建模教學讓中職數學煥發(fā)創(chuàng)造活力

李愛芳

2009年頒布的《中等職業(yè)學校數學教學新大綱》指出，“使學生掌握必要的數學基礎知識，具備必需的相關技能與能力，為學習專業(yè)知識、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學習和終身發(fā)展奠定基礎”。從2006年開始，浙江省麗水市組織“麗水市中職數學知識應用大賽”，使同類職業(yè)學校在數學建模和應用方面進行更多學習與交流。2016年5月，麗水市教育教學研究院組織開展了麗水市中職數學課堂教學評比暨數學建模教學觀摩活動，活動對增強中職學生數學應用意識、提高中職數學教師開展數學建模的教學能力有很大的現實意義。

一、中職數學建模教學宜低起點、小步子、多活動

中職數學建模的模型素材主要來源于數學教材內容以及對數學教材內容的延伸、拓展和改編，應該貼近學生的生活實際，具有一定的實踐性與趣味性。中職數學建模教學一般先提出問題、引入正題，然后分析問題，在“引導—探索—創(chuàng)造”中建立模型，最后利用模型解決問題。根據中職學生的身心發(fā)展水平、已經掌握的知識結構，中職數學建模教學宜低起點、小步子、多活動。

案例1.中等職業(yè)學校教材·數學（基礎版）第一冊·第87頁例5

模型假設：

一家旅社有客房300間，每間房租20元，每天都客滿。旅社欲提高檔次，并提高租金。如果每間房租增加2元，客房出租數會減少10間。不考慮其他因素時，旅社將房間租金提高到多少時，每天客房的租金收入最高？

此題是課本一元二次函數內容中作為典型例題的應用題，它利用二次函數的最值或不等式的基本性質可使問題獲解，具有代表性和實用性。此題背景是與人們生活密切相關的怎樣定價的問題，學生對此比較熟悉，也對學生有一定的吸引力。問題是學生如何把這一應用題抽象化為數學模型。學生根據前面所學函數知識以及利用函數建模的意識，建立了如下的數學模型。

解：設提高x個2元，則將有10x間客房空出，則客房租金總收入為

y=（20+2x）（300-10x）

=-20x2+600x-200x+6000

=-20（x2-20x+100-100）+6000

=-20（x-10）2+8000.

由此得到，當x=10時，ymax=8000，即每間租金為20+10×2=40（元）時，每天租金的總收入最高，為8000元。

根據此題目訓練學生利用函數知識來建模是具有代表性的。該題雖然不算復雜，但是卻有相當的綜合性和典型性，內涵比較豐富，利用它可以改編出很多高思維價值的數學題目。

改編題一：某書刊以每本2元價格發(fā)行，可發(fā)行10萬本，若每本價格提高0.20元，發(fā)行量將減少5000本，要使銷售收入達到最大，應以多少元價格發(fā)行該書刊？

改編題二：某種商品每件進價600元，零售每件1000元，經過一段時間的試銷，發(fā)現若每件按1000元銷售時，平均每月可銷售100條，但若銷售價每降低1%時，每月的銷售量可增加10%。商店為取得銷售這種商品的最大收入，應以每件多少元銷售為宜？

改編題三：某種商品只有A、B兩個商店有售，而且價格相同，但是A店的運輸費（即每千米運費）是B店的2倍，顧客可以函購（即書信、電子郵件或電話聯系后由商店送貨上門），已知A、B兩地相距12千米，什么范圍內的居民從A店購買該種商品比較合算（即包括運輸費在內的總費用較少）？

只要教師做個有心人，精心設計，課本中的數學問題大都可以挖掘出生活模型。開展切實有效的數學建模教學活動，能有效激發(fā)學生的創(chuàng)造活力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

