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    也談錯誤資源的分析與利用

    2017-01-19 19:01:02潘紅娟
    小學教學研究 2017年1期
    關鍵詞:錯誤利用小學數(shù)學

    潘紅娟

    【摘要】學生學習過程中的錯誤,應該是重要的教學資源。在“捕捉錯誤,分析錯誤,利用錯誤”這一基本錯誤觀的基礎上,本文以課例為載體,用例析的方式,從“怎樣的錯誤信息是典型材料”“哪些維度分析錯誤成因”“如何多角度利用與轉(zhuǎn)化”等視角,提出“重錯誤的預設與展開”“重錯誤的歸因與分析”“重錯誤的多角度利用”等觀點。

    【關鍵詞】小學數(shù)學 錯誤 分析 利用

    教師作為學生學習的促進者,其教學決策是根據(jù)對學生的已有知識、思維水平的了解而展開的。因此,唯有讀懂學生,才能有針對地實施教學,而關注并讀懂學生的錯誤,應該是讀懂學生的重要方面。

    當前,“錯誤是重要的學習資源”“暴露錯誤、捕捉錯誤、分析錯誤、利用錯誤,促進有效教學”等理念已成為教師們的共識。那么,當“錯誤觀”“資源觀”已被大多教師接受并付諸行動的時候,還有什么是值得討論的呢?筆者認為,如何精選材料呈現(xiàn)典型錯誤?如何進行錯誤的歸因分析?如何實現(xiàn)錯誤資源的有效利用?從哪些視角進行錯誤利用?可能是可以進一步探討的話題。

    一、什么材料有利于呈現(xiàn)典型——重錯誤的預設與展開

    學生呈現(xiàn)的錯誤往往是多姿百態(tài)、極具個性的,如何從大量信息中呈現(xiàn)最為典型的信息作為教學資源展開?怎樣的錯誤直指知識內(nèi)核?怎樣的錯誤凸顯核心目標?以“乘法運算定律的練習”一課作為例子闡述如下:

    教師呈現(xiàn)下列材料與任務:

    用你認為最好的方法計算下面各題:

    (1)96×25 (2)39×99+99

    (3)98+2×132 (4)56×720+28×560

    教師搜集并呈現(xiàn)學生作業(yè):

    生1:96×25=(24×4)×25=24×25+4×25。

    生2:39×99+99=39×100。

    生3:98+2×132=100×132。

    生4:56×720+28×560=40320+15680。

    不難發(fā)現(xiàn),這些錯誤,是學生學完“乘法運算定律”進行簡算時出現(xiàn)的典型情況。題(1),將“96×25”分解為“(24×4)×25”后,形似的結構導致學生將“乘法結合律”與“乘法分類律”進行混淆。題(2),貌似“39×99+39”的題目類型導致學生慣性地轉(zhuǎn)化為“39×100”。題(3),“湊整簡算”的功利驅(qū)動,使學生忽視運算定律與運算順序的正確運用。題(4),缺乏轉(zhuǎn)化經(jīng)驗,不能靈活運用轉(zhuǎn)化策略。我們來看,教師又是如何利用這些生成資源展開,關注“運算定律的再理解”“簡算方法的再鞏固”“簡算策略的再體驗”,從而凸顯本節(jié)課的核心目標的呢?

    反饋交流:

    生1:不可以用乘法分配律,96×25=(24×4)×25應該等于24×(4×25)=2400,這是運用了乘法結合律。(24+4)×25才能等于24×25+4×25。

    生2:39×99+99應該等于40×99,因為39個99加上1個99等于40個99。如果是39×99+39,才等于39×100。

    生3:第(3)題,98+2×132不能簡便計算,如果是98×132+2×132才等于100132。

    師:這一題真的不能簡便嗎?

    生:可以簡便的,把98+2×132轉(zhuǎn)化成100+2×131,計算就很方便了。

    師:為什么可以這樣算?

    生1:把98看作100,多加了2,后面減少1個2,就變成了100+2×131。

    生2:56×720+28×560其實可以轉(zhuǎn)化成“560×72+28×560”,就等于“560×(72+28)=560×100”了。

    生3:還可以轉(zhuǎn)化成“56×720+56×280=56×(720+280)=56×1000”。

    生4:還可以轉(zhuǎn)化成28×580+28×1440。

    師:這些方法,通過轉(zhuǎn)化都可以用乘法分配律進行簡便計算,但這些方法同樣簡便嗎?

