關(guān)于畫法幾何學(xué)中直線的跡點(diǎn)求解方法分析

劉劍鋒

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關(guān)于畫法幾何學(xué)中直線的跡點(diǎn)求解方法分析

劉劍鋒

（湖南科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖南 永州 425199）

文章對空間直線任意位置的跡點(diǎn)求解方法進(jìn)行了分析和歸納，重點(diǎn)是從幾何學(xué)的角度對利用定比性求解側(cè)平線的跡點(diǎn)加以證明，為后續(xù)學(xué)習(xí)人員直接引用定比性求解直線跡點(diǎn)提供理論依據(jù)。

跡點(diǎn)；側(cè)平線；定比性；求解

1　引　言

跡點(diǎn)是指直線和投影面的交點(diǎn)。直線和水平投影面的交點(diǎn)稱為水平跡點(diǎn)，和正面投影的交點(diǎn)稱為正面跡點(diǎn)，和側(cè)面投影的交點(diǎn)稱為側(cè)面跡點(diǎn)，分別用M、N、S表示。在《畫法幾何及機(jī)械制圖》、《畫法幾何學(xué)》、《機(jī)械制圖》等眾多機(jī)械專業(yè)教材中對于跡點(diǎn)這一內(nèi)容描述的篇幅較少，其中并未對跡點(diǎn)的求解過程加以詳細(xì)講解[1-3]。但是在相關(guān)習(xí)題集中關(guān)于跡點(diǎn)的題型相對較多較全，導(dǎo)致學(xué)生在做題過程中存在諸多疑惑[4-5]。經(jīng)查閱相關(guān)文獻(xiàn)，很少有關(guān)于跡點(diǎn)的詳細(xì)求解過程，尤其是利用定比性求解[6-7]。因此，將跡點(diǎn)的求解過程明朗化, 對幫助學(xué)生理解和增加學(xué)習(xí)積極性具有現(xiàn)實(shí)意義。

2　各類空間直線跡點(diǎn)求解方法探討

畫法幾何中，按照空間直線對基本投影體系的相對位置關(guān)系，可將直線分為三大類：一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線，后兩類又稱為特殊位置直線，根據(jù)投影面的不同，特殊位置直線又可分為水平線（∥水平面）、正平線（∥正平面）、側(cè)平線（∥側(cè)平面）和鉛垂線（⊥水平面）、正垂線（⊥正平面）、側(cè)垂線（⊥側(cè)平面）。

2.1一般位置直線的跡點(diǎn)

一般位置直線的跡點(diǎn)求解常用的方法是根據(jù)點(diǎn)的兩面投影確定跡點(diǎn)位置，求解過程相對簡單。

圖1為一般位置直線的H/V兩面投影，它的跡點(diǎn)詳細(xì)求解過程如下：

（1）如圖2所示，分別延長空間線段AB在水平投影面的投影ab與投影軸OX相交于點(diǎn)n，延長空間線段AB在正立投影面的投影a￠b￠與投影軸OX相交于點(diǎn)m￠;

（2）根據(jù)點(diǎn)的投影特性可知，點(diǎn)的兩面投影的連線垂直于投影軸，如圖3所示，分別過點(diǎn)n、m￠作垂直于OX的垂線；

圖1.一般位置直線

圖2.步驟一

圖3.步驟二

圖4.步驟三

（3）在水平投影面延長ab與投影軸連線相交于點(diǎn)M，在正立投影面延長a￠b￠與投影軸連線相交于點(diǎn)N。其中跡點(diǎn)M在水平面的投影m與之重疊，因此m帶括號，跡點(diǎn)N在正立面的投影n￠與之重疊，因此n￠帶括號，如圖4所示。

2.2投影面平行線的跡點(diǎn)

投影面平行線分為水平線、正平線、側(cè)平線三種，求解過程如下：

（1）水平線。根據(jù)水平線的定義可知，水平線平行于水平投影面，與其他兩個(gè)投影面傾斜，它的跡點(diǎn)分別在正立投影面和側(cè)立投影面上，跡點(diǎn)標(biāo)記是N點(diǎn)和S點(diǎn)。圖5是水平線在H/V兩面投影體系中的投影，若采用點(diǎn)的投影規(guī)律求解跡點(diǎn)，則需要引入三面投影體系才能求解，如圖7所示。

圖5.水平線

圖6.正平線

圖7.水平線的跡點(diǎn)

（2）正平線。根據(jù)正平線的定義可知，正平線平行于正立投影面，與其他兩個(gè)投影面傾斜，它的跡點(diǎn)分別在水平投影面和側(cè)立投影面上，跡點(diǎn)標(biāo)記是M點(diǎn)和S點(diǎn)。圖6是正平線在H/V兩面投影體系中的投影，若采用點(diǎn)的投影規(guī)律求解跡點(diǎn)，則同樣需要引入三面投影體系才能求解，如圖8所示。

圖8.正平線的跡點(diǎn)

