函數(shù)中的多元變量問題的求解策略

張崟鶴

函數(shù)中的多元變量問題是函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題的難點(diǎn)，困難之處在于如何構(gòu)造合適的一元函數(shù)，在處理多元不等式時可以利用條件粗略確定變量的取值范圍，然后處理好相關(guān)函數(shù)的分析（單調(diào)性、奇偶性等），以備使用，本文以一些習(xí)題為例介紹常用的處理方法.

題型一：轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解

例1.已知函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式f（x-2x）≤-f（2y-y），且1≤x≤4，則的取值范圍是？搖 ？搖.

【解析】f（x-2x）≤-f（2y-y）？圯f（x-2x）≤f（y-2y）？圯x-2x≥y-2y，即（x-y）-2（x-y）≥0，所以有（x-y）（x+y-2）≥0.再結(jié)合1≤x≤4可作出可行域（如圖），數(shù)形結(jié)合可知的范圍是[-，1].

【點(diǎn)評】從所求出發(fā)可聯(lián)想到（x，y）與（0，0）連線的斜率，先分析已知條件，由f（x-1）對稱性可知f（x）為奇函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)遞減的性質(zhì)可將所解不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問題.

題型二：轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題

例2.設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果實(shí)數(shù)m，n滿足不等式組f（m-6m+23）+f（n-8n）<0m>3，那么m+n的取值范圍是（ ）.

A.（3，7） B.（9，25） C.（13，49） D.（9，49）

【解析】由f（1-x）+f（1+x）=0可得：f（1-x）=-f（1+x），所以f（x）關(guān)于（1，0）中心對稱，即-f（x）=f（2-x），所以，f（m-6m+23）+f（n-8n）<0？圯f（m-6m+23）<-f（n-8n）=f（2-n+8n），利用f（x）單調(diào)遞增可得：m-6m+23<2-n+8n？圯（m-3）+（n-4）<4，所以m，n滿足的條件為（m-3）+（n-4）<4m>3①，所求m+n可視為點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)距離的平方，考慮數(shù)形結(jié)合.將①作出可行域，為以C（3，4）為圓心，半徑為2的圓的右邊部分（內(nèi)部），觀察圖像可得該右半圓距離原點(diǎn)的距離范圍是（，7），所以m+n∈（13，49）.

【點(diǎn)評】二元變量問題一般與圓錐曲線的軌跡方程有密切聯(lián)系，如果根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)合理地轉(zhuǎn)化即可利用曲線軌跡中的最值問題解決，本題首先考慮變形f（m-6m+23）+f（n-8n）<0，若想得到m，n的關(guān)系，那么需要利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)變?yōu)槔ㄌ杻?nèi)式子的大小.

題型三：整體換元

例4.已知f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax+bx，其中g(shù)（x）的圖像在（1，g（1））處的切線平行于x軸.

（1）確定a與b的關(guān)系

（2）設(shè)斜率為k的直線與f（x）的圖像交于A（x，y），B（x，y）（x

【解析】（1）g（x）=lnx+ax+bx ∴g′（x）=+2ax+b，依題意可得：g′（1）=1+2a+b=0？圯b=-（2a+1）.

（2）依題意得k==，故所證不等式等價于：

<<？圯

令t=，（t>1），則只需證：1-

∴h（t）在（1，+∞）單調(diào)遞減，∴h（t）

對于左邊不等式：1-0，令p（t）=lnt+-1，

則p′（t）=-=，∴p（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴p（t）>p（1）=0.

【點(diǎn)評】（1）在證明不等式<<時，由于x，x獨(dú)立取值，無法利用等量關(guān)系消去一個變量，因此考慮構(gòu)造表達(dá)式f（x，x），使得不等式以f（x，x）為研究對象，再利用換元將多元不等式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉坏仁?

（2）所證不等式為輪換對稱式時，若x，x獨(dú)立取值，可對x，x定序，從而增加一個可操作的條件.