平面解析幾何中的典型錯誤及錯因剖析

朱振華

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)知識，同時所涉及的知識甚多，能力要求也高.復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時同學(xué)們要理清概念，靈活地運(yùn)用思想與方法解決問題，特別要注意對平時訓(xùn)練中出現(xiàn)的易錯題多加分析.下面從剖析解析幾何的典型易錯知識與方法加以分析，以提高大家的辨別能力，提高解題速度與正確率.

易錯剖析一：基本概念理解偏差致錯

例1經(jīng)過點(diǎn)P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是.

錯解：由題意，設(shè)所求方程為y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·（5k-4）·（4k-5）=5得，k無解，故不存在這樣的直線.

錯因分析：截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”.事實(shí)上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為12·|5k-4|·|4k-5|，而不是12·（5k-4）·（4k-5）.

正解：由題意設(shè)所求方程為y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·|5k-4|·|4k-5|=5得，k=85或k=25.

故所求直線方程為8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

評注：“距離”與“截距”、兩直線夾角與到角等基本概念，看似基礎(chǔ)，實(shí)則涉及到一類問題的本質(zhì)，理解入陷阱，易致錯.

易錯剖析二：知識掌握不重細(xì)節(jié)致錯

例2過點(diǎn)（3，3）且橫、縱截距相等的直線方程.

錯解：設(shè)所求方程為xa+ya=1，將（3，3）代入得a=6，得直線方程為x+y-6=0.

錯因分析：上述錯解所設(shè)方程為xa+ya=1，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實(shí)上，橫、縱截距為0且過點(diǎn)（3，3）的直線y=x也符合條件，主要審題不全致錯.

正解：x+y-6=0或x-y=0.

例3過點(diǎn)A（5，10）且到原點(diǎn)的距離是5的直線的方程為.

錯解：設(shè)直線斜率為k，其方程為y-10=k（x-5），即kx-y+（10-5k）=0.

由點(diǎn)到直線的距離公式，得|10-5k|k2+1=5，解得k=34.

故所求直線方程為3x-4y+25=0.

錯因分析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過A且垂直于x軸的直線，落入“陷阱”，其實(shí)x-5=0也符合題意.

正解：當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x-5=0；

當(dāng)斜率存在時，設(shè)其為k，則所求直線方程為y-10=k（x-5），即kx-y+（10-5k）=0.

由點(diǎn)到直線的距離公式，得|10-5k|k2+1=5，解得k=34.

故所求直線方程為3x-4y+25=0.

綜上知，所求直線方程為x-5=0或3x-4y+25=0.

評注：直線方程的五種形式中，每種形式都有其適用條件，忽視斜率不存在或零截距的情況，是很多同學(xué)經(jīng)常犯的錯誤.

易錯剖析三：題目條件考慮不全致錯

例4過直線2x+y+4=0和圓（x+1）2+（y-2）2=4的交點(diǎn)，并且面積最小的圓的方程為.

錯解：設(shè)所求圓的方程為（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，

即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，

所求圓的半徑

r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）

=125k2-16k+16.

顯然，當(dāng)k=--1610，即k=85時，5k2-16k+16有最小值165，此時，圓的半徑最小，從而面積最小.故所求的圓的方程為x2+y2+265x-125y+375=0.

錯因分析：本題的“陷阱”是方程x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0表示圓的充要條件，上述解法忽視了k的限制條件（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0.

正解：設(shè)所求圓的方程為（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，

即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，

化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得[x+（k+1）]2+[y+12（k-4）]2=（k+1）2+14（k-4）2-（4k+1），

由（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0，得5k2-16k+16>0，此時，所求圓的半徑

r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）

=125k2-16k+16.

顯然，當(dāng)k=--1610，即k=85時，5k2-16k+16有最小值165，此時，圓的半徑最小，從而面積最小.故所求的圓的方程為x2+y2+265x-125y+375=0.