    生:轉(zhuǎn)化成“28×580+28×1440”比前兩種方法容易錯,如果有很多方法,一般我們選簡單不容易錯的方法。

    隨著錯誤的呈現(xiàn),教師引導學生充分交流、評價分析,有效促進了“一題多目標”的巧妙實現(xiàn)?!俺朔ńY合律和乘法分配律的概念辨析”“乘法分配律要關注相同因數(shù)”“計算時要突破思維定勢”“加減法簡便運算的綜合運用”“運用轉(zhuǎn)化使計算簡便”“方法策略可以多樣”“策略的最優(yōu)選擇”等目標隨之實現(xiàn)。四道算式,能達成多元目標,其背后是有“的”放矢,精選錯誤材料,是最為關鍵的策略。有的放矢的前提是教師對學生學習心理、學習錯誤的研究。

    二、為什么會有這樣的錯誤——重錯誤的歸因與分析

    對待錯誤,進行有效歸因分析,應該是我們了解錯誤原因、改進教學的前提。一般,歸因分析可從教材、教師、學生三個維度進行。對教材的審視,可以從教材的難度、體系、跳躍性等方面進行審視;教師的教學反思,可以從教學理念、教學目標、教學方法、教學過程等方面進行思考;對學生學習的診斷,則可從學習基礎、學習能力、學習習慣、學習心理等方面進行。

    以五年級的小數(shù)除法為例,對下面題目進行作業(yè)情況統(tǒng)計與分析。

    (1)7.8÷0.75

    (2)①0.42÷3.5 ②0.35×0.16

    (3)0.78+0.22÷5

    1.以教材角度審視

    題(1),7.8÷0.75,正確率僅為80.6%,較之于正確率基本在98%以上的其他小數(shù)乘除筆算,顯然偏低。學生典型錯解為“7.8÷0.75=1.4”。探究原因,教材編排缺失、缺少相應例題、鞏固練習不夠,應該是主要原因。這是一道商中間有0的除法。在人教版四年級教材中,沒有出現(xiàn)“商中間有0”的除法。而在五年級教材中,僅有四道此類習題。教材編寫可能出于減低難度、減少訓練的考慮,但教材的跳躍,缺乏對商中間有0的除法的算理理解與算法鞏固,致使基礎知識與基本技能的掌握出現(xiàn)問題,這就需要教師在教學時做相應的補充與完善。

    2.以教師角度反思

    題(2),①0.42÷3.5 ②0.35×0.16,由于沒有明確的簡算提示,大多學生用筆算解決。經(jīng)統(tǒng)計,①0.42÷3.5,僅1.2%的學生簡算,方法為:0.42÷7÷0.5;題②0.35×0.16,僅1.5%的學生簡算,方法為:0.35×2×0.08,(0.35×2)×(0.16÷2),0.07×(5×0.16),0.35×0.4×0.4。由此可見,運算能力中“自覺主動進行靈活計算的意識培養(yǎng)”仍然還是水中花、鏡中月,值得關注。究其原因,是由于教師對計算教學的目標視野較為狹窄與單一,對“運算能力”這一核心概念的理解不深刻,以致日常教學中缺乏靈活計算的意識培養(yǎng)與策略積累。

    3.以學生角度診斷

    題(3),正確率為83.3%,學生的典型錯誤為:“0.78+0.22÷5=1÷5=0.2”“0.22÷5=0.44”。第(4)題,正確率為45.4%,典型錯誤是將算式轉(zhuǎn)化為2012÷4=503。顯然,一方面反映學生的審題習慣缺失,學生按照思維慣性、隨意計算,導致計算錯誤。另一方面,也反映學生對于小數(shù)除法的計算方法理解不深,無法將計算原理與計算法則運用于較為復雜的計算情境中。小數(shù)除法計算方法的本質(zhì)是“將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)”,此題可轉(zhuǎn)化為2.012÷4,而學生面對此問題,已忽略了筆算除法的基本方法,從而出現(xiàn)隨意轉(zhuǎn)化或無從下手的情況。

