利用數(shù)位法驗算和解決數(shù)論問題

劉 暢

(浙江省嵊州中學2016級高二(16)班 312400)

讀前須知：

1.本文中用到的引理：

①任意9的倍數(shù)m所有數(shù)位上的數(shù)字之和仍為9的倍數(shù).

②一個正整數(shù)減去9的倍數(shù)對其各數(shù)位上的數(shù)字之和無影響.

2.文中為求簡便，將用f(x)來表示正整數(shù)x各個數(shù)位上的數(shù)字“徹底相加”后得到的結(jié)果.

舉例：f(256)=f(13)=1+3=4；

f(2582)=f(17)=1+7=8.

3.以下范例均為解答中驗算的一步，非全題.

一、加減法驗算中的數(shù)位法

例88454+22687=111241是否正確？

解f(88454)=f(29)=2,

f(22687)=f(25)=7,

f(111241)=f(10)=1.

∵f(f(88454)+f(22687))

=9≠f(111241)=1,

∴ 運算錯誤.

提出結(jié)論f(a1+a2+…+an)=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

證明結(jié)論將a1,a2,…,an都化為n×9+mn的形式，則f(an)=mn,f(a+b)=f(ma+mb)=f(a)+f(b).

同理可得f(a1+a2+a3+…+an)=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

拓展也可以用于減法運算的計算，即將其逆向檢驗.如a-b=c則檢驗b+c=a是否成立即可，也可以用于復雜的加減運算驗算.

二、乘法驗算中的數(shù)位法

例9876×3456=34131446是否正確？

解f(9876)=f(30)=3,

f(3456)=f(18)=9,

f(34161446)=f(26)=8.

由于f(f(9876)×f(3456))=9≠f(34131446)=8.

∴運算錯誤.

提出結(jié)論f(a1×a2×…×an)=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

證明結(jié)論同樣，將a1,a2,…,an都化為n×9+mn的形式，則

f(a1×a2×…×an)

=f(m1×a2×…×an)

=f(m1×m2×…×an)

=…

=f(m1×m2×…×mn)

=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an))

∴f(a1×a2×…×an)=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

拓展同樣，也可以用于減法運算的驗算中，只需將得出的答案乘以除數(shù)驗算即可.

三、實際運用

數(shù)位法可以方便地用于選擇題與填空題中，但是不能出現(xiàn)在解答題的解題過程中.但在不寫出解答過程的情況下不失為一種很好的簡化計算的方法.

例1 求方程1335+1105+845+275=n5的整數(shù)解.

注這是浙江省數(shù)學會2017夏令營代數(shù)部分的一道例題，官方的方法較為復雜，但經(jīng)過數(shù)位法可以較為簡便地得出解.

解顯然n≥134.

∴134

引理：n5與n的個位數(shù)相等,

∴n的個位數(shù)為4,

∴n只能為134,144,154,164其中一個.

由數(shù)位法得f(1335+1105+845+275)=f(4+5+9+9)=9,

∴f(f(n5)=f(1335+1105+845+275)=9.

要f(n5)=9，則f(n)必為3的倍數(shù)，即n為3的倍數(shù),

∴n為144.

例2 22225555+55552222≡____(mod 3).

引理1.若一個數(shù)n被3整除，則f(n)≡0(mod 3)；

若余x，則f(n)≡x(mod 3).

2.若一個數(shù)n被9整除，則f(n)≡0(mod 9)；

若余x，則f(n)≡x(mod 9).

3.f(nx)=f(f(na)b) 其中a×b=x.

解∵f(2222)=8，f(5555)=2,

∴f(22225555)=f(85555)，f(55552222)=f(22222),

f(85)=1，f(26)=1.

∵f(85555)=f(811115)=f(81111)=f(8222×8)=f(87)=8，

f(22222)=f(26370×22)=f(2372)=1,

∴f(22225555+55552222)=9,

即22225555+55552222≡0(mod 3)

評析此題是一道綜合性比較強的例題，需要有較好的運算能力.運用數(shù)位法可以較為快速地解出答案.

在做冪比較大的運算時，要善于尋找特殊值，使得冪可以依次減小，從而優(yōu)化運算.

例3 求滿足方程2x×3+2=2u×5v，x≥2的正整數(shù)解(x,u,v).

注本題改編自全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷第二試中的數(shù)論例題，利用數(shù)位法可以完成其中一部分運算.

解當x≥2時，顯然u=1，于是得到2x-1·3y+1=5v.

當y=1時，得到2x-1·3+1=5v.

∵2x的末位為數(shù)列2,4,8,6,2,4,…

∴3·2x的末位為數(shù)列6,2,4,8,6,2,…

∴x=4k+4，k∈N.

∵易知f(24k+3·3)=6,

f(5v)為數(shù)列5,7,8,4,2,1,5…,

∴v=6m+2,m∈N.

∴原方程轉(zhuǎn)化為24k+3×3+1=56m+2,

顯然k=m=0是解.

∴矛盾.

∴只有k=m=0滿足條件,

即所求整數(shù)解為(4,1,1,2).

四、結(jié)論

最終，我們得出這樣一個通用結(jié)論：

f(a1+a2+a3+…+an)

=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

f(a1×a2×a3×…×an)

=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

在實際運用中，先計算每一個數(shù)的f(x)值，再進行驗算比較簡便.

數(shù)位法運算比較適合現(xiàn)在的各個年齡段學生使用，從小學高年級的四則運算，到全國高中數(shù)學聯(lián)賽的數(shù)論，數(shù)位法都有可能發(fā)揮作用.尤其是在使用計算器頻率較高的情況下，中學生的運算準確率的確很讓人擔憂.而利用這種方法，可以很快發(fā)現(xiàn)筆算中不易找到的錯誤.

我相信，如果能夠在實際運用中使用數(shù)位法進行驗算，不僅計算的正確率能夠大大提升(尤其是對于一些較為復雜的計算)，而且還可以簡化運算，省下時間攻破更難的題目.

[1]李潛.全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題精選[Z].合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2017.

[2]曹瑞彬.啟東中學奧賽精題詳解高中數(shù)學[Z].南京：南京師范大學出版社，2016(02).