幾何綜合測試卷

殷高榮

一、填空題

1.已知a，b是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，給出下列命題：

①若α∥β，aα，則a∥β；②若a∥α，b∥α，則a∥b；

③若α⊥β、β⊥γ，則α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，則α∥β.

其中正確的命題的序號是.

2.離心率為53且與橢圓y240+x215=1有公共焦點的雙曲線方程為.

3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為.

4.設過拋物線x2=py（p≠0）的焦點的一條直線和拋物線有兩個交點，且兩交點的橫坐標為x1，x2，則x1x2=.

5.已知橢圓x24+y23=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，P為橢圓上一點，若PF2=32，則PF1=.

6.若雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，它的焦點到漸近線的距離等于1，則該雙曲線的方程為.

7.設橢圓與雙曲線y2-3x2=3共焦點，且經(jīng)過點（2，2），則該橢圓的離心率為.

8.已知單位圓被兩條平行直線l1：x-y+a=0，l2：x-y+b=0分成四段長度相等的圓弧，則a2+b2=.

9.若圓C過直線2x+y+4=0和圓（x+1）2+（y-2）2=4的交點，則圓C面積的最小值為.

10.如圖，點A是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）右頂點，過橢圓中心的直線交橢圓于B、C兩點，滿足BC=2AB，AB⊥BC.則該橢圓的離心率為.

11.已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：x2+y2-ay-6=0（a>0）的公共弦長為23，則a=.

12.橢圓x212+y23=1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，如果線段PF1交y軸于Q，且PQ=13PF1，則PF1PF2=.

13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，則該三角形面積的最大值為.

14.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點為A，右焦點為F，P是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點，且PF⊥x軸，B為橢圓的下頂點，BP交x軸于Q，且PA=PQ，則橢圓的離心率為.

二、解答題

15.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為BD的中點，M是B1C1的中點.

（1）求證：平面OCC1⊥平面ODD1；

（2）求證：平面ABM∥平面OC1D1.

16.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦點，A是橢圓C的上頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，且滿足∠F1AF2=90°.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若△ABF1面積為4，求橢圓C的標準方程.

17.有一隧道內(nèi)設雙行線公路（中間有護欄隔開），其截面是由一長方形ABCD和一以CD為直徑的半圓弧構成，如圖所示.已知AB=10m，AC=2m.要保證安全，要求車輛（車輛截面設為矩形）頂部在豎直方向距離隧道頂部的距離和車輛距離護欄距離均不小于0.5m.（護欄寬度忽略不計）

（1）在平面直角坐標系中，求半圓弧CED所在圓的方程；

（2）問現(xiàn)有一輛載重汽車寬3.5m，高4.2m，能否保證安全通過隧道？

18.已知平面直角坐標系上的定點A（1，0）、B（4，0），若動點P滿足PB=2PA.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點Q（-2，0）作直線l1、l2與曲線C分別交于兩個不同的點M、N（點M、N異于點Q），若直線l1、l2斜率分別為k1、k2，且k1k2=2，判斷直線MN是否經(jīng)過定點.若是，求出此點的坐標；否則說明理由.

19.設橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）經(jīng)過點（0，3），離心率為12，左右焦點分別為F1（-c，0），

F2（c，0）.

（1）求橢圓M方程；

（2）若直線l：y=kx與橢圓M交于A，B兩點，與以F1O為直徑的圓交于C，O兩點，且滿足|AB||CO|=6155，求直線l的方程.

20.如圖，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左頂點為A，右焦點為F（c，0），P（x0，y0）為橢圓上的一點（P與A不重合），且PA⊥PF.

（1）若x0=a2，求橢圓的離心率；

（2）若P到橢圓右準線的距離為d1，A到右準線的距離為d2，且d1=12d2，橢圓經(jīng)過點M（1，66），求橢圓的方程.