    三、怎樣有效利用錯誤展開教學——重錯誤的多角度利用

    錯誤搜集與整理的途徑,一般可以通過作業(yè)、測查等進行統(tǒng)計分析,也可以在教學過程中隨機觀察捕捉。錯誤,根據(jù)其可預料性,可以分為預設性錯誤和生成性錯誤。如何運用這些資源,關注學生的困難,在難點處展開,從而達成核心目標,這就需要教師敏銳洞察、篩選捕捉、有效利用。

    1.利用錯誤,掌握基本方法

    基本知識、基本技能的探索階段,我們一般會讓學生進行嘗試探究,此時,學生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗,必然會有試誤的過程,這就需要教師及時組織學生進行比較、評價、交流,實現(xiàn)對基本方法的理解與掌握。

    五年級上冊根據(jù)實際需要用“進一法”和“去尾法”取商的近似值一課,例題是:小強的媽媽要將2.5kg香油分裝在一些玻璃瓶里,每個瓶最多可裝0.4kg,需要準備幾個瓶?

    教學中,教師采用的基本策略是:經(jīng)歷“利用經(jīng)驗嘗試解決問題——搜集捕捉學生資源——有序呈現(xiàn)充分討論”的過程。引導學生分析問題、嘗試解決,出現(xiàn)以下方法:

    生1:2.5÷0.4=6(個)……0.1(千克),需要6個。

    生2:2.5÷0.4=6.25≈6(個),四舍五入,需要6個。

    生3:2.5÷0.4=6.25(個),瓶子要整數(shù)個, 6+1=7(個)。

    生4:2.5÷0.4=6……0.25(個),還有0.25個沒法放,6+1=7(個)。

    生5:2.5÷0.4=6.25≈7(個)。

    教師將學生解決的思路一一呈現(xiàn),通過集體交流討論,充分肯定合理的成分,最后優(yōu)化得出一般的方法,即商用小數(shù)表示,用“進一法”求近似值。這一過程中,教師搜集了最為豐富的生成性資源,呈現(xiàn)不同的思維成果,最終幫助學生形成基本方法。

    2.利用錯誤,凸顯本質(zhì)特征

    一般我們會采用概念辨析的方法,幫助學生理解概念的本質(zhì),如何運用錯誤,凸顯概念內(nèi)涵,拓寬概念外延?也是值得我們思考的。

    例如,“長方體正方體的體積練習課”中,“柱體”概念的建立完善教學。

    首先,教師由長方體體積公式復習,引出柱體體積公式。

    師:這是一個長方形和正方形,將它們分別向前、向后平移4cm,得到什么圖形?請求出它們的體積。

    師:體積=長×寬×高,同樣的一個算式,還可以怎理解?(底面積×高),這樣的圖形也可以叫作柱體。

    師:除了“6×4表示底面積,5表示高”外,其他面可以作為底嗎?高又是多少?正方體的體積,可以表示成“底面積×高”嗎?底面積是多少?高是多少?

    師:什么情況下,我們可以用“底面積×高”來計算體積?

    出示:

    師:這是柱體嗎?請求出它的體積,只列式不計算。

    根據(jù)學生作業(yè)情況呈現(xiàn)兩種方法:

    生1:(6+4)×3÷2×10。

    生2:6×10×3。

    師:把下面的長方形“6×10”看作底面,“3”作為它的高,可以嗎?

    生1:不可以,柱體底面應該是指每個面都相等的面,如果將底面向上平移應該每個面都一樣。如果將“6×10”這個面往上平移,并沒有和上底面重合。

    生2:柱體的高應該處處相等,只有將側(cè)面的梯形看作底面,高都是10。

    師根據(jù)學生回答隨機課件演示:

    這一片段中,教師及時捕捉“6×10×3”這一錯誤資源,進行放大處理,運用概念辨析、直觀演示,很好揭示了柱體“上下底面相等”“與底面平行的任何一個截面都相等”“高處處相等”等特征。

    3.利用錯誤,形成反思意識

    錯誤才有反思的價值,如何運用學生錯誤,幫助學生在鞏固技能的同時,形成及時反思、回顧檢驗的意識與習慣,體驗反思檢驗的多樣方法呢?

    例如:“小數(shù)乘除法練習課”一課。

    豎式計算:0.75×0.15,380×2.6,

    4.872÷0.24。

    教師隨機選擇學生作業(yè),重點反饋:

    (1)0.75×0.15=11.23;(2)380×2.6=98.8;(3)4.872÷0.24=2.03。

    師:這些同學的計算正確嗎?有什么辦法判斷是錯誤的?這樣的方法你能找到多少種?

