幾種異質(zhì)自回歸實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的有效性

芮明娣

摘要：本文對(duì) HAR-RV-CJ 模型了進(jìn)一步的改進(jìn)，提出的假定模型回歸系數(shù)為1的整合的IHAR-RV-CJ模型，實(shí)證對(duì)比了HAR模型，含跳的HAR-J和HAR-CJ模型在系數(shù)通過(guò)合理的約束為整1后以及原始模型對(duì)中國(guó)股市波動(dòng)率的刻畫(huà)和預(yù)測(cè)問(wèn)題。實(shí)證結(jié)果顯示， 在四種損失函數(shù)綜合對(duì)比下，IHAR模型同樣適用于刻畫(huà)對(duì)中國(guó)股市波動(dòng)率，相對(duì)于原始模型提高了模型的預(yù)測(cè)精度，且我們所構(gòu)建的IHAR-RV-CJ模型預(yù)測(cè)的有效性要高于IHAR-RV-J模型。

Abstract： This paper further improves the HAR-RV-CJ model， puts forward the integrated IHAR-RV-CJ model which the assumed model regression coefficient is 1. The empirical comparison of the HAR model is carried out. The jumpy HAR-J and HAR-CJ models are compared when the coefficients are reasonably constrained to be 1. The description and prediction of the volatility of Chinese stock market by the original model are put forward. The empirical results show that the IHAR model also can be used to describe the volatility of Chinese stock market with the comprehensive comparison of the four kinds of loss functions. Compared with the original model， the prediction accuracy of the model is improved， and the validity of IHAR-RV-CJ model is higher than that of IHAR-RV-J model.

關(guān)鍵詞：integrated HAR；HAR-RV-J；HAR-RV-CJ

Key words： integrated HAR；HAR-RV-J；HAR-RV-CJ

中圖分類(lèi)號(hào)：F224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2016）35-0183-04

1 引言和文獻(xiàn)綜述

金融市場(chǎng)的快速發(fā)展，新的、復(fù)雜的金融工具不斷更新，對(duì)金融時(shí)間序列波動(dòng)率的理論和經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的需要日漸增長(zhǎng)。金融計(jì)量學(xué)，特別是金融波動(dòng)率的建模在當(dāng)前資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理理論上扮演了重要的角色。一般來(lái)說(shuō)，由于市場(chǎng)真實(shí)潛在的波動(dòng)率是不可觀(guān)測(cè)的，這是使用波動(dòng)率建模的一個(gè)固有難題，在現(xiàn)代金融研究中具有一定的挑戰(zhàn)性。

Engle（1982）的自回歸條件異方差模型（ARCH），Bollerslev（1986）的廣義自回歸條件異方差模型（GARCH），以及Taylor（1986）的隨機(jī)波動(dòng)率模型（SV）是早期預(yù)測(cè)波動(dòng)率的主要模型，為了更好地描述波動(dòng)率的典型事實(shí)，學(xué)者們研究了眾多有關(guān)GARCH和SV模型，并且提出了相對(duì)應(yīng)的拓展模型，例如EGARCH，GJR-GARCH，APARCH，F(xiàn)IAPARCH，HYGARCH指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型（EWMA），以及McAleer（2005）關(guān)于近期一系列單變量和多變量條件隨機(jī)波動(dòng)率模型等。必須要指出的是，不管是早期的GARCH和SV模型，還是拓展模型都是基于低頻數(shù)據(jù)去表征和預(yù)測(cè)未來(lái)?xiàng)l件波動(dòng)率。

2004年，Corsi基于Muller的異質(zhì)市場(chǎng)假說(shuō)理論提出了在無(wú)市場(chǎng)摩擦且無(wú)跳躍擴(kuò)散過(guò)程假設(shè)下的異質(zhì)自回歸實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率HAR-RV（Heterogeneous Autoregressive-Realized Volatility）模型，并通過(guò)外匯市場(chǎng)的實(shí)證研究證明該模型能較好地刻畫(huà)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶特征，并具有良好的預(yù)測(cè)能力。HAR-RV模型的提出為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的特征刻畫(huà)及預(yù)測(cè)研究開(kāi)辟了一個(gè)新的領(lǐng)域，許多學(xué)者在Corsi（2004）的研究基礎(chǔ)上進(jìn)行后續(xù)研究，提出了一系列擴(kuò)展模型，并進(jìn)行了大量實(shí)證研究。Anderson，Bollerslev and Diebold（2005）將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解成連續(xù)和跳躍兩種不同的成分，并提出了模型，實(shí)證研究表明，相較于HAR-RV模型，該模型可顯著提高對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)精度。Corsi et al.（2010）基于的跳躍項(xiàng)進(jìn)行修正，提出了HAR-RV-TCJ模型，實(shí)證得到了比HAR-RV-CJ更好的預(yù)測(cè)精度。

