柯西不等式及其在高考中的應(yīng)用

韓 芳

(寧夏銀川市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 750001)

一、二維形式的柯西不等式形式及其證明

設(shè)a,b,c,d∈R，則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，取等號(hào).

證法一(配方法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2.

∵m·n=ac+bd，且m·n=|m||n|cos〈m,n〉，則|m·n|≤|m||n|.

∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

證法三(構(gòu)造二次函數(shù)法)設(shè)f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+c2+d2，

∵f(x)=(ax-c)2+(bx-d)2≥0恒成立.

∴Δ=[-2(ac+bd)]2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0，即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

二、一般形式的柯西不等式及其證明

設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,則

當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或?k∈R,ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),取等號(hào).

三、柯西不等式在高考中的應(yīng)用

結(jié)合全國(guó)各省不等式選講這一模塊的選做題，我們發(fā)現(xiàn)，陜西、福建、湖北等地考查柯西不等式的居多，而借助柯西不等式解題的難點(diǎn)在于要能把原問(wèn)題變?yōu)檫m合于柯西不等式的各種形式，這就需要抓住應(yīng)用柯西不等式的兩個(gè)主要技巧：一是在于構(gòu)造兩組數(shù)；二是結(jié)合題目中的數(shù)值特征，來(lái)拆分柯西不等式中的常數(shù).

1.求函數(shù)的最值

例1 (2015·福建卷)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

(1)求a+b+c的值；

解析(1)因|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)

-(x-b)|+c=a+b+c，當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)閒(x)的最小值是4，所以a+b+c=4.

(2)由(1)知a+b+c=4，由柯西不等式得

點(diǎn)評(píng)在解題中，要想使用柯西不等式，就得先理解它的數(shù)學(xué)意義和外在形式，當(dāng)一個(gè)代數(shù)式與柯西不等式的左邊或右邊形式一致時(shí)，可考慮利用柯西不等式對(duì)這個(gè)式子放縮.

例2 (2015年高考數(shù)學(xué)陜西卷，24)已知關(guān)于x的不等式|x+a|

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

解析(1)解得a=-3，b=1.

點(diǎn)評(píng)作為一種非常重要的解題工具—柯西不等式，其在應(yīng)用求解相關(guān)不等式時(shí),關(guān)鍵在于構(gòu)造出柯西不等式的形式，并注意能取到等號(hào)的條件.

2.證明不等式

例3 (2014·浙江卷)設(shè)正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足abc=a+b+c，求證：ab+4bc+9ac≥36，并給出等號(hào)成立條件．

∴ab+4bc+9ac≥36，當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=3,c=1時(shí),取等號(hào).

例4 (2017年新課標(biāo)Ⅱ卷，第23題)已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明：(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.

解析(1)由柯西不等式得

3.證明等式與解方程

4.在解析幾何中的應(yīng)用

例6 (2008年高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科21題)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．

(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值．

靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式，可以使得一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化.通過(guò)以上幾個(gè)方面的應(yīng)用舉例，使我們不僅掌握了柯西不等式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧，而且了解了高考對(duì)柯西不等式知識(shí)的考查程度，從而，使我們更加科學(xué)和高效地對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)化的復(fù)習(xí).

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，2001．

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(數(shù)學(xué)選修4-5)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]楊麗英.柯西不等式的證明及應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,42(1):16-20.