二、中職數學建模教學宜與專業(yè)有效整合

與專業(yè)課相銜接是中職數學教學改革的方向。中職學生學數學的熱情遠低于學習專業(yè)課，由于數學底子薄弱，許多中職學生放棄學數學，數學教師急需尋找出路。通過將數學教學內容與專業(yè)有機結合的探索與實踐，變革常規(guī)的課堂教學，使學生重新揚起學習數學的熱情與動力。從學生熟悉的生活實例或與專業(yè)有關的實例創(chuàng)設教學情境，引發(fā)學生的認知沖突，從而鏈接數學知識，通過師生的共同探究，再將數學知識應用于處理實際問題或專業(yè)問題。教師要積極引導學生自己動手操作，使每個學生都能主動地參與進來，激發(fā)學生的數學學習興趣，也使學生懂得專業(yè)需要數學，生活離不開數學，從而達到預期的效果。

案例2.學生建模案例（片段）：做個精明的旅游者

數學與生活密切相關，可以涉及各個領域。比如在建筑中，工程師往往需要用數學來計算建筑的比例，比如洗衣節(jié)水問題等等。在生活中，需要學會許多數學技巧，雖然每次只能省下一點，可是如果數量多了，或是次數多了，那么積少成多，加起來也會是一大筆錢，而且這樣也可以為單調的買賣添加一些樂趣。旅游與數學的聯系也較為廣泛。當要組織一個團隊去旅游，我們時常猶豫是該跟旅游團，還是自己組織去，哪一種比較合算一點。這就需要考慮人數、車型和車的數量以及門票等等的問題，不同的結果都關系著游客的利益。

模型假設：

假設總共有4個班準備去游學活動（旅游專業(yè)學生每學期1次），地點選擇在縉云仙都，時間為一天，中晚餐自理。假設四個班平均每班人數為30人，則學生人數為 30×4=120人，加上學校規(guī)定每班需帶上2位教師，所以總人數為 120+8=128（人）。

旅游景點：鼎湖峰、小赤壁、倪翁洞，門票分別為40元/人、10元/人、10元/人，憑學生證、教師證門票可以打五折。

大巴每輛可乘坐49人，租金為1700元；中巴每輛可乘坐29人，租金為1000元；小巴每輛可乘坐18人，租金為800元。

旅游團的標價為每人68元，全程有專業(yè)導游陪同，旅游集散中心有權利按實際人數調整車輛，且價格按25人核算，人數不足則需補足車費。

模型建立：

如果128個人跟旅行社，每人平均付68元，共需128×68=8704（元）。

如果自己組織去，則需要租車。先考慮車型的搭配問題，通過調查的數據，進行小組討論，得出8種租車方案。但要考慮空位不能太多以及租金不能太貴等問題，其中第8種方案空出的座位最少，但是第5種方案的租金最少，所以最終選擇第5種方案。大巴1輛、中巴3輛，空出座位8個，總計租金為1700+3×1000=4700（元）。

由于是自行組織去，門票只要30元每人，而3個景點票價為學生半票教師半票，則門票總計為128×30=3840（元），經統計，4個班自己組團去仙都的租車費需4700元，門票為3840元，總計4700+3840=8540（元）。

綜上可知跟旅行團去共需8704元，每個人需要交68元；而自己組織去只需8540元，每個人需要交66.7元?？赡軅€人只差了68-66.7=1.3（元），但如果128個人則差了8704-8540=164（元）。所以在上述的假設下選擇方案5自行組織去。兩種旅游方式中差價164元的去向，主要是旅行社的利潤和導游費，當然可能這其中的差價不只164元，旅游團與租車行和景點之間還可能存在某種優(yōu)惠。由于是一日游，而且用餐自理，所以不需要考慮住宿、餐飲等問題，可在此條件上得出自己組織去仙都比較劃算，而且自由度也大一點。如果需要考慮住房、吃飯等，則情況可能有所不同。

模型分析：

上述的計算過程都是在模型假設的前提下建立的，在現實生活中具有一定的局限性。比如在車型及座位的問題上，只是選取了其中的一小部分，事實上大、中、小巴都分別有很多不同的類型。在假設的前提下，本文對各種情況的考慮還算周到，對車型搭配的不同方案都詳細列出。

（作者單位：浙江省麗水市職業(yè)高級中學）