自Corsi（2004）提出HAR-RV模型以來(lái)，通過(guò)對(duì) HAR-RV模型改進(jìn)提出新的波動(dòng)率模型的研究越來(lái)越多，其中 Anderson 等（2007）提出的 HAR-CJ模型已被證實(shí)對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)率具有不錯(cuò)的度量和預(yù)測(cè)能力。Cho和Shin（2016）提出了一個(gè)新的戰(zhàn)略約束：系數(shù)和為1的HAR模型，稱(chēng)這個(gè)模型為“integrated HAR”，即IHAR模型。Cho和Shin（2016）通過(guò)蒙特卡洛證明IHAR模型在預(yù)測(cè)方面較HAR模型更有優(yōu)勢(shì)，且表現(xiàn)了更明顯的長(zhǎng)記憶性，并且實(shí)證結(jié)果證明這種帶系數(shù)約束的HAR模型比原始的HAR模型的預(yù)測(cè)精度要高。對(duì)于對(duì)波動(dòng)率的度量和預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)，精度越高越有利于金融風(fēng)險(xiǎn)度量、金融資產(chǎn)定價(jià)、金融衍生品定價(jià)等金融實(shí)務(wù)問(wèn)題的分析。本文結(jié)合IHAR模型的改進(jìn)技巧，對(duì)HAR-RV-CJ模型做進(jìn)一步的改進(jìn)，驗(yàn)證這種約束對(duì)HAR-RV-CJ模型的金融市場(chǎng)波動(dòng)率的度量和預(yù)測(cè)能力的提高是否同樣有效，并實(shí)證研究HAR模型，含跳的HAR-J和HAR-CJ模型在系數(shù)通過(guò)合理的約束為整1后的模型對(duì)中國(guó)股市波動(dòng)率預(yù)測(cè)的精準(zhǔn)性。

2 模型的定義

2.1 HAR模型

從近期的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的研究文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)，異質(zhì)自回歸模型（HAR-RV）（Corsi，2009）是最受歡迎的模型之一。盡管它的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，由三個(gè)滯后的日，周，月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率構(gòu)成，卻能有效地描述長(zhǎng)記性等已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的典型特征，并且具有很高的預(yù)測(cè)精度。它的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

隨后Anderson 等（2007）考慮到市場(chǎng)中微觀(guān)結(jié)構(gòu)噪聲，在HAR-RV模型基礎(chǔ)之上直接加入了跳躍性變量，由上一節(jié)所示。提出了帶跳的HAR-RV-J模型，它的形式為：

然而這種跳不明顯，對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度影響不大，Corsi等（2009）基于Huang 和Chen（2005）顯著跳的檢驗(yàn)（公式如上），提出了修正的跳的HAR-RV-CJ模型HAR-RV-CJ，它的一般形式為：

2.2 Integrated HAR模型

Cho and Shin（2016）基于Corsi（2009）的HAR-RV模型提出了一個(gè)新的預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的方法，就是在HAR基礎(chǔ)上加一個(gè)約束項(xiàng)，令HAR模型的滯后項(xiàng)系數(shù)和為1，得到了一個(gè)新的模型，稱(chēng)為整合的HAR模型（integrated HAR，IHAR），它的形式為

此處變量的含義同2.1中變量的含義一致。

為了驗(yàn)證這種約束對(duì)其他HAR類(lèi)模型，尤其是含跳的模型的預(yù)測(cè)精度的影響以及這種IHAR模型對(duì)中國(guó)股市的適用性，本文在前4個(gè)模型的基礎(chǔ)之上，再提出兩種這種帶有系數(shù)約束的，HAR-RV-和HAR-RV-CJ模型，它們分別重新參數(shù)化可以表示為：

