恰用范圍限制，提高解題效率

謝曉玲

在解決問題的過程中，有意識地將未知問題轉(zhuǎn)化為易于解決的或已經(jīng)解決的問題的思想是解決數(shù)學(xué)問題的主要思想之一.在這一過程中，如果能特別關(guān)注變量的取值范圍，并用好這些范圍限制，可以幫助我們找到問題解決的突破口，盡可能避免解題失誤，從而提高解題效率，因此我們在教學(xué)中要重視這一問題，讓學(xué)生養(yǎng)成重視變量的取值范圍的好習(xí)慣.

1.相關(guān)概念、性質(zhì)的限制

解題過程中首先要認(rèn)真分析題意，注意問題涉及的相關(guān)概念和性質(zhì).如“傾斜角”、“二面角”、“等差數(shù)列”、“函數(shù)單調(diào)性”等，這些概念是在一定范圍內(nèi)建立起來的.解題時應(yīng)特別注意這些限制的應(yīng)用.

例1：求過點A（a，b），B（na，nb）（n≠1，a≠0）的直線的斜率及傾斜角.

解：∵n≠1，a≠0，∴na-a=（n-1）a≠0，∴k===.

設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則tanθ=.

當(dāng)ab>0時，>0，θ為銳角，則θ=tarctan；

當(dāng)ab<0時，<0，θ為鈍角，則θ=π-arctan.

點評：（1）研究直線的傾斜角時，一定要弄清斜率變化范圍及傾斜角范圍，同時注意反三角函數(shù)的范圍.（2）應(yīng)用斜率公式求直線的斜率時，要注意條件x≠x，遇到字母要注意對字母的取值進(jìn)行討論.當(dāng)已知斜率求傾斜角時，若含參數(shù)，則要對斜率的正負(fù)進(jìn)行討論，當(dāng)k>0時，α為銳角，此時α=arctank；當(dāng)k<0時，α為鈍角，此時α=πtarctank.

相關(guān)題目：（1）已知α、β都是銳角，tanα=，sinβ=，求α+2β的值.

（2）已知函數(shù)f（x）=x+（a+1）x+b的圖像，=（1，-1）平移后所得的圖像過點（4，2），且對一切實數(shù)x，f（x）≥x恒成立，求實數(shù)a、b的值.

2.函數(shù)定義域、值域的限制

有些數(shù)學(xué)問題中含有中間變量或需引入中間變量，我們可以用中間變量與其他變量之間的函數(shù)關(guān)系的定義域或值域為限制變量的取值范圍.

例2：已知ABC是邊長為2的正三角形，P、Q依次是AB、AC邊上的點，且線段PQ將ABC分成面積相等的兩部分，設(shè)AP=x，AQ=t，PQ=y，求：

（1）t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）y的最小值與最大值.

解：（1）∵S=，∴xtsin60°=，∴xt=2，t=，

∵t≤2，∴≤2，∴x≥1，又∵x≤2，∴1≤x≤2，

∴t關(guān)于x的函數(shù)為t=（1≤x≤2）.

（2）∵y=x+t-2xtcos60°=x+-2，

∴y=（1≤x≤2）.

（3）令f（x）=t+，易證f（t）在（0，2]上為減函數(shù)，在[2，+∞）上為增函數(shù).

∵1≤x≤2，∴1≤x≤4，∴當(dāng)x=2，即x=時；

當(dāng)x=1或x=4，即x=1或x=2時，x+取最大值5，此時y取最小值.

點證：（1）利用函數(shù)知識解決具體問題，務(wù)必考慮函數(shù)的定義域.（2）本題中x的范圍，很多學(xué)生會錯誤地認(rèn)為0≤x≤2，主要原因是對“PQ將△ABC分成面積相等的兩部分”認(rèn)識不足.（3）本題通過考慮函數(shù)f（t）=t+的單調(diào)性探究y的最值，一般地，f（x）=ax+（a>0，b>0）的圖像是雙曲線，y軸和直線y=ax是它的兩條漸近線，f（x）在0，上為減函數(shù)；在，+∞上為增函數(shù)，由對稱性可知f（x）在-∞，-上為增函數(shù)；在（-，0]上為減函數(shù).

