIU Jinwei, LI Yi

(School of Civil Engineering & Mechanics, Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074, Hubei, P.R. China)

The maximum entropy method was applied to calculating the seismic fuzzy reliability of bedding slope with the seismic action and the fuzziness of slope instability considered. By pseudo-static method, the seismic load was simplified into horizontal and vertical inertial force and the fuzzy limit state equation was established with the fuzziness of the limit states considered. The maximum entropy principle was applied to estimate the probability density distribution which was closest to reality and the higher order moments of the random variable information were fully used to calculate the fuzzy failure probability of bedding rock slope under seismic load. An example was analyzed and the fuzzy failure probability was calculated. The results from a case study indicate that the method with a fast convergence and a high calculation efficiency which more complies with engineering practice can be widely used in fuzzy reliability analysis of practical engineering.

geotechnical engineering; maximum entropy principle; seismic action; bedding rock slope; fuzzy reliability

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.01.11

2015-10-19；

2015-12-08

國家自然科學(xué)基金項目(51278217)

龔文惠(1966—)，女，湖北英山人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事巖土力學(xué)、地基處理和邊坡穩(wěn)定方面的研究。E-mail: gwh 87806869@163.com。

陳訓(xùn)龍(1989—)，男，安徽安慶人，博士研究生，主要從事巖土工程可靠度方面的研究。E-mail：chenxl 1989@hust.edu.cn。

TU 443

A

1674-0696(2017)01-058-06