考慮到已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列的異方差性，這里考慮殘差序列εt+1為GARCH（1.1）來(lái)估計(jì)。

3 波動(dòng)率預(yù)測(cè)和有效性檢驗(yàn)的方法

3.1 波動(dòng)率預(yù)測(cè)方法

對(duì)上面討論的6種異質(zhì)自回歸模型采用了基于滾動(dòng)時(shí)間窗（Rolling time windows）預(yù)測(cè)方法的“樣本外預(yù)測(cè)能力檢驗(yàn)”（Tests for out-of-sample predicting ability）。具體步驟如下：

其中L1和L2分別是平均平方誤差（Mean squared error，MSE）和平均絕對(duì)誤差（Mean absolute error，MAE）。L3和L4分別是異方差調(diào)整的MSE和MAE（Heteroskedastic adjusted MSE and MAE）。這4種損失函數(shù)是近期文獻(xiàn)中使用較多的幾種形式，如Liu 和 Wan（2012）等都采用了這4種損失函數(shù)。

需要說(shuō)明的是，如果在一次實(shí)證研究中采用某一種損失函數(shù)Li作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，得到模型A比模型B的損失函數(shù)值小的話(huà)，由此我們只能判斷，在這樣一個(gè)特定的數(shù)據(jù)樣本，采用這一特定的損失函數(shù)Li時(shí)，模型A比模型B的預(yù)測(cè)精度要高。所以可以明顯看出，這一結(jié)果是不穩(wěn)健的，是無(wú)法推廣到其他類(lèi)似數(shù)據(jù)樣本或者損失函數(shù)上的。

為了比較各個(gè)HAR模型和IHAR模型的預(yù)測(cè)精度，綜合使用上述損失函數(shù)，本文采用Cho和Shin（2016）用過(guò)的損失函數(shù)值有效性對(duì)比來(lái)更直觀(guān)地觀(guān)察加約束后的HAR模型與原始模型預(yù)測(cè)精度的優(yōu)劣。

對(duì)于每個(gè)HAR模型和IHAR模型，我們首先計(jì)算各個(gè)波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型的h=1，5，22，244個(gè)向前預(yù)測(cè)值得損失函數(shù)值，然后計(jì)算相對(duì)有效性，相對(duì)有效性公式可以表示為（以損失函數(shù)MAE為例）：

（MAE）相對(duì)有效性=HAR模型h個(gè)預(yù)測(cè)值的損失值/IHAR模型h個(gè)預(yù)測(cè)值的損失值

一般來(lái)說(shuō)，損失函數(shù)的值越小，表明預(yù)測(cè)的越準(zhǔn)確，即預(yù)測(cè)精度越高，所以，這里的相對(duì)有效性大于1，則表明IHAR類(lèi)模型的預(yù)測(cè)效果較優(yōu)。

4 實(shí)證分析

4.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明

本文研究的數(shù)據(jù)樣本為上證綜指（SSEC）從2006.1.4-2015.12.31的日內(nèi)五分鐘高頻交易數(shù)據(jù)，共包含2429個(gè)交易日，交易時(shí)段為9：30-11：30，13：00-15：00，每個(gè)交易日觀(guān)測(cè)48個(gè)5分鐘交易數(shù)據(jù)，共計(jì)116592個(gè)觀(guān)測(cè)值。定義5分鐘上證指數(shù)價(jià)格為Pi，t，i=1，2，...，48，t=1，2，...，2429。Pi，t表示第t個(gè)交易日的第i個(gè)觀(guān)測(cè)值。因此，每日收盤(pán)價(jià)格可表示為P48，t，則5分鐘高頻收益可表示為

Ri，t=100（log（Pi，t）-log（Pi-1，t））

每日收益可表示為Rt=100（log（P48，t）-log（P48，t-1））。

4.2 模型的估計(jì)

根據(jù)Andersen and Bollerslev（1998）的定義，對(duì)第t天的實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的計(jì)算表示為第t天內(nèi)的高頻收益平方和，所以上證指數(shù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率可表示為由計(jì)算出來(lái)的RV，J和CJ值估計(jì)出6個(gè)模型的參數(shù)，結(jié)果如表2所示。

