淺析數(shù)學(xué)教學(xué)中的化歸思想

曹太忠

摘 要：化歸思想一直受到廣大數(shù)學(xué)教師的高度重視，幾乎滲透整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面。化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，學(xué)好數(shù)學(xué)必須學(xué)會(huì)化歸方法解題.掌握化歸思想對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很有幫助.

關(guān)鍵詞：化歸;解題;作用

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵著許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，其中化歸思想方法是其中之一，化歸方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中很有幫助，已經(jīng)成為一種解題的基本策略。所以理解化歸思想和方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中舉足輕重。

化歸的原則一般來(lái)說(shuō)，就是把沒(méi)有學(xué)過(guò)的轉(zhuǎn)化成已知學(xué)過(guò)的。比如，把簡(jiǎn)單的、具體的、特殊的、熟悉的知識(shí)作為基礎(chǔ)，把復(fù)雜的化為簡(jiǎn)單的，將未知的化為已知的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，是的問(wèn)題換一個(gè)面目，從而求解。

一般說(shuō)來(lái)，化歸的策略就是由把一個(gè)問(wèn)題換一個(gè)角度來(lái)思考。比如未知到已知策略、把特殊換成一般、由容易推廣到困難、正面不行就看反面、立體幾何難了化為平面問(wèn)題、一般圖形退化到特殊圖形，在解析幾何中，就是把幾何問(wèn)題和代數(shù)問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，也就是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，這樣，常會(huì)出現(xiàn)柳暗花明又一村?；瘹w法是一種分析問(wèn)題解決問(wèn)題的基本思想方法.在數(shù)學(xué)解題時(shí)通常的作法是：將一個(gè)陌生的問(wèn)題通過(guò)分解、變形、代換等多種方式，將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而求出解答.如一元一次方程、因式分解簡(jiǎn)單，學(xué)了一元二次方程我們就可以通過(guò)因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來(lái)解的.遇到特殊的一元高次方程時(shí)，又是化歸為一元一次和一元二次方程來(lái)解的.又如平面幾何中三角形的面積、內(nèi)角和計(jì)算比較熟悉，那么多邊形的面積、內(nèi)角和的計(jì)算，就通過(guò)分割、合并為若干個(gè)三角形來(lái)加以解決的.先學(xué)代數(shù)問(wèn)題，后面的幾何問(wèn)題時(shí)就可以向它轉(zhuǎn)化，后來(lái)又可以把立體問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，任意角的三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的銳角三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)表示的例子就更多了.再如在高中，學(xué)了坐標(biāo)變換，我們就可以把一般圓錐曲線化為已經(jīng)熟悉的最簡(jiǎn)單的圓錐曲線，難度就就小多了.化歸思想是在數(shù)學(xué)分析中也是一種重要的工具，比如，變量代換化歸法，如等價(jià)無(wú)窮小代換、換元積分法、常數(shù)變易法等就是一種轉(zhuǎn)化。對(duì)于正面和反面的相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)候，順藤摸瓜，直面問(wèn)題，從現(xiàn)有條件入手，可能會(huì)解題繁瑣，甚至無(wú)法找到解題思路.這時(shí)候，可以考慮換一個(gè)角度，反面求解，會(huì)豁然開(kāi)朗.

例：已知函數(shù)f（M）=4M2-zM+1在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)z 的取值范圍.

方法一、設(shè)f（M）=4M2-zM+1，對(duì)稱(chēng)軸是M=z/8，注意到f（0）=1>0，所以對(duì)稱(chēng)軸一定是在y軸的右邊.（1）有Δ=z2-16f（0）>0z≤-4或z≥4，z∈R.z≤-4或z≥4，此時(shí)4≤z≤8;（2）當(dāng)z/8≥1時(shí)，有f（1）<0 5-z<0 z>5，此時(shí)有z≥8. 綜合（1）（2）得實(shí)數(shù)的取值范圍是[4，+∞）.

方法二、當(dāng)函數(shù)f（M）=4M2-zM+1在（0，1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，4M2-zM+1=0 在（0，1）內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，這樣，思路開(kāi)闊，很容易求得滿(mǎn)足題設(shè)的實(shí)數(shù)的取值范圍是[4，+∞）

由以上兩種解法，很明顯可以看出第二種解法，也就是換一種思路，從反面求解更加簡(jiǎn)單，第一種解法要求數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論相結(jié)合，較第二種稍難.所以說(shuō)化歸中的正反互換可以為我們的解題帶來(lái)方便.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，學(xué)好數(shù)學(xué)思想方法，重在思考，有時(shí)學(xué)生在解題上的困難在于沒(méi)有掌握方法。例如，如果用金屬絲圍成底面為正方形面積為50平方米，高為4米的長(zhǎng)方體，共需要多少鐵絲？顯然，這是一個(gè)實(shí)際的立體幾何的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)有簡(jiǎn)單的方法，就是將這個(gè)長(zhǎng)方體看成它是由上下兩個(gè)正方形面加四個(gè)高組成的，于是就的到需要的長(zhǎng)度。再想想，我們發(fā)現(xiàn)將這個(gè)長(zhǎng)方體展開(kāi)為一個(gè)平面的形式，把它化歸到已經(jīng)熟悉的問(wèn)題，畫(huà)出圖形，問(wèn)題非常直觀，思路更加明晰，計(jì)算更加簡(jiǎn)單。

化歸思想是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，我們要靈活地掌握、運(yùn)用它，才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)成績(jī).雖然該方法被廣泛地使用，但不能一味把所有數(shù)學(xué)問(wèn)題都通過(guò)化歸來(lái)解決.因此，我們不能只停留在問(wèn)題本身的階段，而必須要不斷比較，不斷拓展，才能體會(huì)化歸思想的精髓所在。

參考文獻(xiàn)：

[1]張家銘.《中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法》，重慶教育出版社.1996.2.

[2]鄒友東.《數(shù)學(xué)分析思想和方法》，廣東教育出版社.1999.3.