簡化解析幾何運(yùn)算有技巧

劉春雷

一、巧用定義，直奔主題

例1雙曲線x24-y25=1上有一點(diǎn)A到左焦點(diǎn)的距離為52，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1）.由雙曲線方程知a=2，b=5，c=3.

常規(guī)思路是解方程組x214-y215=1

（x1+3）2+y21=52.但如能考慮利用統(tǒng)一定義，則可化繁為簡.

因?yàn)殡p曲線的左準(zhǔn)線為x=-43，離心率為32，則52（-43）-x1=32，解得x1=-3.

故y1=±5（x214-1）=±52.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，±52）.

評注：這里要注意的是橢圓（雙曲線）有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線，利用統(tǒng)一定義時(shí)，應(yīng)是曲線上的動點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比才是離心率.

二、數(shù)形結(jié)合，直觀獲解

例2已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，求PA+PF的問題可轉(zhuǎn)化為求PA+d的問題.

將x=3代入拋物線方程y2=2x，得y=±6.

∵6>2，∴A在拋物線內(nèi)部，

如右圖.設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x=-12的距離為d，由定義知PA+PF=PA+d，當(dāng)PA⊥l時(shí)，PA+d最小，最小值為72，即PA+PF的最小值為72，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2=2x，得x=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）.

評注：在拋物線問題中，通?？梢越柚鷶?shù)形結(jié)合，將焦點(diǎn)弦或焦半徑，與相關(guān)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化，從而可以免除解方程組的繁瑣，大大減小運(yùn)算量.

三、幾何性質(zhì)，助你省力

例3已知圓O′：（x-2）2+y2=4，動圓M（在y軸右側(cè)）與y軸相切，又與圓O′外切，過A（4，0）作動圓M的切線AN，求切點(diǎn)N的軌跡.

解析：設(shè)動圓M與y軸切于點(diǎn)B，動圓M與定圓O′切于點(diǎn)C，切點(diǎn)在MO′上，

∵M(jìn)B∥AO′，故∠BMC=∠CO′A且BMAO′=CMCO′，

∴△BMC∽△AO′C，∴∠MCB=∠O′CA，

∴B、C、A共線.由切割線定理，|AN|2=|AC|·|AB|（1）.

又在Rt△AOB中，OC⊥AB，故|AC|·|AB|=|AO|2=16（2）.

由（1）、（2），知|AN|=4.

故N的軌跡為圓（x-4）2+y2=16（（x，y）≠（0，0））.

評注：解析幾何中，曲線或圖形都具有某些特殊的幾何性質(zhì)，若能發(fā)掘并充分運(yùn)用這些幾何性質(zhì)，往往能簡化運(yùn)算或避免運(yùn)算.該題解題過程簡捷，運(yùn)算量小，主要得益于利用平幾知識推導(dǎo)出|AN|=|AO|=4.

四、合理設(shè)參，減少運(yùn)算

例4已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）過點(diǎn)（2，1），且離心率為22.求橢圓E的方程.

解析：給出的橢圓方程中有兩個(gè)參數(shù)，能否可以用一個(gè)參數(shù)重新設(shè)出橢圓方程？

由題意知，橢圓E的離心率為22，且它的焦點(diǎn)在x軸上，

故它的方程可設(shè)為x22m+y2m=1（m>0），

又橢圓E過點(diǎn)（2，1），故由22m+1m=1m=2，

所以橢圓E的方程為x24+y22=1.

評注：求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法，待定的系數(shù)越少，運(yùn)算量就越小.因此合理設(shè)參，也是簡化圓錐曲線運(yùn)算的一條途徑.

五、巧用圓心，解答順心

例5己知點(diǎn)P是橢圓x225+y29=1上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓x2+（y-5）2=1上一動點(diǎn)，試求|PQ|的最大值.

解析：如圖，當(dāng)點(diǎn)P、O′、Q不共線時(shí)，PQ′

先求點(diǎn)O′（0，5）到橢圓x225+y29=1上任一點(diǎn)P的距離的最大值.

設(shè)P（5cosθ，3sinθ），

于是|O′P|=（5cosθ）2+（3sinθ-5）2，

∴|O′P|2=25cos2θ+9sin2θ-30sinθ+25

=-16sin2θ-30sinθ+50=-16（sinθ+1516）2+64116，

∴當(dāng)sinθ=-1516時(shí)，取最大值64116，∴|O′P|取最大值5414，于是|PQ|的最大值為1+5414.

評注：從本例題的求解過程中，可以發(fā)現(xiàn)圓心的作用十分突出.當(dāng)我們求解這類最值時(shí)，就應(yīng)用“心”去解，才能避免復(fù)雜運(yùn)算，化繁為簡.