理科選做題

21.已知E，F(xiàn)分別為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD和AD上的點，CE=ED，DF=2FA，求：

（1）B1A與EF所成角的余弦；

（2）試在直線B1B上確定一點M，使得二面角D1EFM為直二面角.

22.在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸上，點N為平面內(nèi)的動點，且滿足PM·PF=0，PM+PN=0.

（1）求動點N的軌跡C的方程；

（2）設點Q是直線l：x=-1上任意一點，過點Q作軌跡C的兩條切線QS，QT，切點分別為S，T，設切線QS，QT的斜率分別為k1，k2，直線QF的斜率為k0.求證：k1+k2=2k0.

參考答案

一、填空題

1.①④2.y29-x216=13.1256π4.-p245.526.3x2-y2=17.228.29.4π510.6311.212.11513.4314.22

二、解答題

15.證明：（1）在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，

∴CO⊥DO，

又∵DD1⊥面ABCD，CO面ABCD，

∴DD1⊥CO，

∵DD1∩DO=D，DD1，DO面ODD1，

∴CO⊥面ODD1，CO面OCC1，

∴面OCC1⊥面ODD1.

（2）取C1D1的中點，記為N，連結(jié)ON，

∵C1D1∥CD，CD∥AB，∴C1D1∥AB，

又C1D1面ABM，AB面ABM，

∴C1D1∥面ABM，

∵M，N分別為B1C1，C1D1的中點，

∴MN∥B1D1，MN=12B1D1，

又∵B1D1∥BD，B1D1=BD，

∴MN∥OB，MN=OB，∴四邊形OBMN是平行四邊形，

∴BM∥ON，ON面ABM，BM面ABM，

∴ON∥面ABM，

又ON∩C1D1=N，ON，C1D1面OC1D1，

∴面ABM∥面OC1D1.

16.（1）因為∠F1AF2=90°，

所以b=c，

所以a=2c，

所以e=22.

（2）y=-x+c

x2+2y2=2c2

得B（43c，-c3），

S△ABF1=12F1F2|yA-yB|=c×4c3=4，

c2=3，

所以橢圓的標準方程為x26+y23=1.

17.（1）由題意可知圓的半徑為5，圓心在坐標原點，

所以半圓弧所在圓的方程為x2+y2=25.

（2）當x=4時，y=3，

這時距離底部5米，

大于4.2+0.5=4.7米，

所以能通過隧道.

18.（1）設動點P（x，y）是軌跡C上任意一點，由題意PB=2PAPB2=4PA2，

將P，A，B坐標代入上式得：

（x-4）2+y2=4[（x-1）2+y2]，

化簡得x2+y2=4，

所求軌跡C的方程為：x2+y2=4.

（2）由題意，易知直線MN斜率存在，不妨設直線MN的方程為y=kx+b，設點M，N坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則：k1k2=y1x1+2·y2x2+2=2，即y1y2=2（x1+2）（x2+2），即（kx1+b）（kx2+b）=2（x1+2）（x2+2），展開整理得：

（k2-2）x1x2+（kb-4）（x1+x2）+b2-8=0 （*）.

把y=kx+b代入x2+y2=4

得（1+k2）x2+2kbx+b2-4=0，

x1+x2=-2kb1+k2

x1x2=b2-41+k2代入（*）式得：

（k2-2）b2-41+k2+（kb-4）（-2kb1+k2）+b2-8=0，

即（k2-2）（b2-4）+（kb-4）（-2kb）+（b2-8）（1+k2）=0，

化簡得b2-8kb+12k2=0，即（b-2k）（b-6k）=0，

所以b=2k或b=6k，又因為點M、N異于點Q所以b=2k舍去，

把b=6k代入直線y=kx+b得，直線MN經(jīng)過定點（-6，0）.

19.解：（1）由題意可知b=3，ca=12，

所以a=2，b=3，c=1，

所以橢圓的標準方程為x24+y23=1.