相關(guān)題目：（1）求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域；（2）求函數(shù)y=x+的值.

3.約束條件的范圍限制

有些數(shù)學(xué)問題中含有多種變量（或未知量），而這些量又在一定條件下相互約束，我們可利用這些條件限制某些變量的取值范圍為消元轉(zhuǎn)化后解決問題創(chuàng)造條件.

例3：已知△ABC的周長為6，BC、CA、AB成等比數(shù)列，求、的取值范圍.

解：·=accosB=ac·，

∵a+c=6-b，b=ac，∴·=27-（b+3），

∵a+b+c=a+c+=6≥2+，

∴b≤2，a，b，c是三角形的三邊，a，b，c成等比數(shù)列.

不妨設(shè)a≥b≥c，a=，c=bq，0

∵a+b+c=6，∴b=，

由b+c≥a得1+q≥，

∴≤q≤1，由b=（≤q≤1），求出（-1）≤b≤2，

∴·的取值范圍是 [2，（3-）].

點評：由△ABC的周長為6，BC、CA、AB成等比數(shù)列，求出0

相關(guān)題目：（1）已知a≥0，b≥0，且a+b=1，求a+b的最大值.

（2）已知3sin2α-cosβ=3，求α，β的值.

4.隱含條件的限制

在許多問題中，約束條件不夠明顯，而是隱含在題意深處，需要我們認(rèn)真分析、發(fā)現(xiàn).

例4，△ABC中，已知sinA+cosA=，求cos2A.

解：由sinA+cosA=，兩邊平方得sin2A=-；

∵A是△ABC的內(nèi)角，A∈（，π），

∴<2A<2π，∴cos2A>0，∴cos2A=.

點評：角A的取值范圍是什么，是解決本題的關(guān)鍵，題中隱含了兩個條件：（1）A不是銳角，否則sinA+cosA>1，這與sinA+cosA=<0矛盾.

（2）A？埸（，]，否則sinA+cosA>0與sinA+cosA≤<0，<Α<π，本題若不能發(fā)現(xiàn)以上兩個隱含條件，就不能很好地解答本題.

5.不等式的綜合限制

有時為了解決問題，需要綜合應(yīng)用不等式知識和前所述各種方法完成.

例5，如圖所示，直線l的方程x=-，其中P>0；橢圓中心D（2+，0）焦點，在x軸上，長半軸長為2，短半軸長為1，它的一個頂點A（，0），問P在哪個范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，它們每一個點到點A的距離等于該點到直線l的距離.

解：依題意知橢圓方程為+y=1，以A為焦點，以l為準(zhǔn)線的拋物線方程為y=2px，所以橢圓上有四個點到A的距離等于到l的距離等于方程組+y=1y=2Px有四組不同的解.

消元整理可行x+（7P-4）x++2P=0.①

∵P>0，∴方程組有四組不同的解等價于方程①有兩組相等的正根（記為x，x）.

∴Δ=（7P-4）-4（+2P）>0x+x=-（7P-4）>0x-x=+2P>0

∵P>0，∴0

∴所求P的范圍為0

點評：本題將曲線的交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的個數(shù)問題，在轉(zhuǎn)化過程中一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性，因此在解答過程中要綜合應(yīng)用不等式知識得到關(guān)于P的恰當(dāng)范圍限制.

相關(guān)題目：（1）在等差數(shù)列{a}中，3a=8a>0，問當(dāng)n為何值時，數(shù)列{a}的前n項和S最大.

（2）設(shè)f（x）=|lgx|且f（a+b）b>0，求a+b的取值范圍.

總之，在教學(xué)過程中一定要引導(dǎo)學(xué)生重視變量的范圍限制，恰當(dāng)?shù)赜煤米兞康姆秶拗?，這樣可以幫助學(xué)生提高解題效率，避免解題失誤.