評注：審題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)挖掘問題的隱含條件，理清條件間錯綜復(fù)雜的關(guān)系.審題不清，是解析幾何解題的大忌.

易錯剖析四：忽視定義中的限制條件致錯

例5已知定圓C1：（x+3）2+y2=1，圓C2：（x-3）2+y2=9，動圓M同時與定圓C1，C2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程.

錯解：由C1：（x+3）2+y2=1，C2：（x-3）2+y2=9，設(shè)圓M半徑為r，則MC1=1+r，MC2=3+r，

故MC2-MC1=2<|C1C2|=6，知M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線，

且2a=2，a=1，c=3；b2=c2-a2=8，

故M的軌跡方程為：x2-y28=1.

錯因分析：上述解法將MC2-MC1=2看成|MC1-MC2|=2，誤認(rèn)為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致.

正解：在上述解法中添加：由于MC2-MC1=3，知MC2>MC1，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的左支，故M的軌跡方程為：x2-y28=1（x<0）.

評注：直線與圓、圓錐曲線的定義，看似基礎(chǔ)，實(shí)則涉及到一類問題的本質(zhì)，如果不注意一些限制條件，容易致錯.

易錯剖析五：考慮問題不周全致錯

例6若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

錯解：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，1），（-2，0），由題意知，c=2，b=1，

∴a2=5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.

錯因分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，誤以為給出方程的橢圓直接在x軸上，而直接設(shè)方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），忽略了焦點(diǎn)在y軸上的情形.

正解：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，1），（-2，0），

由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，c=2，b=1，

∴a2=5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，b=2，c=1，

∴a2=5，所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為y25+x24=1.

評注：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種情形：一是焦點(diǎn)在x軸上，二是焦點(diǎn)在y軸上.如果焦點(diǎn)位置不明確，那么有兩種情形分類討論，全面考慮問題.有時當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時，也可設(shè)為x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n），也可設(shè)為Ax2+By2=1（A>0，B>0，且A≠B）.

易錯剖析六：偏重技巧忽視本質(zhì)致錯

例7已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一點(diǎn)到它的兩個焦點(diǎn)（-c，0），（c，0）的距離之和為22，且它的焦距為2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)不在圓x2+y2=59內(nèi)，求m的取值范圍.

錯解：（1）依題意可知2a=22，

2c=2.

又b2=a2-c2，解得a=2，

b=1.則橢圓C的方程為x22+y2=1.

（2）聯(lián)立方程x22+y2=1，

x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-4m3，y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，

即AB的中點(diǎn)為（-2m3，m3）.

又∵AB的中點(diǎn)不在圓x2+y2=59內(nèi)，

∴4m29+m29=5m29≥59，解得m≤-1或m≥1.

錯因分析：本題第（2）問中忽視了大前提：必需兩根都存在，要用判別式去檢驗(yàn)，即Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，是致錯的根本原因.

正解：（2）聯(lián)立方程x22+y2=1，

x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.

則Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，

解得-3

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-4m3，

y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，

即AB的中點(diǎn)為（-2m3，m3）.

又∵AB的中點(diǎn)不在圓x2+y2=59內(nèi)，

∴4m29+m29=5m29≥59，

解得m≤-1或m≥1.②

由①②得，-3

故m的取值范圍為（-3，-1]∪[1，3）

評注：在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，通過聯(lián)立方程組，用判別式來判別解的情況是前提.一些技巧性的解法，雖簡化了過程，但忽視了本質(zhì)，易致錯.

文中談及的問題和所取例子，在解析幾何中的常見錯誤，而產(chǎn)生錯誤的根本原因是基礎(chǔ)掌握不牢，概念理解不透，基本方法一知半解.高三一輪復(fù)習(xí)是一個見微知漸的過程，希望通過錯誤的剖析引導(dǎo)同學(xué)們辨析正誤.在解析幾何的復(fù)習(xí)中，狠抓三基，不斷對相應(yīng)題型作出歸納總結(jié)，定能取得很好的效果.