（3）側(cè)平線。根據(jù)側(cè)平線的定義可知，側(cè)平線平行于側(cè)立投影面，與其他兩個(gè)投影面傾斜，它的跡點(diǎn)分別在水平投影面和正立投影面，跡點(diǎn)標(biāo)記是M點(diǎn)和N點(diǎn)。若采用點(diǎn)的投影規(guī)律求解跡點(diǎn)，則需要引入三面投影體系才能求解。

由上述可知，投影面平行線的兩個(gè)跡點(diǎn)需要在三面投影體系中才能求解。那么能否在不引入三面投影體系的前提下求解？可以利用直線上點(diǎn)的定比性求解。

定比性指的是直線上點(diǎn)的投影必須在該直線的同面投影上，且點(diǎn)分線段長度之比等于其投影長度之比。定比性常用于解決直線上點(diǎn)的投影問題。

以側(cè)平線為例，已知側(cè)平線AB的兩面投影分別為ab和a￠b￠，利用定比性求解它的正面跡點(diǎn)M和水平跡點(diǎn)N。

圖9所示為側(cè)平線AB在三投影面體系中的狀態(tài)，它與水平投影和正面投影的跡點(diǎn)分別為M和N點(diǎn)，圖10所示為側(cè)平線跡點(diǎn)的H/V兩面投影，圖11所示為利用定比性求解兩跡點(diǎn)，圖12所示為沿X方向從右往左看側(cè)平線AB，做輔助線得交點(diǎn)E。

圖9.側(cè)平線的三面投影體系

圖10.側(cè)平線的跡點(diǎn)

圖11.定比性圖解側(cè)平線跡點(diǎn)

圖12.側(cè)平線的側(cè)視圖

圖13.鉛垂線的跡點(diǎn)

①在圖9中，以點(diǎn)B在直線AM上理解，根據(jù)直線上點(diǎn)的定比性，可得到圖11，并存在以下關(guān)系：

ac=a￠b￠, cd=b￠m￠

ab:bm=ac:cd=a￠b￠:b￠m￠

在圖9中，以點(diǎn)A在直線NB上理解，根據(jù)直線上點(diǎn)的定比性，可得到圖11，并存在以下關(guān)系：

ab=b￠c￠, na=c￠d￠

a￠b￠:n￠a￠=c￠b￠:d￠c￠=ab: na

②結(jié)合圖9和12從幾何的角度可證明如下關(guān)系：

∵△BEA∽△MbB

∴EB:bm=AE:Bb

又∵EB=ab, AE=a￠b￠,Bb=b￠m￠

∴ab:bm=a￠b￠:b￠m￠

同理△BEA∽△Aa￠N

可得EB:a￠A=AE:Na￠=ab:na=a￠b￠:n￠a￠

因此，側(cè)平線的跡點(diǎn)存在圖10中的定比關(guān)系，同樣水平線和正平線也能用定比性進(jìn)行求解。

2.3投影面垂直線的跡點(diǎn)

投影面垂直線分為鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線三種，求解投影面垂直線跡點(diǎn)的方法需要引入到三面投影體系，根據(jù)點(diǎn)的投影特性進(jìn)行求解。如圖13-15所示，分別是鉛垂線的跡點(diǎn)、正垂線的跡點(diǎn)、側(cè)垂線的跡點(diǎn)，由圖可知該類型直線的跡點(diǎn)有且僅有一個(gè)。

圖14.正垂線的跡點(diǎn)

圖15.側(cè)垂線的跡點(diǎn)

3　結(jié)束語

文章對任意位置空間直線的跡點(diǎn)的求解均加以作圖解釋，得出以下結(jié)論：

（1）一般位置直線和投影面平行線存在2個(gè)跡點(diǎn)，投影面垂直線有且僅有1個(gè)跡點(diǎn)；（2）一般位置直線的跡點(diǎn)可以在兩面投影直接圖解得到，而投影面平行線和投影面垂直線的跡點(diǎn)需引入三面投影體系，根據(jù)點(diǎn)的投影特性才能求解；（3）從幾何學(xué)的角度對利用定比性求解側(cè)平線跡點(diǎn)的原理加以證明，為后續(xù)人員的直接引用提供理論依據(jù)。

[1]華中科技大學(xué)等院校編.畫法幾何及機(jī)械制圖(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

[2]大連理工大學(xué)工程圖學(xué)教研室編.畫法幾何學(xué)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

[3]清華大學(xué)工程圖學(xué)及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)教研室編,機(jī)械制圖(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]華中科技大學(xué)等院校編.畫法幾何及機(jī)械制圖習(xí)題集(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

[5]大連理工大學(xué)工程圖學(xué)教研室編.畫法幾何習(xí)題集(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

[6]繆憲文.關(guān)于直線幾個(gè)圖學(xué)問題的思考[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,(6):103-106.

[7]葉曉芹.關(guān)于側(cè)平線幾個(gè)圖學(xué)問題的探討[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào),1999,(4):102-105.

（責(zé)任編校：宮彥軍）

2017－03－01

湖南科技學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號XKYJ2017053）。

劉劍鋒（1985－），男，湖南永州人，湖南科技學(xué)院機(jī)械專任教師，工程師，研究方向?yàn)闄C(jī)械制圖教學(xué)與機(jī)械結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)等。

TH126.2

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1673-2219（2017）10-0075-02