（2）以F1O為直徑的圓的方程為x2+x+y2=0

y=kx，

x2+x+y2=0，

解得xc=-11+k2，

y=kx，

3x2+4y2=12，

解得xA，xB=±123+4k2，ABCO=2123+4k211+k2，

（ABCO）2=48（1+k2）23+4k2=1085，

20k4+4k2-7=0，

解得k2=12或k2=-710（舍），

所以直線方程為y=±22x.

20.解：（1）將x0=a2代入橢圓方程：a24a2+y20b2=1，所以y0=±32b，

取點P（a2，32b），又A（-a，0），F(xiàn)（c，0），

所以PA=（-32a，-32b），PF=（c-a2，-32b），

∴PA·PF=-3a2（c-a2）+（-32b）2=0，所以2a2-2ac-c2=0，得：e2+2e-2=0，

從而e=3-1.

（2）因為P（x0，y0），據(jù)條件d1=a2c-x0，d2=a2c+a，所以由d1=12d2知：x0=12（a2c-a）①，

又AP=（x0+a，y0），F(xiàn)P=（x0-c，y0），

AP·FP=（x0+a）（x0-c）+y20=0.②，

又x20a2+y20b2=1，

所以y20=b2（1-x20a2）代入②，

（x0+a）（x0-c）+b2a2（a+x0）（a-x0）=0，

解得：x0=a（c2+ac-a2）c2③.

由①③可知：a2-ac2c=a（c2+ac-a2）c2，所以3c2+ac-2a2=0，即（3c-2a）（c+a）=0，所以c=23a，

b2=a2-c2=59a2，故橢圓方程化為：x2a2+9y25a2=1，

橢圓過點（1，66）∴a2=x2+95y2=12+95×（66）2=1310，b2=1318，

所求橢圓的方程為：10x213+18y213=1.

21.解：設正方體的棱長為6，以A為坐標原點，直線AB，AD，AA1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

（1）A（0，0，0），B1（6，0，6），E（3，6，0），F(xiàn)（0，2，0），

所以B1A=（-6，0，-6），EF=（-3，-4，0），

所以cos〈B1A，EF〉=1862·5=3210.

所以B1A與EF所成角的余弦為3210.

（2）D1（0，6，6），EF=（-3，-4，0），F(xiàn)D1=（0，4，6），B1A=（-6，0，-6），

設平面D1EF的一個法向量為n=（x，y，z）.

則n·EF=0

n·FD1=03x+4y=0

4y+6z=0，

令y=-3，則x=4，z=2，

所以平面D1EF的一個法向量為n=（4，-3，2）.

設面EFM的法向量為m=（p，q，r）

設M（6，0，m），則FM=（6，-2，m），而EF=（-3，-4，0），所以6p-2q+mr=0

3p+4q=0

令p=-4，則q=3，r=30m，

所以面EFM的一個法向量為m=（-4，3，30m）.

要使二面角D1EFM為直二面角，

必須m·n=-25+60m=0，∴m=125.

故當M在B1B上且滿足BMBB1=25時，

二面角D1EFM為直二面角.

22.解：（1）設點N（x，y），M（a，0），P（0，b）.

由PM+PN=0可知，點P是MN的中點，

所以a+x2=0，

0+y2=b，即a=-x，

b=y2，

所以點M（-x，0），P（0，y2）.

所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）.

由PM·PF=0，可得-x+y24=0，即y2=4x.

所以動點N的軌跡C的方程為y2=4x.

（2）設點Q（-1，t），

由于過點Q的直線y-t=k（x+1）與軌跡C：y2=4x相切，聯(lián)立方程y2=4x

y-t=k（x+1），

整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0.

則Δ=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，

化簡得k2+tk-1=0.

顯然，k1，k2是關于k的方程k2+tk-1=0的兩個根，所以k1+k2=-t.

又k0=-t2，故k1+k2=2k0.

所以命題得證.