    生1:可以從小數(shù)位數(shù)看,0.75×0.15是四位小數(shù),而這個同學的結果是兩位小數(shù)。

    生2:末尾應該是5,而不應該是3,所以這個結果一定是錯的。

    生3:因數(shù)乘以一個比1小的數(shù),結果一定比這個因數(shù)小,0.75×0.15<0.75,11.23比0.75大了,結果一定錯了。

    師:用同樣的方法能判斷第2題嗎?

    生4:380×2.6=98.8,還可以用估算的方法判斷,380乘以2點多,積最少應該有760多,而這個結果是98.8,一定不對。

    生5:a×b(b>1),積>a。380×2.6=98.8,結果比380小了。

    生6:4.872÷0.24=2.03,這一題可以用乘法檢驗,2.03×0.24≠4.872,因為2.03×0.24的結果比2.03小,不可能等于4.872。

    生7:同樣可以估算,4.872÷0.24=487.2÷24,大約等于20多。

    師:是的,我們在算出結果后,一般要進行回顧檢驗,剛才同學們用到了很多方法,都可以作為今后進行檢驗的策略。

    這一片段中,錯誤資源巧妙地轉(zhuǎn)化為“反思意識滲透”“檢驗方法落實”的載體。錯誤處理片段中,“根據(jù)位數(shù)判斷”“根據(jù)尾數(shù)檢驗”“根據(jù)積與因數(shù)的大小關系”“運用估算檢驗”“互逆驗算”等方法在錯誤評價中得以有效滲透與落實。

    4.利用錯誤,體會數(shù)學思想

    學生生成資源的智慧運用,對易錯易混知識的澄清、概念本質(zhì)的理解、方法技能的落實等,都能起到積極的作用。同樣,利用生成材料,將錯誤提升為更高層面的解決策略,在體會數(shù)學思想方法方面也會起到意想不到的效果。

    例如:“三角形的面積練習”一課。

    材料:點E、F、G、H分別在長方形ABCD的四條邊上,求四邊形EFGH的面積。(單位:cm)

    1.任務:選擇條件,想辦法求出四邊形EFGH的面積。

    2.學生嘗試,教師巡視,選擇典型,方法討論。

    生1:用總面積減去空白部分四個小三角形的面積。

    生2:連接EG,分別求出兩個三角形EFG和EGH的面積,這兩個三角形底都是4cm,所以面積是(3+7)×4÷2=20cm2。

    生3:也可以連接FG,上下兩個三角形,EFH的面積加上FGH的面積也是可以的。

    生4:這是錯的,這兩個三角形的底和高都不知道,沒辦法求的。

    師抓住這種方法,引導提問:這個同學想要將上下兩個三角形的面積加起來,想法很好,有辦法使它們面積不變,但可以相加嗎?

    此時,教室里十分安靜,突然,有學生舉手。

    生5:如果將H點往下移動一點,使FH和AD平行,那么,這兩個三角形的底都是10,高都是2,就能求出面積了。

    師:這個同學想到運用轉(zhuǎn)化,將EGH轉(zhuǎn)化為面積相等的三角形EGH′,就可以解決了(如圖1)。為什么可以這樣?

    生5:因為EGH和EGH′底都是EG,而且平行線之間的距離相等高就相等,面積就一定相等。

    生6:如果可以移動的話,把F、H分別移動到最下面,和B點、C點重合,就可以把原來的四邊形EFGH轉(zhuǎn)化成一個三角形EBC。這個三角形的底是10cm,高是4cm,面積是10×4÷2=20cm2,如圖2。

    這一片段中,“上下兩個三角形EFH加上FHG的面積”這一錯誤方法,成為教師激活“等積變形”“轉(zhuǎn)化思想”的有利時機,促發(fā)了“讓靜止的圖形動起來”的策略意識,學生不僅感受了“轉(zhuǎn)化”的作用,并很好積累了運用轉(zhuǎn)化解決問題的經(jīng)驗。這個片段中,無疑,錯誤的捕捉與轉(zhuǎn)化是極為巧妙而高明的。

    【參考文獻】

    [1]任景業(yè)著.分享孩子的智慧——改進教學的建議,東北師范大學出版社.2014.6

    [2]蔡金法、許世紅.教師讀懂學生什么:認知導向的教學,小學教學.2013年18期

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