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    三角形中的不等式問(wèn)題

    2017-01-20 21:03:29王可
    考試周刊 2017年1期
    關(guān)鍵詞:外接圓銳角三角所求

    王可

    三角形中的范圍與不等式問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)解三角形過(guò)程中比較困惑的問(wèn)題,不僅需要用到三角變換、正余弦定理,還涉及基本不等式及求函數(shù)值域.現(xiàn)就以教學(xué)過(guò)程中遇到的該類(lèi)問(wèn)題與大家共同分享、探討.

    題型一:求三角函數(shù)值范圍問(wèn)題

    例1.若△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sinA+sinB=2sinC,則cosC的最小值是 .

    【解析】cosC=,由sinA+sinB=2sinC可得:a+b=2c,

    ∴c=

    ∴cosC====·+·-

    ≥2=.

    【點(diǎn)評(píng)】所求cosC的最值可想到余弦定理用邊表示,cosC=,考慮sinA+sinB=2sinC角化邊得到:a+b=2c,進(jìn)而消去c,計(jì)算表達(dá)式的最值即可.

    題型二:求邊的比值范圍問(wèn)題

    例2.在銳角△ABC中∠A=2∠B,∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是b、c,則的取值范圍是().

    A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)

    【思路分析】本題所給條件為角的關(guān)系,不易從邊入手,所以將所求進(jìn)行邊化角:==,只需求出的范圍即可.條件所給的是A,B關(guān)系,從而=,利用∠A=2∠B減少角的個(gè)數(shù):sinA=sin2B=2sinBcosB,cosA=cos2B=2cosB-1,代入可得:=4cosB-1,根據(jù)銳角三角形求出B的范圍即可.

    【解析】==

    ∵==

    由∠A=2∠B?圯sinA=sin2B=2sinBcosB,cosA=cos2B=2cosB-1

    ∴==2cosB+cos2B=4cosB-1

    因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,∴0

    ∴cosB∈(,)∴=4cosB-1∈(1,2),=∈(,).

    【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)是解題系統(tǒng)的確定,由于題目中沒(méi)有涉及邊關(guān)系,只給了角的條件,因此優(yōu)先選擇角的系統(tǒng),從而進(jìn)行角化邊處理,并進(jìn)行一個(gè)分式的常見(jiàn)變形,將變量集中在分母上.另一個(gè)就是主元的確定:本題的主元是B,所以在求表達(dá)式范圍時(shí)將A,C均用B表示,以便于求得值域.

    題型三:面積范圍問(wèn)題

    例3.已知△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a+b=c+ab,若△ABC的外接圓半徑為,則△ABC面積的最大值為 .

    【思路分析】:由a+b=c+ab可聯(lián)想到余弦定理求cosC,所以cosC==,從而sinC=,所求面積可表示為S=absinC,則只需解出ab的最大值即可.

    【解析】由外接圓半徑R=及sinC可得:c=2RsinC=4,所以a+b=16+ab,而a+b≥2ab,所以有16+ab≥2ab?圯ab≤12,所以S≤·12·=4.

    【點(diǎn)評(píng)】本題的入手點(diǎn)來(lái)自于條件中對(duì)余弦定理的暗示,從而解出C,計(jì)算面積時(shí)有三組邊角可供選擇:S=absinC=bcsinA=acsinB,通常是“依角而選”,從而把目標(biāo)轉(zhuǎn)向求ab的最值.要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項(xiàng),再配上均值不等式往往可以找到最值.

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