六、巧設(shè)方程，事半功倍

例6已知⊙C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

解析：法一：設(shè)存在直線方程為y=x+b.

則圓心（1，-2）到x-y+b=0的距離d=|3+b|2.

則在以AB為直徑的圓中，由垂徑定理得r2=9-d2=9-（3+b）22.

由y+2=-（x-1）

y=x+b，得圓心坐標(biāo)（-b+12，b-12）.

則以AB為直徑的圓為（x+b+12）2+（y-b-12）2=9-（3+b）22.

又過原點(diǎn)，將（0，0）代入，得b=1或b=-4.

則存在這樣的直線，方程為x-y+1=0或x-y-4=0.

法二：設(shè)存在直線方程為y=x+b.

則由y=x+b，

x2+y2-2x+4y-4=0，消y得2x2+2（b+1）x+b2+4b-4=0.

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=-（b+1），x1·x2=b2+4b-42，

則y1·y2=（x1+b）（x2+b）=x1·x2+b（x1+x2）+b2.

又以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，所以O(shè)A·OB=0，即x1·x2+y1·y2=0，得b2+3b-4=0.

解得b=1或b=-4.

則存在這樣的直線，方程為x-y+1=0或x-y-4=0.

法三：設(shè)以AB為直徑的圓為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因過原點(diǎn)，得F=0，則圓x2+y2+Dx+Ey=0的圓心為（-D2，-E2）.

又直線l是兩圓的公共弦，兩圓相減得l為

（D+2）x+（E-4）y+4=0.①

由斜率為1，得D+2=4-E.②

又（-D2，-E2）在直線l上，得（D+2）（-D2）+（E-4）（-E2）+4=0.③

由②③得D=2

E=0或D=-3

E=5，代入①得

x-y+1=0或x-y-4=0，為所求直線方程.

法四：設(shè)存在直線方程為x-y+b=0.

則以AB為直徑的圓為（x2+y2-2x+4y-4）+λ（x-y+b）=0，

化簡得x2+y2+（λ-2）x+（4-λ）y+bλ-4=0.

因過原點(diǎn)，代入得b=4λ④，

又圓心（-λ-22，-4-λ2）在x-y+b=0上，

得-λ-22+4-λ2+b=0⑤

由④⑤得λ=4

b=1或λ=-1

b=-4，即x-y+1=0或x-y-4=0為所求直線.

評注：本例四種思路，四種解法，各有千秋.但第四種解法運(yùn)用圓系方程，巧設(shè)圓的方程，解題過程最為簡捷！由此可見，巧設(shè)曲線系方程，有時(shí)能幫助我們減少計(jì)算量.

七、設(shè)而不求，整體代換

例7已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），M，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的動點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，若|k1||k2|=2，則雙曲線的漸近線方程為.

解析：要求雙曲線的漸近線方程，必須先找出a2與b2的關(guān)系.

設(shè)M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y），則k1=y-y0x-x0，k2=y+y0x+x0.

又∵M(jìn)，N，P都在雙曲線x2a2-y2b2=1上，

∴b2x20-a2y20=a2b2

b2x2-a2y2=a2b2，∴b2（x2-x20）=a2（y2-y20）.

∴x-x0y-y0=a2b2·y+y0x+x0.∴1|k1|=a2b2|k2|，即|k1|·|k2|=b2a2.

又|k1||k2|=2，故b2a2=2，雙曲線的漸近線方程為y=±2x.

評注：對圓錐曲線中的某些相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)而不求，進(jìn)而采用點(diǎn)差法或韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換，同樣可以大大減少運(yùn)算量.

八、巧用結(jié)論，答案立現(xiàn)

例8已知橢圓x216+y2=1，過點(diǎn)A（-2，32）作兩條傾斜角互補(bǔ)且不平行于坐標(biāo)軸的直線，分別交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，則直線PQ的斜率為.

解析：本題若按部就班去解，必定耗時(shí)耗力，若采用結(jié)論“過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點(diǎn)P（x0，y0）任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值b2x0a2y0.”去解，便頃刻得出答案：-312.

評注：由于填空題只需填寫答案，不需寫過程，所以不可小題大作.因此在平時(shí)學(xué)習(xí)中記住一些重要結(jié)論，可以對這些填空題“秒殺”.對于橢圓的此類問題，重要結(jié)論還有：（1）經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交于M、N兩點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，直線PM、PN的斜率都存在，則kPM·kPN為定值-b2a2.（2）設(shè)A、B、C是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的三個(gè)不同點(diǎn)，B、C關(guān)于x軸對稱，直線AB、AC分別與x軸交于M、N兩點(diǎn)，則OM·ON為定值a2.