由表2可以看出，系數(shù)約束的IHAR，IHAR-J和IHAR-CJ模型相對(duì)于原始模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差相差不大，但是都有不同程度的變小，這證明參數(shù)估計(jì)的結(jié)果可信度較高，IHAR-J和IHAR-CJ模型是可行的。 另外，系數(shù)約束的模型的βd和βw項(xiàng)估計(jì)大小基本相同，而βm在IHAR和IHAR-J模型中都顯著變大了，這證明長(zhǎng)期項(xiàng)的波動(dòng)率的影響加大了。

4.3 有效性分析

表3是HAR，HAR-J和HAR-CJ模型相對(duì)于對(duì)應(yīng)的系數(shù)約束的整合的模型的有效性對(duì)比結(jié)果。依據(jù)損失函數(shù)值越小，預(yù)測(cè)精度越高的原理，若結(jié)果大于1表示系數(shù)約束的整合模型的有效性越好，即預(yù)測(cè)效果越好。

由表3可以看出，所有的值都大于1，這表示IHAR類(lèi)模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性更高?？梢?jiàn)在中國(guó)股票市場(chǎng)中，系數(shù)通過(guò)約束后的模型預(yù)測(cè)精度都明顯比原始的預(yù)測(cè)精度要高，且Cho和Shin（2016）已經(jīng)通過(guò)實(shí)證證明，S&P500指數(shù)，NASDAQ指數(shù)及兩種外幣匯率波動(dòng)率的IHAR模型的預(yù)測(cè)精度要優(yōu)于HAR模型，通過(guò)本文對(duì)中國(guó)上證指數(shù)的實(shí)證研究可以得出，這種IAHR模型對(duì)中國(guó)股市同樣適用。但究竟哪種模型更好呢？因此接下來(lái)將比較IHAR，HAR-J和IHAR-CJ三種模型的預(yù)測(cè)優(yōu)劣，同樣通過(guò)對(duì)比損失函數(shù)值，觀(guān)察有效性值。見(jiàn)表4。

由表4的第二，三列可以看出IHAR模型比IHAR-J模型和IHAR-CJ模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性更好，雖然第三列的HMAE損失函數(shù)下的有效性小于1，但也幾乎接近于1了，綜合看來(lái)還是IHAR模型預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確。從第四列可以看出，除去MSE損失函數(shù)下IHAR-J相對(duì)于IHAR-CJ的有效性小于1，但其他三個(gè)都大于1，所以可以認(rèn)為IHAR-CJ模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性更高。這表明在中國(guó)股票市場(chǎng)中，結(jié)合IHAR模型的改進(jìn)技巧，對(duì)HAR-RV-CJ模型做進(jìn)一步的改進(jìn)得到的IHAR-CJ模型優(yōu)于IHAR-J模型。

5 結(jié)論及展望

本文把由Cho和Shin（2016）提出的假定模型回歸系數(shù)為1的這種約束應(yīng)用到了HAR-RV-J和HAR-RV-CJ模型中，并以中國(guó)股票市場(chǎng)最具代表性的股價(jià)指數(shù)-上證綜指的五分鐘高頻（High-frequency）數(shù)據(jù)樣本為例，估計(jì)了以HAR-RV、HAR-RV-J和HAR-RV-CJ模型為代表的異質(zhì)自回歸類(lèi)模型，以及加了系數(shù)約束的IHAR-RV、IHAR-RV-J和IHAR-RV-CJ模型。并考察了這6個(gè)模型對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)性預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，在四種損失函數(shù)綜合對(duì)比下，發(fā)現(xiàn)IHAR模型對(duì)于中國(guó)股市同樣適用，且在所有的模型中IHAR模型對(duì)中國(guó)股市市場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度最高。含跳的HAR-J和HAR-CJ模型在系數(shù)通過(guò)合理的約束為整1后，HAR-RV-J和HAR-RV-CJ模型的預(yù)測(cè)精度都有所提高，對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)而言，IHAR-RV-CJ模型預(yù)測(cè)的有效性要高于IHAR-RV-J模型。

本文的研究和實(shí)證結(jié)果對(duì)于研究我國(guó)金融市場(chǎng)的定價(jià)、資產(chǎn)配置、以及風(fēng)險(xiǎn)管理具有非常重要的理論價(jià)值，未來(lái)還會(huì)致力于尋找更適合刻畫(huà)中國(guó)金融市場(chǎng)的模型。

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