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    利用數(shù)位法驗算和解決數(shù)論問題

    2017-02-06 06:39:41
    數(shù)理化解題研究 2017年34期
    關(guān)鍵詞:數(shù)論數(shù)位正整數(shù)

    劉 暢

    (浙江省嵊州中學2016級高二(16)班 312400)

    讀前須知:

    1.本文中用到的引理:

    ①任意9的倍數(shù)m所有數(shù)位上的數(shù)字之和仍為9的倍數(shù).

    ②一個正整數(shù)減去9的倍數(shù)對其各數(shù)位上的數(shù)字之和無影響.

    2.文中為求簡便,將用f(x)來表示正整數(shù)x各個數(shù)位上的數(shù)字“徹底相加”后得到的結(jié)果.

    舉例:f(256)=f(13)=1+3=4;

    f(2582)=f(17)=1+7=8.

    3.以下范例均為解答中驗算的一步,非全題.

    一、加減法驗算中的數(shù)位法

    例88454+22687=111241是否正確?

    解f(88454)=f(29)=2,

    f(22687)=f(25)=7,

    f(111241)=f(10)=1.

    ∵f(f(88454)+f(22687))

    =9≠f(111241)=1,

    ∴ 運算錯誤.

    提出結(jié)論f(a1+a2+…+an)=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

    證明結(jié)論將a1,a2,…,an都化為n×9+mn的形式,則f(an)=mn,f(a+b)=f(ma+mb)=f(a)+f(b).

    同理可得f(a1+a2+a3+…+an)=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

    拓展也可以用于減法運算的計算,即將其逆向檢驗.如a-b=c則檢驗b+c=a是否成立即可,也可以用于復雜的加減運算驗算.

    二、乘法驗算中的數(shù)位法

    例9876×3456=34131446是否正確?

    解f(9876)=f(30)=3,

    f(3456)=f(18)=9,

    f(34161446)=f(26)=8.

    由于f(f(9876)×f(3456))=9≠f(34131446)=8.

    ∴運算錯誤.

    提出結(jié)論f(a1×a2×…×an)=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

    證明結(jié)論同樣,將a1,a2,…,an都化為n×9+mn的形式,則

    f(a1×a2×…×an)

    =f(m1×a2×…×an)

    =f(m1×m2×…×an)

    =…

    =f(m1×m2×…×mn)

    =f(f(a1)×f(a2)×…×f(an))

    ∴f(a1×a2×…×an)=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

    拓展同樣,也可以用于減法運算的驗算中,只需將得出的答案乘以除數(shù)驗算即可.

    三、實際運用

    數(shù)位法可以方便地用于選擇題與填空題中,但是不能出現(xiàn)在解答題的解題過程中.但在不寫出解答過程的情況下不失為一種很好的簡化計算的方法.

    例1 求方程1335+1105+845+275=n5的整數(shù)解.

    注這是浙江省數(shù)學會2017夏令營代數(shù)部分的一道例題,官方的方法較為復雜,但經(jīng)過數(shù)位法可以較為簡便地得出解.

    解顯然n≥134.

    ∴134

    引理:n5與n的個位數(shù)相等,

    ∴n的個位數(shù)為4,

    ∴n只能為134,144,154,164其中一個.

    由數(shù)位法得f(1335+1105+845+275)=f(4+5+9+9)=9,

    ∴f(f(n5)=f(1335+1105+845+275)=9.

    要f(n5)=9,則f(n)必為3的倍數(shù),即n為3的倍數(shù),

    ∴n為144.

    例2 22225555+55552222≡____(mod 3).

    引理1.若一個數(shù)n被3整除,則f(n)≡0(mod 3);

    若余x,則f(n)≡x(mod 3).

    2.若一個數(shù)n被9整除,則f(n)≡0(mod 9);

    若余x,則f(n)≡x(mod 9).

    3.f(nx)=f(f(na)b) 其中a×b=x.

    解∵f(2222)=8,f(5555)=2,

    ∴f(22225555)=f(85555),f(55552222)=f(22222),

    f(85)=1,f(26)=1.

    ∵f(85555)=f(811115)=f(81111)=f(8222×8)=f(87)=8,

    f(22222)=f(26370×22)=f(2372)=1,

    ∴f(22225555+55552222)=9,

    即22225555+55552222≡0(mod 3)

    評析此題是一道綜合性比較強的例題,需要有較好的運算能力.運用數(shù)位法可以較為快速地解出答案.

    在做冪比較大的運算時,要善于尋找特殊值,使得冪可以依次減小,從而優(yōu)化運算.

    例3 求滿足方程2x×3+2=2u×5v,x≥2的正整數(shù)解(x,u,v).

    注本題改編自全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷第二試中的數(shù)論例題,利用數(shù)位法可以完成其中一部分運算.

    解當x≥2時,顯然u=1,于是得到2x-1·3y+1=5v.

    當y=1時,得到2x-1·3+1=5v.

    ∵2x的末位為數(shù)列2,4,8,6,2,4,…

    ∴3·2x的末位為數(shù)列6,2,4,8,6,2,…

    ∴x=4k+4,k∈N.

    ∵易知f(24k+3·3)=6,

    f(5v)為數(shù)列5,7,8,4,2,1,5…,

    ∴v=6m+2,m∈N.

    ∴原方程轉(zhuǎn)化為24k+3×3+1=56m+2,

    顯然k=m=0是解.

    ∴矛盾.

    ∴只有k=m=0滿足條件,

    即所求整數(shù)解為(4,1,1,2).

    四、結(jié)論

    最終,我們得出這樣一個通用結(jié)論:

    f(a1+a2+a3+…+an)

    =f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

    f(a1×a2×a3×…×an)

    =f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

    在實際運用中,先計算每一個數(shù)的f(x)值,再進行驗算比較簡便.

    數(shù)位法運算比較適合現(xiàn)在的各個年齡段學生使用,從小學高年級的四則運算,到全國高中數(shù)學聯(lián)賽的數(shù)論,數(shù)位法都有可能發(fā)揮作用.尤其是在使用計算器頻率較高的情況下,中學生的運算準確率的確很讓人擔憂.而利用這種方法,可以很快發(fā)現(xiàn)筆算中不易找到的錯誤.

    我相信,如果能夠在實際運用中使用數(shù)位法進行驗算,不僅計算的正確率能夠大大提升(尤其是對于一些較為復雜的計算),而且還可以簡化運算,省下時間攻破更難的題目.

    [1]李潛.全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題精選[Z].合肥:中國科學技術(shù)大學出版社,2017.

    [2]曹瑞彬.啟東中學奧賽精題詳解高中數(shù)學[Z].南京:南京師范大學出版社,2016(02).

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